1、1.3 函数的基本性质,1.3.1 单调性与最大(小)值,第1课时 函数的单调性,1.理解增函数和减函数的定义,明确定义中“任意”两字的重要性,以及图象的特征. 2.知道函数单调性的含义,能够利用定义证明函数的单调性. 3.能够利用定义或图象求函数的单调区间,能够利用函数的单调性解决有关问题.,1,2,1.增函数和减函数,1,2,1,2,1,2,【做一做1-1】 已知函数y=f(x)在区间(a,b)内是减函数,x1,x2(a,b),且x1f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.以上都有可能 答案:B 【做一做1-2】已知0,3是函数f(x)定义域内的一个区间,若f(1)f(2),则函数f(
2、x)在区间0,3上( ) A.是增函数 B.是减函数 C.不是增函数就是减函数 D.增减性不能确定 解析:虽然1,20,3,12,且f(1)f(2),但是1和2是区间0,3内的两个特殊值,不是区间0,3内的任意值,所以f(x)在0,3上的增减性不能确定. 答案:D,1,2,2.单调性 (1)定义:如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间. (2)图象特征:函数y=f(x)在区间D上具有单调性,则函数y=f(x)在区间D上的图象是上升的或下降的.,1,2,1,2,1,2,【做一做2】 已知函数f(
3、x)的图象如图所示,则( ) A.函数f(x)在-1,2上是增函数 B.函数f(x)在-1,2上是减函数 C.函数f(x)在-1,4上是减函数 D.函数f(x)在2,4上是增函数 答案:A,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思证明函数单调性的常用方法是定义法,利用定义法判断函数单调性的步骤为:,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 用单调性的定义证明:函数f(x)=2x2+4x在(-,-1上是减函数.x10,即f(x1)f(x2), f(x)在(-,-1上是减函数.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例2】 已知函数f(x)=-x2+2|x|+3. (
4、1)用分段函数的形式表示f(x); (2)画出f(x)的图象; (3)根据图象写出f(x)的单调区间. 分析:(1)对x的正负分类讨论即可;(2)利用画分段函数图象的步骤画出;(3)借助函数图象写出单调区间.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.需要注意的是,不要忘记函数的定义域. 2.(1)若f(x)在区间D上是增函数,x1,x2是区间D内的任
5、意两个实数,则f(x1)f(x2)x1x2;f(x1)f(x2)x1x2.,题型一,题型二,题型三,题型四,A.减函数,且f(0)0 D.增函数,且f(0)0 解析:由题意得a0,即a0,且b0,故f(x)=bx+a在R上为减函数,且f(0)=a0. 答案:A,题型一,题型二,题型三,题型四,易错点 对“单调区间是”和“在区间上单调”理解错误 【例4】 已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2. (1)若函数f(x)的单调递减区间是(-,4,则实数a的值(或取值范围)是 ; (2)若函数f(x)在区间(-,4上单调递减,则实数a的值(或取值范围)是 .,题型一,题型二,题型三,题型四,错解:
6、(1)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a.由于函数f(x)的单调递减区间是(-,4,因此1-a4,即a-3.故应填(-,-3. (2)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a.由于函数f(x)在区间(-,4上单调递减,因此1-a=4,即a=-3.故应填-3. 错因分析:函数的单调递减区间是I,指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调递减,则指此区间是相应单调递减区间的子集.错解颠倒了这两种说法的含义,从而导致出错. 正解:(1)因为函数f(x)的单调递减区间是(-,4,且函数f(x)图象的对称轴为直线x=1-a,所以有1-a=4,即a=-3.故应填-3. (2)因为函数f(x)在区间(-,4上单调递减,且函数f(x)图象的对称轴为直线x=1-a, 所以1-a4,即a-3.故应填(-,-3.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练4】 已知函数f(x)=|x+a|在区间(-,1上单调递减,则a的取值范围是( ) A.a1 B.0a1 C.a-1 D.-1a0f(x)的递减区间为(-,-a. 由题意,(-,1(-,-a, -a1,a-1. 答案:C,
