1、3.1.2不等式的性质,复习 1.不等式的基本原理及含义 a - b 0 a b a - b = 0 a = b a - b a b 2.四大作用: (1) 比较两个实数的大小，(2) 推导不等式的性质，(3) 不等式的证明，(4) 解不等式的主要依据 3.比较大小的步骤: 分三步进行：作差；变形；定号.,变形是关键： 1变形常用手段:配方法，因式分解法 2变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几个平方和；几个因式的积,比较实数的大小一般步骤： 作差变形判断符号,1判断两个实数大小的方法,对于任意两个实数a、b，在ab，a= b，ab三种关系中有且仅有一种成立判断两个实数大小的方法是：,2不等
2、式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式,3. 同向不等式与异向不等式,同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：ab，cd，是同向不等式.,异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如：ab，cd，是异向不等式.,一、不等式的几个基本概念,性质1：如果ab，那么bb.,性质1表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的对称性。,性质2：如果ab，bc，那么ac.,证明：根据两个正数之和仍为正数，得,(ab)+(bc)0ac0 ac.,这个性质也可以表示为cb，ba，则ca.这个性质是不等式的传递性。,性质3：如果ab，则a+cb+
3、c.,证明：因为ab，所以ab0， 因此(a+c)(b+c)=a+cbc=ab0，,即 a+cb+c.,性质3表明，不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向.,a+bc a+b+(b)c+(b) acb.,由性质3可以得出,推论1：不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。 （移项法则）,推论2：如果ab，cd，则a+cb+d.,证明：因为ab，所以a+cb+c， 又因为cd，所以b+cb+d，,根据不等式的传递性得 a+cb+d.,几个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向。,推论1：如果ab0，cd0，则acbd.,性质4：
4、如果ab，c0，则acbc；如果ab，c0，则acbc.,证明：因为ab，c0，所以acbc， 又因为cd，b0，所以bcbd，,根据不等式的传递性得 acbd。,几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得的不等式与原不等式同向。,推论2：如果ab0，则anbn，(nN+，n1).,证明：因为,个，,根据性质4的推论1，得anbn.,推论3：如果ab0，则， (nN+，n1).,证明：用反证法，假定 ，即或 ，,根据性质4的推论2和根式性质，得ab或a=b，,这都与ab矛盾，因此,例1：应用不等式的性质，证明下列不等式：,（1）已知ab，ab0，求证： ；,证明：,（1）因为ab0，所以
5、,又因为ab，所以,即,因此,（2）已知ab， cbd；,证明：（2）因为ab，cb，cd，,根据性质3的推论2，得,a+(c)b+(d)，即acbd.,（3）已知ab0，0cd，求证：,证明：（3）因为0cd，根据（1）的结论得,又因为ab0，所以,即,例1. 已知ab，不等式:（1）a2b2；（2） ；（3） 成立的个数是（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3,A,附加题,例2设A=1+2x4，B=2x3+x2，xR，则A，B的大小关系是 。,AB,例3（1）如果30x36，2y6，求x2y及 的取值范围。,18x2y32，,（2）若3ab1，2c1，求(ab)c2的取值范围。,因为4ab0，1c24，所以16(ab)c20,例4若 ，求 的取值范围。,解：因为f(x)=ax2c,所以,解之得,所以f(3)=9ac=,因为,所以,两式相加得1f(3) 20.,练习已知4ab1，14ab5，求9ab的取值范围。,解：设9ab=m(ab)+n(4ab)=(m+4n)a(m+n)b，,令m+4n=9，(m+n)=1，解得，,所以9ab= (ab)+ (4ab),由4ab1，得,由14ab5，得,以上两式相加得19ab20.,
