1、2.1.4 函数的奇偶性,1、请观察以下两组函数的图象，从对称的角度，你发现了什么？,（1）,问题情境,（2）,再观察表，你看出了什么？,当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等.,学生活动,【探究】图象关于y轴对称的函数满足：对定义域内的任意一个x，都有反之也成立吗？,意义建构,从以上的讨论，你能够得到什么？,一般地，如果对于函数 的定义域内的任意一个 ，都有 那么称函数 是偶函数；,请同学们考察：图象关于原点中心对称的函数与函数式有怎样的关系？,数学理论,一般地，如果对于函数 的定义域内的任意一个 ，都有 那么称函数是奇函数；,偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称,【想
2、一想】具有奇偶性函数的图象的对称如何？,【强化】判断：,（1）若 则 是偶函数；,（2）若对于定义域内的一些x，使f(-x)=f(x)则f(x)是偶函数；,（3）若对于定义域内的无数个x，使f(-x)=f(x) 则f(x)是偶函数；,（4）若对于定义域内的任意x，使f(-x)=f(x) 则f(x)是偶函数；,（5）若 则f(x)不是偶函数.,对于定义在R上的函数f(x)，,否,否,否,是,是,【探索】具有奇偶性的函数，满足意味着其定义域满足怎样的条件？,定义域关于数“0”对称.,f(-x)=f(x)(或-f(x),f(1)有意义，则f(-1)有意义 f(-2)有意义，则f-(-2)=f(2)有
3、意义,例1、判断下列函数是否为奇函数或偶函数：,因为对任意的 都有,所以函数 是偶函数.,解:f(x)的定义域是R，,数学应用,例2.判断下列函数是否具有奇偶性：,解：（1）函数的定义域为R，当xR时，-xR因为所以函数 是奇函数,（2）函数的定义域为R，当xR时，-xR因为所以 是偶函数,解：（3）函数定义域为R，当xR时，-xR 因为 所以f(-x) f(x)，f(-x) -f(x) 因此函数 既不是偶函数也不是奇函数,（4）因为函数定义域不关于原点对称，存在3-1，3而-3-1，3，所以 既不是奇函数也不是偶函数,(1)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那
4、么函数f(x)就叫做偶函数.(2)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性,1.函数的奇偶性,要点疑点考点,一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数,2.具有奇偶性的函数图象特点,(2)利用定理，借助函数的图象判定,3.函数奇偶性的判定方法,(1)根据定义判定，首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再判定f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x). 有时判定f(-x)=f(x)比较困难，可考虑判定f(-x)f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=1,返回,(3)性质法判定在定义域的公共部分内两奇函数之积(商)为偶函数；两偶函数之积(商)也为偶函数；一奇一偶函数之积(商)为奇函数(注意取商时分母不为零)；偶函数在区间(a，b)上递增(减)，则在区间(-b，-a)上递减(增)；奇函数在区间(a，b)与(-b，-a)上的增减性相同.,谢谢观看！,
