1、1.3 函数的基本性质学案1.3.1 函数的单调性与最大（小）学案一、 【学习目标】 （自学引导：这节课我们主要任务就是通过对单调性的研究，然后会运用函数单调性解决题目.这节课的特点是符号较多，希望同学们课下做好预习.）Z1、理解函数单调性的本质内容和函数单调性的几何意义；2、掌握判断函数单调性的判断方法：定义法和图象法；3、熟练的掌握用定义法证明函数单调性及其步骤.课前引导：函数图象上任意点 P(x,y)的坐标有什么意义？二、 【自学内容和要求及自学过程】观察教材第 27 页图 1.3-2，阅读教材第 27-28 页“思考”上面的文字，回答下列问题（自学引导：理解“上升” 、 “下降”的本质
2、内涵，归纳出增函数的定义）你能描述上面函数的图像特征吗？该怎样理解“上升” 、 “下降”的含义？对于二次函数 y=x2，列出表(1)，完成表(1)并体会图象在 y 轴右侧上升；x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f(x)=x2 结论 ：函数 y=x 的图象，从左向右看是（上升、下降）的；函数 y=x2的图象在y 轴左侧是的，在 y 轴右侧是的；函数 y=-x2的图象在 y 轴左侧是的，在 y 轴右侧是的；按从左向右的方向看函数的图象，意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大；图象是上升的意味着图象上点的（横、纵）坐标逐渐变大，也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看
3、图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而；“下降”亦然；在区间(0，+)上，任取 x1、x 2，且x1),也就是有 f(x1) f(x 2).这样可以体会用数学符号刻画图象上升.阅读教材第 28 页“思考”下面的内容，然后回答下列问题（自学引导：同学们要理解增函数的定义，符号比较多，要一一的理解）数学上规定：函数 y=x2在区间(0,+)上是增函数.请给出增函数定义.增函数的定义中，把“当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)”，这样行吗?增函数的定义中， “当 x1增函数的几何意义是什么？结论 ：一般地，设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量
4、的值 x1、x 2，当时，都有，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数；增函数的定义：由于当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)”都是相同的不等号“” ，即前面是“” ，后面也是“”,步调一致.因此我们可以简称为：步调一致增函数；增函数反映了函数值随自变量的增大而增大；从左向右看,图象是上升的；增函数几何意义是从左向右看,图象是（上升、下降）的；（自学引导：类比增函数的定义，切实理解减函数的含义.）思考 ：类比增函数的定义，请你给出减函数的定义；函数 y=f（x）在区间 D 上具有单调性，说明了函数y=f（x）在区间 D 上的图象有什么变化趋势？结论 ：一般地，设函数 f(x)的定义
5、域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x 2，当时，都有，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数.简称为：步调不一致减函数.减函数的几何意义：从左向右看,图象是的.函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小；函数 y=f（x）在区间 D 上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小） ，几何意义：从左向右看,图象是（）（上升、下降）的；中华.资*源%库 阅读教材第 29 页第一段，然后回答下列问题你能理解“严格的单调性”所包含的含义吗？试述之.三、讲授新课1.引例：观察 y=x2的图象，回答下列问题（投影1）问题 1：函数 y=x2的图象在 y
6、 轴右侧的部分是上升的，说明什么？随着 x 的增加，y 值在增加。问题 2：怎样用数学语言表示呢？设 x1、x 2，得 y1=f(x1), y2=f(x2).当 x1f(x2).那么就是 f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。中/华-资*源%库注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；（2）注意区间上所取两点 x1,x2的任意性；（3）函数的单调性是对某个区间而
7、言的，它是一个局部概念。Z1、 说明1） 。单调区间是定义域的子集；2） 。若函数 f(x)在区间 D 上是增函数，则图象在 D 上的部分从左到右呈趋势若函数 f(x)在区间 D 上是减函数，则图象在 D 上的部分从左到右呈趋势3） 。单调区间一般不能并2、 判断单调性的方法：定义； 导数； 复合函数单调性：同增则增，异增则减； 图象3、 常用结论：两个增（减）函数的和为_；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是_；奇函数在对称的两个区间上有_的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_的单调性；Z互为反函数的两个函数在各自定义域上有_的单调性；（III）例题分析例 1.下图是定义在闭区间 上的函
8、数 y=f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，5,以及在每一个区间上的单调性（课本 P34例 1） 。问题 3：y=f(x)在区间 ， 上是减函数；在区间 ， 上是增函数，那2,53,11,25,3么在两个区间的公共端点处，如：x=-2,x=-1,x=3 处是增函数还是减函数？分析：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因此没有增减变化，所以不存在单调性问题；另一方面，中学阶段研究的是连续函数或分段连续函数，对于闭区间的连续函数而言，只要在开区间单调，则它在闭区间也单调。因此在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以（要注意端点是否在定义域范围内） 。说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法。严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明。例 2证明函数 f(x)=3x+2 在 R 上是增函数。证明：设任意 x1、x 2R，且 x1x2.则 f(x1)- f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2).由 x1x2得 x1-x20.f(x 1)- f(x2)0,即 f(x1)f(x2).f(x)=3x+2 在 R 上是增函数。分析：判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：a.设 x1、x 2给定区间，且 x1x2；b.计算 f(x1)- f(x2)至最简；c.判断上述差的符号；
