1、第2课时 函数的最大值、最小值,主题1 函数的最大值 观察下列两个函数的图象,回答有关问题:,1.比较两个函数的图象,它们是否都有最高点? 提示:图中函数y=f(x)=-x2的图象上有一个最高点; 图中函数y=f(x)=-x的图象上没有最高点.,2.通过观察图你能发现什么? 提示:对任意xR,都有f(x)f(0).,结论:最大值的定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满 足: (1)对任意的xI,都有_. (2)存在x0I,使得_.那么,称M是函数y=f(x) 的最大值.,f(x)M,f(x0)=M,【微思考】 1.在最大值的定义中,实数M应满足什么条件? 提示:M是一个
2、函数值,即存在一个元素x0I,使M=f(x0). 2.函数f(x)最大值的几何意义是什么? 提示:函数最大值的几何意义是对应图象最高点的纵坐标.,主题2 函数的最小值 观察下列两个函数的图象,回答有关问题.,1.比较两个函数的图象,它们是否都有最低点? 提示:图中函数y=f(x)=x2的图象有一个最低点. 图中函数y=f(x)=x的图象没有最低点. 2.通过观察图你能发现什么? 提示:对任意xR都有f(x)f(0).,结论:最小值的定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满 足: (1)对任意的xI,都有_; (2)存在x0I,使得_. 那么,称M是函数y=f(x)的最小值
3、.,f(x)M,f(x0)=M,【微思考】 1.函数f(x)对于定义域内的任意元素都有f(x)M,则M是否是函数的最小值? 提示:不一定,若存在f(x0)=M,则是,否则不是.,2.若函数f(x)在区间a,b上是单调递增的,则函数f(x)的最大值是_;最小值是_. 提示:f(b) f(a),【预习自测】 1.函数y=2x+1在1,2上的最大值是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.1 【解析】选C.因为y=2x+1为增函数,所以y=2x+1在1,2上递增,所以ymax=22+1=5.,2.函数f(x)=x2-4x+3,x1,4的最小值为 ( ) A.-1 B.0 C.3 D.-2 【解析】选A
4、.因为f(x)在1,2上是减函数,在2,4上是增函数,所以f(x)的最小值为f(2)=-1.,3.函数f(x)= 则f(x)的最大值是_, 最小值是_. 【解析】当1x2时,82x+610, 当-1x1时,6x+78, 所以f(x)min=f(-1)=6,f(x)max=f(2)=10. 答案:10 6,4.函数f(x)在区间-2,5上的图象如图所示,则函数的最大值为_.,【解析】由题图可知,f(x)在x=5处取得最大值,故f(x)的最大值为f(5). 答案:f(5),5.函数f(x)=ax+1(a0)在区间1,3上的最大值为4,则a=_. 【解析】因为a0,所以函数f(x)=ax+1在区间1
5、,3上是增函数,所以f(x)max=f(3)=3a+1=4,所以a=1. 答案:1,6.求函数f(x)=x+ 在1,2上的最大值、最小值.(仿照教材P31例4的解析过程),【解析】设1x10,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在1,2上是减函数,从而函数的最大值是f(1)=1+4=5,最小值是f(2)=2+2=4.,类型一 利用单调性求函数的最值 【典例1】已知函数f(x)= ,x3,5. (1)判断函数f(x)的单调性,并证明. (2)求函数f(x)的最大值和最小值.,【解题指南】(1)利用定义判断f(x)的单调性. (2)根据f(x)的单调性,求最大、最小值
6、.,【解析】(1)f(x)在3,5上是增函数,证明如下: 任取x1,x23,5且x10, 所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在3,5上为增函数. (2)由(1)知,f(x)在3,5上为增函数, 则f(x)min=f(3)= ,f(x)max=f(5)= .,【方法总结】求函数最值的三种方法 (1)观察法:对于简单的初等函数,如一次函数、二次函数、反比例函数,可以依据定义域求出值域,观察得出. (2)图象法:对于图象较容易画出的函数的最值问题,可借助于图象直观求出.,(3)单调性法:对于较复杂的函数,可利用单调性的判断方法,判断出函数的单调性,然后求最值. 提醒:
7、利用单调性求最值时,一定要先确定函数的定义域.,【巩固训练】(2017济宁高一检测)求函数y= (-4x-2)的最大值和最小值. 【解题指南】先判断函数在-4,-2上的单调性,再求函数的最大、最小值.,【解析】设-4x1x2-2，因为f(x1)-f(x2)= 因为x1+10，x2+10，x1-x20，所以 0，所 以f(x1)f(x2)，所以f(x)= 在-4，-2上单调递增. 所以ymax=f(-2)=2，ymin=f(-4)= .,【补偿训练】1.函数 的最大值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】选D.当x0时,2x+33;当01时,-x+54.综上可知,当x=1时,y有最大
8、值4.,2.已知函数f(x)=x+ . (1)证明:f(x)在(1,+)内是增函数. (2)求f(x)在2,4上的最值.,【解析】(1)任取x1，x2(1，+)，并且x1x11，所以x1-x21，所以x1x2-10， 故(x1-x2) 0，即f(x1)f(x2). 所以f(x)在(1，+)内是增函数.,(2)由(1)知f(x)在2，4上是增函数， 所以当x2，4时，f(2)f(x)f(4).所以f(x)在2，4上的最大值为 ，最小值为 .,类型二 二次函数的最值问题 【典例2】(2017阜阳高一检测)已知二次函数f(x)=x2-2x+3. (1)当x-2,3时,求f(x)的最值. (2)当xt
9、,t+1时,求f(x)的最小值g(t).,【解题指南】(1)根据对称轴与区间的情况求解. (2)讨论对称轴与区间的关系求解.,【解析】f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,对称轴为x=1,开口向上. (1)f(x)在-2,1上递减,在1,3上递增, 所以f(x)min=f(1)=2,又因为f(-2)f(3), 所以f(x)max=f(-2)=11.,(2)当t1时,f(x)在t,t+1上递增, 所以g(t)=f(t)=t2-2t+3, 当t1t+1,即0t1时,g(t)=f(1)=2. 当t+11,即t0时,f(x)在t,t+1递减, 所以g(t)=f(t+1)=t2+2,综上可得g(t
10、)=,【延伸探究】 1.本例中(2)条件若改为当xt,t+1时f(x)有最小值3,求t的值.,【解析】由解析知f(x)的最小值g(t)= 当t1时,由t2-2t+3=3,解得t=2或t=0(舍去), 当0t1时,g(t)=23,无解. 当t0时,由t2+2=3,得t=-1或t=1(舍去), 故当f(x)的最小值为3时,t=2或t=-1.,2.本例中(2)条件不变,求f(x)最大值的解析式h(t). 【解析】由f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,对称轴为x=1, 当t1时,f(x)在t,t+1上递增, 所以h(t)=f(t+1)=t2+2, 当0tf(t+1), 所以h(t)=t2-2t
11、+3,当 t1时,f(t)f(t+1),所以h(t)=t2+2, 当t0时,f(x)在t,t+1上递减, 所以h(t)=f(t)=t2-2t+3, 综上可得h(t)=,【方法总结】求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在区间 m,n上的最值的类型 (1)若对称轴x=- 在区间m,n内,则最小值为 f(- )，最大值为f(m),f(n)中较大者(或区间端点 m,n中与x=- 距离较远的一个对应的函数值为最大值),(2)若- n,则f(x)在m,n上是减函数,最大值为f(m),最小值为f(n).,【补偿训练】1.若函数f(x)满足f(x+1)=x(x+3), xR,则f(x)的最小值为_.
12、【解题指南】先求f(x)的解析式,再利用配方法求f(x)的最小值.,【解析】由f(x+1)=x(x+3)=(x+1)2+(x+1)-2,得f(x)=x2+x-2= 所以f(x)的最小值是- . 答案:-,2.(2017银川高一检测)已知二次函数f(x)=-x2+2ax +1-a,x0,1,a为常数,求f(x)的最大值g(a)的解析式.,【解题指南】根据二次函数f(x)=-x2+2ax+1-a的对称轴与区间0,1的关系,讨论单调性求解. 【解析】函数f(x)=-x2+2ax+1-a的对称轴为x=a, 当a0时,f(x)在0,1上单调递减,此时f(x)max=f(0) =1-a.,当0a1时,f(
13、x)在0,a上递增,在a,1上递减, 所以f(x)max=f(a)=a2-a+1; 当a1时,f(x)在0,1上递增,所以f(x)max=f(1)=a. 所以g(a)=,类型三 函数最值的应用 【典例3】(2017菏泽高一检测)已知A,B两城相距100km,在两城之间距A城xkm处D地建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站距两城距离不得小于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数=0.3.若A城供电量为20亿度/月,B城为10亿度/月.,(1)把月供电总费用y表示成x的函数,并求定义域. (2)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用最小?,【解题指南】(1
14、)A城供电费用y1=0.320x2,B城供电费用y2=0.310(100-x)2,从而得出总费用,由x10且100-x10可得x的范围. (2)由二次函数的性质求最小值.,【解析】(1)A城供电费用为y1=0.320x2=6x2, B城供电费用y2=0.310(100-x)2=3(100-x)2, 所以总费用为:y=y1+y2=6x2+3(100-x)2 =9x2-600x+30000. 又 得10x90,故x的取值范围是x|10x90.,(2)y=9x2-600x+30000= 所以当x= 时,y取得最小值. 答:当核电站建在距A城 km时,才能使供电总费用最小.,【方法总结】解实际应用问题
15、的五个步骤 (1)审:审清题意,读懂题,找出各量之间的关系. (2)设:从实际问题中抽象出数学模型,恰当设出未知数. (3)列:根据已知条件列出正确的数量关系. (4)解:转化为求函数的最值或解方程或解不等式. (5)答:回归实际,明确答案,得出结论.,【巩固训练】某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000元,每生产一台仪器需要增加投入100元,已知总 收益满足函数:R(x)= 其中x是仪 器的月产量.,(1)将利润表示为月产量的函数f(x). (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元(总收益=总成本+利润)?,【解析】(1)因为月产量为x台,则总成本为20000+100
16、x, 从而f(x)=,(2)当0x400时,f(x)=- (x-300)2+25000, 所以当x=300时,f(x)有最大值25000; 当x400时,f(x)=60000-100x是减函数, f(x)60000-100400=2000025000. 所以每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25000元.,【补偿训练】(2017黄冈高一检测)某服装厂生产一 种服装,每件服装的成本为40元,出厂单价为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过500件.,(1)设一次订购量为x
17、件,服装的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式. (2)当销售商一次订购多少件服装时,该服装厂获得的利润最大?并求出最大值.,【解析】(1)当0x100,xN时,P=60. 当100x500,xN时,P=60-0.02(x-100)=62- . 所以P=,(2)设销售商一次订购量为x件,工厂获得的利润为y元, 则有y=(P-40)x= 当0x100且xN时,易知x=100时,y取得最大值, 为2000; 当100x500且xN时,y=22x (x-550)2+6050,此函数在1002000,所以当销售商一次订购500件服装时,该服装厂获得的利润最大,为6000元.,拓展类型:与最
18、值有关的恒成立问题 【典例】当x(1,2)时,不等式x2+mx+40恒成立,求m的取值范围. 【解题指南】分离出m,转化为求函数的最值,进而求得m的范围.,【解析】当x(1，2)时，不等式x2+mx+4-5，故m-5.,【方法总结】恒成立问题的两种求解方法 方法一:构造常见的函数模型,将参数分离,然后根据函数的性质,转化为函数的最大、最小值问题求解. 方法二:当函数的解析式较简单时,可以画出函数的图象,结合图象求最值.,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 求函数最值方法的适用函数 (1)观察法.适用于简单函数,如一次函数等. (2)图象法.对已知图象的函数用此方法. (3)配方法.对二次(或二次型)函数适用. (4)单调性法.可判断在闭区间上单调的函数适用.,注意事项 (1)最值M一定是一个函数值,是值域中的一个元素. (2)在利用单调性求最值时,勿忘求函数的定义域.,
