1、1圆周角定理 (1)圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 (2)圆心角定理 圆心角的度数等于 推论1 同弧或等弧所对的圆周角 ；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是 ；90的圆周角所对的弦是 ,一半,它所对弧的度数,相等,相等,直角,直径,2圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质 定理1 圆的内接四边形的对角 定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的 (2)判定 判定定理 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点 ,互补,对角,共圆,共圆,3圆的切线的性质
2、及判定定理 (1)性质 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必过 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必过 (2)判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 4弦切角的性质 定理 弦切角等于它所夹的弧所对的 ,半径,切点,圆心,切线,圆周角,5与圆有关的比例线段 (1)相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的 相等 (2)割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 相等 (3)切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 (4)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它
3、们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的 ,积,积,比例中项,夹角,证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补 如图，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B、C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点 (1)证明：A，P，O，M四点共圆； (2)求OAMAPM的大小,解析： (1)证明：连接OP，OM，因为AP与O相切于点P， 所以OPAP， 因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC， 于是OPAOMA180. 由圆心O在PAC的内部，可知四边形
4、APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆 (2)由(1)得A，P，O，M四点共圆， 所以OAMOPM， 由(1)得OPAP，由圆心O在PAC的内部， 可知OPMAPM90， 所以OAMAPM90.,【变式训练】 1.如图，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，B60，F在AC上，且AEAF. (1)证明：B、D、H、E四点共圆； (2)证明：CE平分DEF.,证明： (1)在ABC中，因为B60， 所以BACBCA120. 因为AD、CE是角平分线， 所以HACHCA60， 故AHC120. 于是EHDAHC120. 因为EBDEHD180， 所以B、D、H、E四点共圆,(2)连结
5、BH， 则BH为ABC的平分线，得HBD30. 由(1)知，B、D、H、E四点共圆， 所以CEDHBD30. 又AHEEBD60， 由已知可得EFAD，可得CEF30. 所以CE平分DEF.,1圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小 2涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角,【变式训练】 2.如图，AB为O的弦，CD切O于P，ACCD于C，BDDC于D，PQAB于Q. 求证：PQ2ACBD. 证明： 连结PA，PB，如图所示 CD切O于P，12. ACCD于C， P
6、QAB于Q. ACPPQB90，,ACPPQB， ACPQAPBP. 同理，BDPPQA， PQBDAPBP. ACPQPQBD，即PQ2ACBD.,利用圆的切线的判定定理判定直线与圆的位置关系，经过半径的外端且与此半径垂直的直线是圆的切线，从而可转化为证明线线垂直,解析： (1)证明：如图，连结OE， 因为OEOB，所以OEBOBE. 又因为BE平分CBD， 所以CBEDBE， 所以OEBCBE， 所以EOCB. 因为C90，所以AEO90， 即ACOE. 因为OE为O的半径， 所以AC是O的切线,【变式训练】 3.如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC为直径作O，交斜边AB于点D，E为B
7、C边的中点，连接DE.请判断DE是否为O的切线，并证明你的结论,1应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等 2相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用,如图所示，O1与O2相交于A、B两点，过点A作O1的切线交O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交O1、O2于点D、E，DE与AC相交于点P.(1)求证：ADEC； (2)若AD是O2的切线，且PA6，PC2，BD9，求AD的长,解析： (1)证明：连接AB， AC是O1的切线，
8、 BACD. 又BACE， DE，ADEC. (2)方法一：PA是O1的切线，PD是O1的割线， PA2PBPD，62PB(PB9)， PB3. 在O2中由相交弦定理，得PAPCBPPE， PE4.,AD是O2的切线，DE是O2的割线， AD2DBDE916， AD12. 方法二：设BPx，PEy. PA6，PC2， 由相交弦定理得PAPCBPPE， xy12， ADEC，,【变式训练】 4.如图，AB为O的直径，且AB8，P为OA的中点，过P作O的弦CD，且CPPD34，则弦CD的长度为_ 解析： 设CP3x，PD4x. 因为AB8，P为OA的中点， 所以AP2，PB6. 由相交弦定理得3x4x26，则x1， 所以CD7x7. 答案： 7,
