1、2.1.4 函数的奇偶性,考察下列两个函数： (1) ; (2) .,思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？,思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)有什么关系？,知识探究（一）,思考3:一般地，若函数y=f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)与f(-x)有什么关系？反之成立吗？,思考4:我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎样定义偶函数？,如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f(x)为偶函数.,f(x)=f(-x),思考5:等式f(-x)=f(x)用文字语言怎样表述？,自变量相反
2、时对应的函数值相等,思考6:函数 是偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？,偶函数的定义域关于原点对称,知识探究（二）,考察下列两个函数： (1) ; (2) .,思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？,思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)有什么关系？,思考3:一般地，若函数y=f(x)的图象关于坐标原点对称，则f(x)与f(-x)有什么关系？反之成立吗？,思考4:我们把具有上述特征的函数叫做奇函数，那么怎样定义奇函数？,如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇函数.,f(
3、x)=-f(-x),思考5:等式f(-x)=-f(x)用文字语言怎样表述？,自变量相反时对应的函数值相反,思考6:函数 是奇函数吗？奇函数的定义域有什么特征？,奇函数的定义域关于原点对称,偶函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫偶函数,奇函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x)= -f(x).那么f(x)就叫奇函数,数学概念,例1、判断下列函数的奇偶性,（2）,解：(1) 因为f(-x)=2x= -f(x) ,所 以f(x)是奇函数.(2) 因为f(x)的定义域为,是偶函数,(1),例题讲解,（4）,（3）,故f(2)不存在
4、，所以就谈不上与f(-2)相等了，由于任意性受破坏。所以它没有奇偶性,解：（3）,（4）,故函数没有奇偶性,定义域是否关于原点对称,思考：,在刚才的几个函数中有的是奇函数不是偶函数，有的是偶函数不是奇函数，也有既不是奇函数也不是偶函数的.那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？,f(x)=0,是不是具备这样性质的函数解析式只能写成这样呢？,例2、已知函数f(x)既是奇函数又是偶函数.求证：f(x)=0,证明：因为 f(x) 既是奇函数又是偶函数 所以 f(-x)=f(x),且f(-x)= -f(x) 所以 f(x)= -f(x) 所以 2f(x)=0 即 f(x)=0.,这样的函数有有
5、多少个呢？,f(x)只是解析式的特征。若改变函数的定义域，如f(x)=0,x-1,1和f(x)=0,x-2,-1,0,1,2显然是不同的函数，但他们都既是奇函数又是偶函数，所以这样的函数有无数多个.,函数按是否有奇偶性可分为四类：,(1)奇函数; (2)偶函数; (3)既是奇函数又是偶函数; (4)既不是奇函数又不是偶函数.,例3、判断下列函数的奇偶性,（1）解：当b=0时， f(x)为奇函数，当b0时，f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数.,（2）解：当a=0时，f(x) 既是奇函数又是偶函数，当a 0时，f(x)是偶函数.,3.具有奇偶性的函数图象的特征偶函数的图象关于y轴对称； 奇函数的图象关于原点对称,判断方法:,4.性质法:偶与偶的和差积商仍为偶;奇与奇的 和差为奇,积商为偶;奇与偶的积商为奇.,课堂小结,1.定义式:,2.等价形式:,
