1、高中数学 选修1-1,2.3.2 双曲线的几何性质,一、温故知新,1. 焦点在x轴上的双曲线方程为:,焦点在y轴上的双曲线方程为:,二、互动探究,问题1.已知双曲线的标准方程为 ，你能发现它的性质吗？,2.双曲线具有哪些性质？我们应怎样研究它的性质？,类比椭圆,在双曲线的标准方程中，把 X 换成 X 方程不变，这说明当点 在双曲线上时，点 P 关于 Y 轴的对称点 也在双曲线上，所以 双曲线关于 Y 轴对称。,同理：双曲线还关于 X 轴、坐标原点对称。,结论：1.双曲线是有对称性。2.坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心。双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。,该结论具有一般性吗？,对称
2、性：,从方程角度看：,在双曲线的标准方程中，令 得， 这说明 是双曲线与 X 轴的两个交点。我们把这两个点称为双曲线的顶点。,令 得， ，这个方程没有实数根，说明双曲线与 Y 轴没有交点，但为了方便画图，我们把 也画在Y轴上。,从方程角度看：,顶点：,若实轴长和虚轴长相等,即2a=2b, 则该双曲线称为等轴双曲线。,线段 叫做双曲线的实轴，它的长等于 2a ，a 叫做双曲线的实半轴长；线段 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 2b ，b 叫做双曲线的虚半轴长。,从方程角度看：,这说明双曲线是有范围的。,对一般的双曲线 你有怎样的结论？,结论：双曲线位于不等式 所表示的平面区域内。,范围简记：,范围：
3、,通过方程，你还能发现怎样的不等关系？,所以，双曲线是在以 和 为边界的平面区域内。,对一般的双曲线 你有怎样的结论？,结论：双曲线是在以 和 为边界的平面区域内。,从 x , y 的变化趋势来看，双曲线 与直线 具有怎样的关系？,根据对称性，可先研究双曲线在第一象限的部分与直线 的关系。,双曲线.gsp,通过观察可以发现，随着M点横坐标 X 的逐渐增大，线段MP的长度逐渐减小，因此，M到直线 的距离逐渐减小，且逐渐趋向于0.,这说明，随着 X 的增大，双曲线在第一象限内的点与直线逐渐接近。根据双曲线的对称性，双曲线 的各支向外延伸时，与直线 和 逐渐接近，但始终不会相交。,我们把两条直线 叫
4、做双曲线 的渐近线。,等轴双曲线的两条渐近线方程为 ，它们相互垂直。,设点 是双曲线在第一象限内图形上任一点，点 P 是直线 上与 M 有相同横坐标的点，则 ,设点M到直线 的距离设为d,则,证明：,离心率：,椭圆的离心率反映了图形的“扁”的程度，那么在双曲线中， 对双曲线的形状是否有影响呢？,从图上看：双曲线 夹在两条渐近线 之间，这说明了 的大小决定了双曲线开口的大小。 越大，双曲线的开口越大， 越小，双曲线的开口越小。,双曲线.gsp2.gsp,从 角度看：,显然 e1. e 越大开口越大；e 越小开口越小。,定义：焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率，记为 e 。,越大，双曲线的开口越大， 越小，双曲线的开口越小。,从 角度看：,由 知,三、课堂小结,请你从图形角度以 为例，谈谈双曲线的几何性质。,或,或,关于坐标 轴和 原点 都对 称,悲伤的双曲线MV（原画）.mp4,谢谢欣赏,
