1、第2章 投影法及点、直线和平面的投影,2.1 投影法的基本知识 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影,2.1 投影法的基本知识,一、投影法,图2-1 投影现象,图2-2 投影方法,二、 投影法的分类 1. 中心投影法,2. 平行投影法,图2-3 平行投影,图2-4 投影的定比性,图2-5 投影的平行性,(4) 当线段或者平面平行于投影面时, 其投影反映原线段的实长或原平面图形的实形。如图2-6所示,因为ABH及CDEH, 故AB=ab及CDEcde。,图2-6 投影的实形性,2. 积聚性,图2-7 线、面投影的积聚性,3. 类似性当平面与投影面倾斜但不平行投射方向时, 其投
2、影具有类似性。如平面多边形的投影仍为同边数的多边形，平面上圆的投影为椭圆。,2.2 点 的 投 影,图2-8 三投影面体系,一、点的三面投影,图2-9 点的三面投影,点在三投影面体系中的投影规律如下：(1) 点的正面投影和水平投影连线垂直于OX轴, 即aaOX。 (2) 点的正面投影和侧面投影连线垂直于OZ轴,即aaOZ。 (3) 点的水平投影到OX轴的距离, 等于点的侧面投影到OZ轴的距离, 即aaX=aaZ, 或者OaYH=OaYW。,二、 点的投影与直角坐标的关系,图2-10 点的投影与直角坐标的关系,例2-1 已知点A的坐标(15, 8, 12), 求作点A的三面投影。 解：如图2-1
3、1(a)所示, 自点O沿X轴向左量取OaX=15mm, 得aX点。自aX作线垂直于OX,如图2-11(b)所示；自aX向下量取aaX=8 mm, 得点A的水平投影a；自aX向上量取12mm得a。用画圆弧的方法作出A点的侧面投影a, 如图2-11(c)所示。其中aaYHOYH, aaYWOYW, aaOZ。,图2-11 已知点的坐标求作点的投影,例2-2 已知点A的两个投影a、 a, 求作第三投影a, 如图2-12(a)所示。 解: 作图步骤如下：(1) 由点a作线垂直于OZ轴, a在此直线上。 (2) 由点a作aaYHOYH,用等腰直角三角形方法作aYW点, 自aYW作线垂直于OYW。 (3)
4、 直线aaYW与直线aa的交点a, 即为点A的侧面投影, 如图2-12(b)所示。,图2-12 求作第三投影,例2-3 已知两点A、B的投影, 如图2-13(a)所示, 试判断这两点的空间相对位置, 并作出两点的轴测图。 解： 由图2-13(a)的水平(或正面)投影可以看出, 点A比点B的X坐标大, 因此点A在点B的左方；由水平(或侧面)投影可以看出, 点A比点B的Y坐标大, 因此点A在点B的前方；由正面(或侧面)投影可以看出, 点A比点B的Z坐标小, 因此点A在点B的下方。综合起来, 点A在点B的左、前、下方。,图2-13 空间两点的相对位置及轴测投影,用图2-13(b)说明A、B两点的轴测
5、图的作图方法, 步骤如下：(1)作投影轴的轴测图-轴测轴。使OX水平, OZOX,OY平分XOZ。OX向左, OZ向上, OY向前。 (2) 作V面为矩形, H、W面为平行四边形, 表示H、V、W的投影面边框可以画成单线。 (3) 作点的轴测投影图。沿各轴测轴自O点按11比例量取点A及点B的各坐标值, 得aX、aY、aZ及bX、 bY、bZ, 过它们分别作相应轴测轴的平行线, 其交点即为点A和点B的轴测图, 如图2-13(b)所示。,三、特殊点与重影点的投影,图 2-14 特殊点与重影点的投影,2.3 直 线 的 投 影,图2-15 直线对投影面的相对位置,一、 各种位置直线的投影特性1. 投
6、影面垂直线投影面垂直线分为三类：垂直于H面的直线称为铅垂线; 垂直于V面的直线称为正垂线; 垂直于W面的直线称为侧垂线。,图2-16 铅垂线,续表,2. 投影面平行线平行于一个投影面(与另外两投影面倾斜)的直线称为投影面平行线。平行于H面的直线称为水平线；平行于V面的直线称为正平线；平行于W面的直线称为侧平线。(1) 水平投影: 由于AB平行于H面, 所以水平投影反映实长, 即ab=AB，并且ab与OX轴及OYH轴的夹角反映直线AB对V面及W面的倾角、的真实大小，对H面的倾角为零。 (2) 正面及侧面投影: 正面投影平行于OX轴, 即abOX, 侧面投影平行于OYW轴, 即abOYW。由于AB
7、对V、W面倾斜, 所以正面及侧面投影均小于AB实长, 即abAB,abAB。,图2-17 水平线,表2-2 投影面平行线的投影特性,3. 一般位置直线,图2-18 一般位置直线,二、两直线的相对位置及其投影特性,1. 两直线平行,图2-19 平行两直线的投影,2. 两直线相交,图2-20 相交两直线的投影,3. 两直线交叉,图2-21 交叉两直线及其重影点,2.4 平 面 的 投 影,一、 平面的表示法平面是构成立体的几何元素。由初等几何可知, 平面可由下列任意一组几何元素所确定：(1) 不在同一直线上的三点。(2) 一直线和直线外的一点。(3) 相交两直线。(4) 平行两直线。(5) 任意的
8、平面图形(即平面的有限部分, 如平面上的三角形、 圆及其他封闭图形)。,图2-22 平面的表示法,图2-23 用迹线表示的平面,图2-24 迹线平面的投影图,二、 各种位置平面的投影特性,图2-25 平面对投影面的各种位置,图2-26 水平面的投影,(1) 水平投影: 水平面平行于水平投影面, 故水平投影反映平面的实形。 用迹线表示的水平面无水平迹线。 (2) 正面及侧面投影: 正面及侧面投影都具有积聚性, 且积聚成直线, 分别平行于OX轴及OYW轴。用迹线表示的水平面, 其正面及侧面迹线分别平行于OX轴及OYW轴。,表2-3 投影面平行面的投影特性,表2-3 投影面平行面的投影特性,2. 投
9、影面垂直面垂直于一个投影面(与另外两个投影面倾斜)的平面称为投影面垂直面。垂直于H面的平面称为铅垂面, 垂直于V面的平面称为正垂面, 垂直于W面的平面称为侧垂面。(1) 水平投影: 由于铅垂面垂直于H面, 所以其水平投影具有积聚性,积聚成直线。该直线与OX轴及OYH轴的夹角,反映平面与V面及W面的夹角及(平面与H、V、W面的夹角, 分别用、表示)。铅垂面的水平迹线与平面的积聚性投影重合, 对OX轴及OYH轴都倾斜。,(2) 正面及侧面投影: 铅垂面的正面及侧面投影是平面图形的类似形(多边形则边数相同, 圆则成为椭圆), 面积缩小。 铅垂面的正面及侧面迹线分别垂直于OX轴及OYW轴。正垂面及侧垂
10、面有类似的投影特性。 各种投影面垂直面的投影特性见表2-4。 ,图2-27 铅垂面的投影,表2-4 投影面垂直面的投影特性,3. 一般位置平面,图2-28 一般位置平面的投影,三、平面上的直线和点 1. 平面上取直线和点,图2-29 平面上作直线,例2-4已知ABC上点D的正面投影, 试作出D点的水平投影, 如图2-30(a)所示。,图2-30 平面上取点,解：通过D点在平面内取直线AE, E点在BC上, d在ae上。由D点在AE上, 即可作出D点的水平投影d。 作图步骤如下：(1) 连接a和d, 延长交bc于e。(2) 作e, e在bc上, 连接a、e两点。(3) 由d作出D点的水平投影d。
11、,例2-5已知平面四边形ABCD的水平投影及相交两边AB、 BC的正面投影，如图2-31(a)所示, 试完成其正面投影。 解：四边形四个顶点位于同一个平面上, 已知A、B、C三个顶点的两面投影, 故本题实质上是由ABC内点D的水平投影d求作正面投影d。 作图步骤如下(图2-31(b)：(1) 连接ac和bd, 交点为e, e点在AC上。(2) 作E点的正面投影e, 连接b、e, D点在直线BE上。(3) 延长be, 由点的投影规律作出d。,图 2-31 补齐四边形,2. 包含点或直线作平面包含已知点或直线可以作无数个平面, 如果加上其他限制条件, 则可以作唯一的或者有限个平面。,例2-6过已知点A作正垂面, 使=30, 如图2-32(a)所示。 解：(1) 用迹线表示。(2) 用几何元素(三角形)表示。,图2-32 过A点作正垂面与H面成30角,
