1、1.3.2 函数的奇偶性学案知识梳理1.奇 函 数 ： 对 于 函 数 f（ x） 的 定 义 域 内 任 意 一 个 x， 都 有 f（ x） = f（ x） 或 f（ x）+ f（x）=0 ，则称 f（x）为奇函数.2.偶 函 数 ： 对 于 函 数 f（ x） 的 定 义 域 内 任 意 一 个 x， 都 有 f（ x） =f（ x） 或 f（ x） f（x）=0 ，则称 f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称.（3）
2、若奇函数的定义域包含数 0，则 f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（，+）上的任意函数 f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.中华.资*源%库 点击双基1.下面四个结论中，正确命题的个数是偶函数的图象一定与 y 轴相交 奇函数的图象一定通过原点 偶函数的图象关于 y轴对称 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f（x）=0（xR）A.1 B.2 C.3 D.4解析：不对；不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；正确；不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为 f（x）=0x（a，a） .答案：A2.已知函数 f（x）=ax 2bxc（a0）是偶函数，那么 g（x
3、）=ax 3bx 2cx 是A.奇函数 B.偶函数C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数解析：由 f（x）为偶函数，知 b=0，有 g（x）=ax 3cx（a0）为奇函数.答案：A3.若偶函数 f（x）在区间1，0上是减函数，、 是锐角三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的是A.f（cos）f（cos） B.f（sin）f（cos）C.f（sin）f（sin） D.f（cos）f（sin）解析：偶函数 f（x）在区间1，0上是减函数，f（x）在区间0，1上为增函数.由 、 是锐角三角形的两个内角，+90，90.1sincos0.f（sin）f（cos）.答案：B4.已知 f（x）ax 2bx3
4、ab 是偶函数，且其定义域为a1，2a ，则a_，b_.解析：定义域应关于原点对称，故有 a12a，得 a .31又对于所给解析式，要使 f（x）f（x）恒成立，应 b0.答案： 035.给定函数:y= （x0） ；y=x 2+1；y=2 x；y=log 2x；y=log 2（x+ ）.x1 12x在这五个函数中，奇函数是_，偶函数是_，非奇非偶函数是_.答案： 典例剖析【例 1】 已知函数 y=f（x）是偶函数，y=f（x2）在0，2上是单调减函数，则A.f（0）f（1）f（2） B.f（1）f（0）f（2）C.f（1）f（2）f（0） D.f（2）f（1）f（0）剖析：由 f（x2）在0，
5、2上单调递减，f（x）在2，0上单调递减.y=f（x）是偶函数，f（x）在0，2上单调递增.又 f（1）=f（1） ，故应选 A.答案：A【例 2】 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1） ；x1（3）f（x）= ；2|x（4）f（x）= ).0()1(,x剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域 x（，+） ，对称于原点.f（x）=|x+1|x1|=|x1|x+1|=（|x+1|x1|）=f（x） ，f（x）=|x+1|x1|是奇函数.（ 2） 先 确 定 函 数 的 定 义 域 .由 0， 得 1 x 1， 其 定 义 域 不 对
6、 称 于 原 点 ， 所 以x1f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由 得,02|1x.4,1x且故 f（ x） 的 定 义 域 为 1， 0） （ 0， 1 ， 关 于 原 点 对 称 ， 且 有 x+2 0.从 而 有 f（ x） = = ，这时有 f（x）= = =f（x） ，故 f（x）为奇212 x2)(1函数.（4）函数 f（x）的定义域是（，0）（0，+） ，并且当 x0 时，x0，f（x）=（x） 1（x） =x（1+x）=f（x） （x0）.当 x0 时，x0，f（x）=x（1x）=f（x） （x0）.故函数 f（x）为奇函数.评述：（1）分
7、段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例 3】 （2005 年北京东城区模拟题）函数 f（x）的定义域为 D=x|x0，且满足对于任意 x1、x 2D，有 f（x 1x2）=f（x 1）+f（x 2）.（1）求 f（1）的值；（2）判断 f（x）的奇偶性并证明；（3）如果 f（4）=1，f（3x+1）+f（2x6）3，且 f（x）在（0，+）上是增函数，求x 的取值范围.（1）解：令 x1=x2=1，有 f（11）=f（1）+f（1） ，解得 f（1）=0.（2）证明：令 x1=x2=1，有 f（1）（1） =f（1）+f（1）.解得 f（1）=0.令
8、 x1=1，x 2=x，有 f（x）=f（1）+f（x） ，f（x）=f（x）.f（x）为偶函数.（3）解：f（44）=f（4）+f（4）=2，f（164）=f（16）+f（4）=3.f（3x+1）+f（2x6）3 即 f（3x+1） （2x6） f（64）.（*）f（x）在（0，+）上是增函数，（*）等价于不等式组64)2(13,0x或 ,)(或 或537,1x或 .,3Rx3x5 或 x 或 x3.31x 的取值范围为x| x 或 x3 或 3x5.71评述：解答本题易出现如下思维障碍：（1）无从下手，不知如何脱掉“f”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关
9、于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.深化拓展已知 f（x） 、g（x）都是奇函数，f（x）0 的解集是（a 2，b） ，g（x）0 的解集是（， ） ， a 2，那么 f（x）g（x）0 的解集是2abA.（ ， ） B.（b，a 2）2aC.（a 2， ）（ ，a 2） D.（ ，b）（b 2，a 2）ba提示：f（x）g（x）0 或0)(,xgf.0)(,xgfx（a 2， ）（ ，a 2）.b答案：C【例 4】 （2004 年天津模拟题）已知函数 f（x）=x+ +m（p0）是奇函数.p（1）求 m 的值.（2） （理）当 x1，2时，求 f（x）的最大值和最
10、小值.（文）若 p1，当 x1，2时，求 f（x）的最大值和最小值.解：（1）f（x）是奇函数，f（x）=f（x）.x +m=x m.p2m=0.m=0.（2） （理） （）当 p0 时，据定义可证明 f（x）在1，2上为增函数.f（x） max=f（2）=2+ ，f（x） min=f（1）=1+p.（）当 p0 时，据定义可证明 f（x）在（0， 上是减函数，在 ，+）上是pp增函数.当 1，即 0p1 时，f（x）在1，2上为增函数，f（x） max=f（2）=2+ ，f（x） min=f（1）=1+p.当 1，2时，f（x）在1，p上是减函数.在p，2上是增函数.f（x） min=f（
11、）=2 .f（x） max=maxf（1） ，f（2）=max1+p，2+ .2p当 1 p 2 时 ， 1+p 2+ ， f（ x） max=f（ 2） ； 当 2 p 4 时 ， 1+p 2+ ， f（ x） max=f（ 1） . 当 2， 即 p 4 时 ， f（ x） 在 1， 2 上 为 减 函 数 ， f（ x） max=f（ 1）=1+p， f（x） min=f（2）=2+ .p（文）解答略.评述：f（x）=x+ （p0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法.x1.2 函数的基本性质要点精讲1奇偶性（1）定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x)
12、=f(x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 1由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一 2个 x，则x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称） 。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 1确定 f(x)与
13、f(x)的关系； 2作出相应结论： 3若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是奇函数。（3）简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称；设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：()fxg12,D奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇2单调性（1）定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2，当
14、 x1f(x2)） ，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（减函数） ；注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 1必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2；当 x10 与 a 0 时， ),0(,(| aax 函 数 的 定 义 域 为，当 a 0 时，f(x)为奇函数；xf2)(,0| ,2,2)(,| 1axafax 称 的 两 点取 定 义 域 内 关 于 原 点 对既不是奇函数，也不是偶函数.)(,0,35)2() xfff 时当 点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应
15、考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变） 。例 2(2002 天津文.16)设函数 f（x）在（，+）内有定义，下列函数：y=|f（x）|；y=xf（x 2） ；y=f（x） ；y=f（x）f（x） 。必为奇函数的有_（要求填写正确答案的序号）答案：；解析：y=（x）f（x） 2=xf（x 2）=y；y=f（x）f（x）=y。点评：该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维能力有较高的要求。题型二：奇偶性的应用例 3 （2002 上海春，4）设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，若当 x0 时，f（x）=log3（1+x） ，则 f（2）=_ _。WWW答案：1；解：因
16、为 x0 时，f（x）=log 3（1+x） ，又 f（x）为奇函数，所以 f（x）=f（x） ，设 x0，所以 f（x）=f（x）=f（1x） ，所以 f（2）=log 33=1。点评：该题考察函数奇偶性的应用。解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值。例 4已知定义在 R 上的函数 y= f(x)满足 f(2+x)= f(2x)，且 f(x)是偶函数，当 x时，f(x)=2x1，求 x时 f(x)的表达式。解：由条件可以看出，应将区间分成两段考虑：若 x，x，f(x)为偶函数，当 x时，f(x)= f(x)=2x1,若 x= f(4+x)=2（x+4）1=2x+7；综上，
17、.)02(1472)(xxf点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式。题型三：判断证明函数的单调性例 5 （2001 天津，19）设 ， 是 上的偶函数。0a()xeafR（1）求 的值；（2）证明 在 上为增函数。afx,解：（1）依题意，对一切 ，有 ，即 。R()ffx1xxeaa 对一切 成立，则 ， ，1()xae0x0 ， 。0（2）(定义法)设 ，则12121212()xxffee，1211212 2()xx xxee由 ，得 ， ，110,02110,xe210xe ，2()fxf即 ， 在 上为增函数。1()fx,)（导数法） ，a021()()0xxxe
18、fe 在 上为增函数f0,点评：本题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁。例 6已知 f(x)是定义在 R 上的增函数，对 xR 有 f(x)0，且 f(5)=1，设 F(x)= f(x)+，讨论 F (x)的单调性，并证明你的结论。)(1xf解：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。在 R 上任取 x1、x 2，设 x110 时 f(x)1; 若 x1x15，则 f(x2)f(x1)1 , f(x 1)f(x2)1, $来&源： 0, )(xf F(x 2) F (x1)；综上，F (x)在（，5）为减函数，在（5，+）为增函数。点评：该题属于判断抽象函数的
19、单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点。题型四：函数的单调区间例 7 （2001 春季北京、安徽，12）设函数 f（x） （ab0） ，求 f（x）的单调区间，并证明 f（x）在其单调区间上的单调性。.解：在定义域内任取 x1x 2，f（x 1）f（x 2） )()(2121212 bxaaxba，)(21baab0，ba0，x 1x 20，只有当 x1x 2b 或bx 1x 2时函数才单调当 x1x 2b 或bx 1x 2时 f（x 1）f（x 2）0f（x）在（b，）上是单调减函数，在（，b）上是单调减函数点评：本小题主要
20、考查了函数单调性的基本知识。对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数的单调区间。例 8 （1）求函数 的单调区间；20.7log(3)yx（2）已知 若 试确定 的单调区间和单调性。()8,fx2()fx()gx解：（1）函数的定义域为 ，,)1(分解基本函数为 、ty7.0log232x显然 在 上是单调递减的，而 在 上分别是t7.0l),(232xt ),(1单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则：所以函数 在 上分别单调递增、单调递减。20.7log(3)yx),(1（2）解法一：函数的定义域为 R，分解基本函数为 和 。8)(2xtf 2t显然 在 上是单调递减的， 上单
21、调递增；)(2tfg),1( )1,(而 在 上分别是单调递增和单调递减的。且 ，xt,012x根据复合函数的单调性的规则：所以函数的单调增区间为 ；单调减区间为 。(,1)(0,(1,),0解法二： ，22()8gxx428x，34令 ，得 或 ，()0x10x令 ， 或g单调增区间为 ；单调减区间为 。(,)(,(1,),0点评：该题考察了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减”的规则。题型五：单调性的应用例 9已知偶函数 f(x)在(0，+)上为增函数，且 f(2)=0，解不等式 flog 2(x2+5x+4)0。解：f(2)=0,原不等式可化为 flog 2(x2+5x+4)f(2)
22、。 又f(x)为偶函数，且 f(x)在(0，+)上为增函数，f(x)在(,0)上为减函数且 f(2)=f(2)=0。不等式可化为 log 2(x2+5x+4)2 或 log 2(x2+5x+4)2 由得 x2+5x+44，x5 或 x0 由得 0x 2+5x+4 得41x4 或1x 152105由得原不等式的解集为x|x5 或 x4 或1x 或 x0 。202105例 10已知奇函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)在0，+上是增函数，是否存在实数m，使 f(cos23)+f(4m2mcos)f(0)对所有 0, 都成立？若存在，求出符合条件的所有实数 m 的范围，若不存在，说明理由。解：
23、f(x)是 R 上的奇函数，且在0，+上是增函数，$来&源：f(x)是 R 上的增函数，于是不等式可等价地转化为 f(cos23)f(2mcos4m)，WWW即 cos232mcos4m,即 cos2mcos+2m20。设 t=cos,则问题等价地转化为函数g(t)=t 2mt+2m2=(t )2 +2m2 在0，1上的值恒为正，又转化为函数m4g(t)在0，1上的最小值为正。当 0 m1 与 m0 42 1,即 m2 时，g(1)=m10 m1。mm2综上，符合题目要求的 m 的值存在，其取值范围是 m42 。另法(仅限当 m 能够解出的情况)： cos2mcos+2m20 对于 0, 恒成
24、立，2等价于 m(2cos 2)/(2cos) 对于 0, 恒成立当 0, 时，(2cos 2)/(2cos) 42 ，m42 。点评：上面两例子借助于函数的单调性处理了恒成立问题和不等式的求解问题。题型六：最值问题例 11 （2002 全国理，21）设 a 为实数，函数 f（x）=x 2+|xa|+1，xR。（1）讨论 f（x）的奇偶性；（2）求 f（x）的最小值。解：（1）当 a=0 时，函数 f（x）=（x） 2+|x|+1=f（x） ，此时 f（x）为偶函数。当 a0 时，f（a）=a 2+1，f（a）=a 2+2|a|+1，f（a）f（a） ，f（a）f（a） 。此时函数 f（x）既
25、不是奇函数，也不是偶函数。（2）当 xa 时，函数 f（x）=x 2x+a+1=（x ） 2+a+ 。143若 a ，则函数 f（x）在（，a）上单调递减，从而，函数 f（x）在（，a）上1的最小值为 f（a）=a 2+1。若 a ，则函数 f（x）在（，a 上的最小值为 f（ ）= +a，且 f（ ）1214321f（a） 。当 xa 时，函数 f（x）=x 2+xa+1=（x+ ） 2a+ 。143若 a ，则函数 f（x）在a，+ 上的最小值为 f（ ）= a，且 f（ ）21)121f（a） 。若 a ，则函数 f（x）在a，+上单调递增，从而，函数 f（x）在a，+上21的最小值为
26、f（a）=a 2+1。综上，当 a 时，函数 f（x）的最小值是 a。2143当 a 时，函数 f（x）的最小值是 a2+1。当 a 时，函数 f（x）的最小值是 a+ 。2143点评：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助.因为 xR，f（0）=|a|+10，由此排除 f（x）是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当 a=0 时，f（x）是偶函数，第 2 题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想。例 12设 m 是实数，记 M=m|m1，f(x)=log 3(x24mx+4m 2+m+ )。1m(1)证明：当 mM 时，f(x)对所有实数都
27、有意义；反之，若 f(x)对所有实数 x 都有意义，则 mM；(2)当 mM 时，求函数 f(x)的最小值；(3)求证：对每个 mM,函数 f(x)的最小值都不小于 1。(1)证明：先将 f(x)变形：f(x)=log 3(x2m) 2+m+ ,m当 mM 时，m1,(xm) 2+m+ 0 恒成立，1m故 f(x)的定义域为 R。反之，若 f(x)对所有实数 x 都有意义，则只须 x24mx+4m 2+m+ 0。1m令 0，即 16m24(4m 2+m+ )0，解得 m1，故 mM 。1m(2)解析：设 u=x24mx+4m 2+m+ ，y=log 3u 是增函数，当 u 最小时，f(x)最小
28、。而 u=(x2m) 2+m+ ，1m显然，当 x=m 时，u 取最小值为 m+ ，1此时 f(2m)=log3(m+ )为最小值。1(3)证明：当 mM 时，m+ =(m1)+ +13，1m1当且仅当 m=2 时等号成立。log 3(m+ )log 33=1。1点评：该题属于函数最值的综合性问题，考生需要结合对数函数以及二次函数的性质来进行处理。题型七：周期问题例 13若 y=f(2x)的图像关于直线 和 对称，则 f(x)的一个周期为（ 2ax)(ab）A B C D2ba)(2b)(4ab解：因为 y=f(2x)关于 对称，所以 f(a+2x)=f(a2x)。ax所以 f(2a2x)=f
29、=f=f(2x)。同理，f(b+2x) =f(b2x)，所以 f(2b2x)=f(2x)，所以 f(2b2a+2x)=f=f(2a2x)=f(2x)。所以 f(2x)的一个周期为 2b2a，故知 f(x)的一个周期为 4(ba)。选项为 D。点评：考察函数的对称性以及周期性，类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可。若函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 和 x=b 对称（ab） ，则这个函数是周期函数，其周期为 2（ba） 。例 14已知函数 是定义在 上的周期函数，周期 ，函数()yfxR5T是奇函数又知 在 上是一次函数，在 上是二次函数，()1yfx()yfx0,11,4
30、且在 时函数取得最小值 。25证明： ；()40f求 的解析式；,1yx求 在 上的解析式。()f9解： 是以 为周期的周期函数，x5 ，(4)5)(1ff又 是奇函数，yx ，(1)(4fff 。0当 时，由题意可设 ，,x2()5 (0)fxaa由 得 ，(1)4f 2154a ，2a 。2()()fxx 是奇函数，1y ，(0)f又知 在 上是一次函数，yx,可设 ，而 ，()1)fk2()1)53f ，当 时， ，30x3x从而当 时， ，故 时， 。1()ff 1x()3fx当 时，有 ，46x15x 。()3()1f当 时， ，94 22()5)()5(7)5fxxx 。231,6
31、(7)9f点评：该题属于普通函数周期性应用的题目，周期性是函数的图像特征，要将其转化成数字特征。五思维总结1判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(x)= f(x)f(x) f(x)=0；2对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广，可得函数 f(x)的图象关于直线 x=a对称的充要条件是对定义域内的任意 x，都有 f(x+a)=f(a-x)
32、成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映；3若奇函数的定义域包含 0，则 f(0)=0，因此， “f(x)为奇函数”是“f(0)=0“的非充分非必要条件；4奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性。5若存在常数 T，使得 f(x+T)=f(x)对 f(x)定义域内任意 x 恒成立，则称 T 为函数 f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集。6单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。注意，关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析，严格的解答还是应该运用定义或求导解决。
