1、函数的应用,专题一,一元二次方程根的分布,【例1】是否存在这样的实数 k，使得关于 x 的方程 x2(2k3)x(3k1)0 有两个实数根，且两根都在 0 与 2 之间？如果有，试确定 k 的取值范围；如果没有，试说明理由.,此不等式无解.即不存在满足条件的 k 值.本题中方程的两个根都在 0 与 2 之间，根据图象，可知：除满足上述条件外，还要考虑二次函数的对称轴在区间(0,2)内.对于含参数的方程的根的情况进行讨论时，要做到不重不漏.,【互动与探究】1.关于 x 的一元二次方程 5x2ax10 有两个不同的实根，一根位于区间(1,0)内，另一根位于区间(1,2)内，则实数 a,的取值范围为
2、_.,2.已知关于 x 的二次方程 x22mx2m10.(1)若方程有两实根，其中一根在区间(1,0)内，另 一根在区间(1,2)内，求实数 m 的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求实数 m 的取值范围.,解：(1)抛物线 f(x)x22mx2m1 与 x 轴的交点分 别在区间(1,0)和(1,2)内，画出示意图(如图 D27)，得图 D27,(2)抛物线与 x 轴的交点均在区间(0,1)内.列不等式组，得,专题二 函数的零点与方程的根的关系,【例2】已知函数 f(x)ax2x13a(aR)在区间1,1,上有零点，求实数 a 的取值范围.,解：方法一：当a0 时，f(x)x1，
3、令f(x)0，得x1，,是区间1,1上的零点.,当 a0 时，函数 f(x)在区间1,1上有零点，分为三种情,况：,若函数 yf(x)在区间1,1上有两个零点，则,解得 a.,方法二：当a0 时，f(x)x1，令 f(x)0，得 x1，是区间1,1上的零点.当 a0 时，f(x)ax2x13a 在区间1,1上有零点,则 g(t1)g(t2),【互动与探究】,3.对定义在实数集上的函数f(x)，若存在实数x0，使得f(x0)x0，那么称x0为函数f(x)的一个不动点.(1)已知函数f(x)ax2bxb(a0)有不动点(1,1)，(3，3)，求a，b的值；(2)若对于任意实数b，函数f(x)ax2
4、bxb(a0)总有两个相异的不动点，求实数a的取值范围.,解：(1)f(x)的不动点为(1,1)，(3，3)，,(2)函数总有两个相异的不动点， ax2(b1)xb0，0. 即(b1)24ab0对bR恒成立. 10，即(4a2)240. 0a1.,专题三,函数模型的应用,【例 3】 某公司为帮助尚有 26.8 万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出 20 万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).图 3-1,已知该种消费品的进价为每件 40 元；该店每月销售量 q(单位：百件)与销售价 p(单位：元/件)之间的关系用图 3-1
5、中的一条折线(实线)表示；职工每人每月工资为 600 元，该店应交付的其他费用为每月 13 200 元.,(1)若当销售价 p 为 52 元/件时，该店正好收支平衡，求该,店的职工人数；,(2)若该店只安排 40 名职工，则该店最早可在几年后还清,所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？,思维突破：本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面.从题目中找到关键词“收支平衡”“还清所有债务”，均与“利润”相关.从阅读和以上的分析，可明确这是一道函数型应用题.为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量 q 和商品
6、的销售单价 p 之间的关系，然后，通过研究解析式来对问题作出解答.由于销售量和各种支出均以月为单位，所以，先考虑月利,润.,解：(1)设该店的月利润为S 元，有职工m 名.则Sq(p40)100600m13 200.,由已知，当 p52 时，S0，即(2p140)(p40)100600m13 2000，解得 m50.即此时该店有 50 名职工.,(2)若该店只安排40 名职工，则月利润,当40p58，即 p55 时，S 取最大值为 7800 元.当58p81，即 p61 时，S 取最大值为 6900 元.综上所述，当p55 时，S 有最大值为 7800 元.设该店最早可在 n 年后还清债务，依
7、题意，有12n7800268 000200 0000.解得 n5.所以该店最早可在5 年后还清债务，此时消费品的单价定为 55 元.,求解数学应用题必须突破三关：,阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，,要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义；,建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学,问题；,数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.,【互动与探究】,4.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元(如图 3-2).(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系式；,(2)该家庭现有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？,图 3-2,所以当 t2，即 x16 万元时，该家庭获得最大收益为 3万元.,
