1、二次函数的图象与性质(二),二次函数y=ax2+c的图象与性质,温故知新,向上,向下,(0 ,0),(0 ,0),y轴,y轴,当x0时， y随着x的增大而增大。,当x0时， y随着x的增大而减小。,x=0时,y最小=0,x=0时,y最大=0,抛物线y=ax2 (a0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.,填空: (1)抛物线y=2x2的开口_顶点坐标是_; 对称轴是_;在_ 侧, y随着x的增大而增大;在_侧, y随着x的增大而减小;当x=_时,函数y的值最小,最小值是_ ;抛物线y=2x2在x轴的_方(除顶点外).,（0，0）,y轴,对称轴的左,0,对称轴的
2、右,0,上,向上,(2)抛物线 开口_，顶点_ 对称轴_， 当x_时,y随着x的增大而增大；当x_时,y随着x的,增大而减小 当x=0时,函数y的值最_,最_值是_, 当x_0时,y0.,向下,0,0,0,(0，0),y轴,大,大,y=x2,y=x2+1,5 2 1 2 5,函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?,函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到.,操作 与 思考,函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?,相同,y=x2+1,y=x2,y=x2-2,2 -1 -2 -1 2,函数y=x2-2的图象可由y=x2的图象沿y轴向下平
3、移2个单位长度得到.,函数y=x2-2的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?,操作 与 思考,函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?,相同,函数y=ax2 (a0)和函数y=ax2+c (a0)的图象形状 ，只是位置不同；当c0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位得到，当c0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象 向 平移 个单位得到。,y=-x2-2,y=-x2+3,y=-x2,函数y=-x2-2的图象可由y=-x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.,函数y=-x2+3的图象可由y=-x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到.,图象向
4、上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?,上加下减,相同,上,c,下,|c|,当a0时，抛物线y=ax2+c的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 ， 当x= 时，取得最 值，这个值等于 ；当a0时,抛物线y=ax2+c的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 。,y=-x2-2,y=-x2+3,y=-x2,y=x2-2,y=x2+1,y=x2,向上,y轴,(0,c),减小,增大,0,小,c,向下,y轴,(0,c),增大,减小,
5、0,大,c,观 察 思 考,二次函数 的图象及性质：,归纳,1.图象是一条抛物线，对称轴为y轴，顶点为(0，c)。,二次函数 的图象及性质：,归纳,2.当a0时，开口向上； 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大； 当x=0时，y取最小值为c。,二次函数 的图象及性质：,归纳,3.当a0时，开口向下； 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， 在对称轴的右侧，y随x的增大而减小； 当x=0时，y取最大值为c。,二次函数 的图象及性质：,归纳,4.抛物线y=ax2+c与y=ax2形状相同， 可由y=ax2上下平移|c|个单位得到(上加下减)，,二次函数y=ax2+c
6、的性质,开口向上,开口向下,与y=ax2的形状相同，可由y=ax2上下平移得到,关于y轴对称,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减,c0,c0,c0,c0,(0,c),(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向 平移 个单位得到；y=4x2-11的图象 可由 y=4x2的图象向 平移 个单位得到。,（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 。将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是 。,(2)将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7
7、的图象向 平移 个 单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象。,上,5,下,11,下,4,上,7,上,9,y=4x2+3,y=-5x2-4,小试牛刀,（4）抛物线y=-3x2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ， 当x= 时，取得最 值，这个值等于 。,6.二次函数y=ax2+c (a0)的图象经过点A（1，-1），B（2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 。 若点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的 坐标为 点D的坐标为_ .,（5）抛物线y=7x2-
8、3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ， 当x= 时，取得最 值，这个值等于 。,下,y轴,(0,5),减小,增大,0,大,5,上,y轴,(0,-3),减小,增大,0,小,-3,y=2x2-3,(-2,5),或,小试牛刀,(2)与 的开口大小相同，方向相反；,范例,例1、求符合下列条件的抛物线的函数关系式： (1)经过点(-3，2)；(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4。,巩固,1、已知一次函数 的图象如图 所示，则二次函数 的图象大 致是如下图的( ),B,巩固,2、如图，某桥洞的抛物线形，水面宽 AB=1.6m，桥洞顶
9、点C到水面的距离为 2.4m，求这个桥洞所在抛物线的解析式。,1.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( )A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状2.已知抛物线y=2x2-1上有两点(x1,y1 ) ,(x1,y1 )且x1x20，则y1_y2(填“”或“”),C,大显身手,大显身手,3.已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上,且x2|x1|, |x3|x4|, 则 ( ),x1,x2,x3,x4,y1,y4,y3,y2,A.y1y2y3y4,B.y2y1y3y4,C.y3y2y4y1,D.y4y2
10、y3y1,B,4.已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1x2, x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等， 则当x取x1+x2时，函数值为 （ ）A. a+c B. a-c C. c D. c,D,大显身手,5、函数y=ax2-a与y=,在同一直角坐标系中的图象可能是 （ ）,A,大显身手,大显身手,6、一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线,运行，然后准确落入蓝筐内，已知蓝筐的中心离地面的 距离为3.05m。1、球在空中运行的最大高度是多少米？2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度 为2.25m ，则他离篮筐中心的水平距离AB是多少？,小结,二次函数 的图象及性质：,(1)形状、对称轴、顶点坐标；,(2)开口方向、最值；,(3)增减性。,谈谈你的收获,小结：,
