1、第三章 数系的扩充与复数的引入,3.1 数系的扩充与复数的引入,第1课时 复数的概念及复数相等,1.在问题情境中,了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学知识体系内部的矛盾(数的运算规则、求方程的根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系. 2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.,1,2,3,4,1.实数系 (1)实数包括有理数和无理数. (2)数系扩充的脉络:自然数系整数系有理数系实数系,即NZQR. (3)实数的性质:实数对四则运算是封闭的,即两个实数进行四则运算的结果仍然是实数;0与1的性质:a+0=0+a=a,1a=a1=a;加法和乘法都满足交换律、
2、结合律,乘法对加法满足分配律. (4)实数系和数轴上的点可以建立一一对应关系. 名师点拨在实数范围内可以进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算,但要注意开方运算的局限性.,1,2,3,4,【做一做1】 给出下列五个命题:,当a0时,关于x的一元二次方程x2-ax+a=0有两个正根. 其中正确的命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,解析:应为 故不正确;当a0时,=a2-4a不一定为正数,因此方程不一定有两个正根,故不正确;正确. 答案:C,1,2,3,4,2.复数 (1)虚数i满足i2=-1. (2)设a,b都是实数,形如a+bi的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.全体复数所构成的
3、集合叫做复数集. (3)复数通常用小写字母z表示,即z=a+bi(a,bR),这一表示形式叫做复数的代数形式.对于复数z=a+bi(a,bR),其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部. 名师点拨复数的代数形式a+bi(a,bR),要求a,b必须是实数,否则不是代数形式.,1,2,3,4,【做一做2】 (1)复数z1=-i+3的实部为 ,虚部为 ; (2)复数z2=i2的实部为 ,虚部为 . 解析:(1)z1=-i+3=3-i,其实部为3,虚部为-1. (2)z2=i2=-1=-1+0i,实部为-1,虚部为0. 答案:(1)3 -1 (2)-1 0,1,2,3,4,3.复数的分类 对于复数a+bi
4、(a,bR),当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是0;当b0时,它是虚数;当a=0,且b0时,它是纯虚数. 归纳总结(1)实数集R是复数集C的真子集,即RC.至此,我们学过的有关数集的关系如下:(2)若z是纯虚数,可设z=bi(b0,bR);若z是虚数,可设z=a+bi(b0,a,bR);若z是复数,可设z=a+bi(a,bR).,1,2,3,4,【做一做3-1】 已知a,bR,则“a=b”是“(a-b)+(a+b)i为纯虚数”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当a=b=0时,(a-b)+(a+b)i=0为实数,因
5、此不是充分条件,而由(a-b)+(a+b)i为纯虚数一定能推出a=b. 答案:C,1,2,3,4,【做一做3-2】 设mR,复数z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i. (1)若z为实数,则m= ; (2)若z为纯虚数,则m= . 解析:(1)由m2-3m+2=0,得m=1或m=2,故当m=1或m=2时,z是实数.,1,2,3,4,4.复数相等 如果a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+dia=c,且b=d ;a+bi=0a=0,且b=0. 名师点拨应用两复数相等的充要条件时,一定要把“=”左右两边的复数写成代数形式,即分离实部与虚部. 【做一做4】 若复数4-3a-a2i与a2+
6、4ai相等,则实数a的值为( ) A.1 B.1或-4 C.-4 D.0或-4,答案:C,如何理解“两个复数,如果不全是实数,则不能比较大小,只有相等或不相等的关系”? 剖析:(1)根据复数相等的定义知,对于复数a+bi和c+di,其中a,b,c,dR,在a=c,b=d两式中,只要有一个不成立,那么a+bic+di. (2)若两个复数全是实数,则可以比较大小,反之,若两个复数能比较大小,则它们必定都是实数(即虚部均为0). (3)若两个复数不全是实数,则不能比较大小.“不能比较大小”的确切含义是指:不论怎样定义两个复数之间的一个关系“b这三种情况有且只有一种成立;若a0,则acbc.,题型一,
7、题型二,题型三,题型四,复数的分类 【例题1】 当m取何实数时,复数 :(1)是实数?(2)是虚数?(3)是纯虚数? 分析:根据复数z为实数、虚数及纯虚数,利用它们的充要条件可分别求出相应的m值.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思复数z=a+bi,a,bR是复数的代数形式,由a,b的取值来确定z是实数、虚数、纯虚数或零.在解题时,关键是确定复数的实部和虚部.,题型一,题型二,题型四,题型三,复数相等的应用 【例题2】 已知(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i,求实数x,y的值. 分析:利用两个复数相等的充要条件求解. 解:根据复数相等的充要条件可知,反思两个复数相等的充
8、要条件是:实部与实部相等,虚部与虚部相等.,题型一,题型二,题型三,题型四,复数与实数之间的关系 【例题3】 若不等式m2-(m2-3m)i(m2-4m+3)i+10成立,求实数m的值. 分析:由于两个复数能比较大小,故它们都是实数,由此列出关于m的式子,求出m的值.,故m=3. 反思两个复数,只有它们全为实数时才能比较大小,只要有一个是虚数,就不能比较大小.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析 易错点:本节常出现的错误是混淆复数中的有关概念,忽视复数集与实数集中有关性质的不同. 【例题4】 下列命题: 两个复数不能比较大小; 若z=a+bi,则仅当a=0,b0时z为纯虚数; x+yi=
9、1+ix=y=1; 若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 错解:B,题型一,题型二,题型三,题型四,错因分析:因为实数也是复数,而两个实数是能比较大小的,故错误;在中,z=a+bi未对a,b加以限制,故错误;在中,当x,yR时,可推出x=y=1,而此题未限制x,yR,故错误;在中,忽视0i=0,故错误. 正解:A 反思弄清虚数、纯虚数、实数、复数相等等概念是正确求解此类问题的关键.,1 2 3 4 5 6,1设C=复数,A=实数,B=纯虚数,全集U=C,那么下列结论正确的是( ) A.AB=C B.UA=B C.A(UB)
10、= D.B(UB)=C 解析:实数纯虚数复数,A选项不正确. UA=虚数,B选项也不正确. UB中会有实数,C选项也不正确. 答案:D,1 2 3 4 5 6,2复数-i+1的虚部是( ) A.1 B.-1 C.i D.-i 答案:B,1 2 3 4 5 6,3若z=a+bi(a,bR),则下列结论中正确的是( ) A.若a=0,则z是纯虚数 B.若b=0,则z是实数 C.若a+(b-2)i=5+3i,则a=5,b=2i D.z的平方不可能为-1 答案:B,1 2 3 4 5 6,4“a=0”是“复数a+bi(a,bR)为纯虚数”的 条件. 答案:必要不充分,1 2 3 4 5 6,5已知(m2+7m+10)+(m2-5m-14)i=0,则实数m的值为 . 解析:(m2+7m+10)+(m2-5m-14)i=0,答案:-2,1 2 3 4 5 6,6已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,yR,求x与y.,
