1、椭圆的简单几何性质1,F1(-c,0)，F2(c,0),F1(0,-c)，F2(0,c),椭圆分母看大小焦点随着大的跑,c,a,b,椭圆 简单的几何性质,范围：,-axa, -byb 椭圆落在x=a,y= b组成的矩形中（如图）,1. 观察：x,y的范围？,2. 思考：如何用代数方法解释x,y的范围？,-axa, -byb,一.范围,二、椭圆的顶点,令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点（ ）， 令 y=0，得 x=？, 说明椭圆与 x轴的交点（ ）。,*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。,0, b,a, 0,*长轴、短轴： 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短
2、轴。,a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。,焦点总在长轴上!,三.椭圆的对称性,把(X)换成(-X),方程不变,说明椭圆关于( )轴对称；把(Y)换成(-Y),方程不变,说明椭圆关于( )轴对称； 把(X)换成(-X), (Y)换成(-Y),方程还是不变,说明椭圆关于( )对称；,Y,X,原点,所以，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。,练习：根据前面所学有关知识画出下列图形,（1）,（2）,A1,B1,A2,B2,B2,A2,B1,A1,四、椭圆的离心率,离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：,叫做椭圆的离心率。,1离心率的取值范围：,1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越
3、小，椭圆就越扁,因为 a c 0，所以0e 1,2离心率对椭圆形状的影响：,2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆,3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，椭圆方程变为（？）,-a x a, - b y b,关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称,(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b),(c,0)、(-c,0),长半轴长为a,短半轴长为b. (ab),知识归纳,a2=b2+c2,关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称,(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b),(c,0)、(-c,0),长半轴长为a,短半轴长为b.
4、(ab),(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a),(0 , c)、(0, -c),关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称,长半轴长为a,短半轴长为b.(ab),-a x a, - b y b,-a y a, - b x b,a2=b2+c2,a2=b2+c2,例题1: 求椭圆 9 x2 + 4y2 =36的长轴和短轴的长、离心 率、焦点和顶点坐标。,椭圆的长轴长是:,离心率:,焦点坐标是:,四个顶点坐标是:,椭圆的短轴长是:,2a=6,2b=4,解：把已知方程化成标准方程,四、例题讲解：,练习:求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。
5、,解：把已知方程化成标准方程,椭圆的长轴长是:,离心率:,焦点坐标是:,四个顶点坐标是:,椭圆的短轴长是:,2a=10,2b=8,例2: 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点（-3，0）、（0，-2）；,解： 方法一：设椭圆方程为mx2ny21（m0，n0，mn），将点的坐标代入方程，求出m1/9,n1/4。所以椭圆的标准方程为,方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a3，b2，所以椭圆的标准方程为,（2）离心率为 ，经过点（2,0）,练习： 椭圆的一个顶点为 ,其长轴长是短轴长的
6、2倍，求椭圆的标准方程,分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置,椭圆的标准方程为： ；,椭圆的标准方程为： ；,解：（1）当 为长轴端点时， ， ，,（2）当 为短轴端点时， , ，,综上所述，椭圆的标准方程是 或,椭圆的简单几何性质2,关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称,(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b),(c,0)、(-c,0),长半轴长为a,短半轴长为b. (ab),(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a),(0 , c)、(0, -c),关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称,长半轴长为a,短半轴长为b.(ab),-a x a, - b y
7、b,-a y a, - b x b,a2=b2+c2,a2=b2+c2,二.离心率的常见题型及解法,题型一：定义法 例1.已知椭圆方程为 + =1，求椭圆的离心率；,1.直接算出a、c带公式求e,F2(c,0),x,o,y,F1(-c,0),P,c,a,2.几何意义：e为OPF2的正弦值,3. 已知a2、c2直接求e2,变式训练1：,若椭圆 + =1的离心率为1/2，求m的值.,4.已知a2、b2不算c直接求e,题型二：方程法 例2.,依据a,b,c,e的关系，构造关于a,c, 的齐次式，解出e即可，但要 注意椭圆离心率范围是0e1,F2(c,0),x,o,y,F1(-c,0),A,60,已知
8、椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一点 ，且AF1AF2 ，AF2 F1 =60，求该椭圆的离心率。,高考链接,x,60,p,三：向量法 之 垂直问题,变式训练,椭圆 + =1(ab0)的三个顶点为B1 (0，-b)，B2 (0，b),A(a,0),焦点F(c,0)且 B1FAB2,求该椭圆的离心率。,B2 (0，b),B1 (0，-b),A(a,0),F(c,0),x,o,y,练习 2 ：已知一椭圆的短轴长与焦距长相等，求椭圆的离心率。,五.小结,1.知识点：求离心率的两种常规方法： （1）定义法:求a,c或a、c的关系； （2）方程法:根据题上的相等关系，构造关于a,c的齐次式，解出e
9、. 2.思想方法：方程的思想，转化的思想,高考链接,（2012新课标全国卷）设F1和F2是椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点，P为直线 x= 上一点， F2 P F1是底角为30的等腰三角形， 求该椭圆的离心率。,F2 (c,0),x,o,y,F1 (-c,0),x=3a/2,P,30,2c,2c,c,2c=3a/2,六.课后练习,2.设椭圆的两个焦点分别为F1和F2 ，过F2作椭圆 长轴的垂线交椭圆于点P，若为F2PF1等腰直角 三角形，求椭圆的离心率.,1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距长成等差数列，求该椭圆的离心率.,3.已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一 点 ，且A
10、F1AF2，AF1F2=60，求该椭圆的 离心率。,1.椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 ，长轴长为6，,则椭圆的方程 为（ ）,C,2.若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率e=_,已知椭圆 的离心率 ，求 的值,由 ，得：,解：当椭圆的焦点在 轴上时， ，得 ,当椭圆的焦点在 轴上时， ，得 ,由 ，得 ，即 ,满足条件的 或 ,练习2：,已知椭圆 的离心率 ，求 的值,练习3：,例4：点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定直线l:x = 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹。,x,y,o,F,M,l,(椭圆的第二定义),准线方程：,解：如图，设d是点M到直线L的距离，根据
11、题意，所求轨迹的集合是：,由此得 ：,这是一个椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆。,平方，化简得 ：,若点F是定直线l外一定点，动点M到点F的距离与它到直线l的距离之比等于常数e(0e1)，则点M的轨迹是椭圆.,新知探究,动画,第二定义,直线 叫做椭圆相应于焦点F2(c，0)的准线，相应于焦点F1(c，0)的准线方程是,新知探究,椭圆的准线与离心率,离心率：,椭圆的准线 ：,离心率的范围：,相对应焦点F（c,0），准线是：,相对应焦点F（- c,0），准线是：,1.基本量: a、b、c、e、几何意义：a-长半轴、b-短半轴、c-半焦距，e-离心率；相互关系：,椭圆
12、中的基本元素,2.基本点：顶点、焦点、中心,3.基本线: 对称轴（共两条线），准线,焦点总在长轴上!,课堂小结,-准线,椭圆 + =1 上一点P到 右准线的距离为10,则:点P到左焦点的 距离为( )A.14 B.12 C.10 D.8,【答案】 6,例3：,变式,1.若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分, 则:离心率e=_,2离心率e= ,且两准线间的距离为4的椭圆的 标准方程为_,求标准方程,椭圆的简单几何性质3,直线与椭圆的位置关系,种类:,相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点),直线与椭圆的位置关系的判定,代数方法,1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
13、联立直线与椭圆的方程消元得到二元一次方程组(1)0直线与椭圆相交有两个公共点；(2)=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点；(3)0 直线与椭圆相离无公共点,通法,知识点1.直线与椭圆的位置关系,例1：直线y=x+1与椭圆 恒有公共点, 求m的取值范围。,题型一：直线与椭圆的位置关系,变式练习：y=kx+1与椭圆 恰有公共点，则m的范围（ ）A、（0，1） B、（0，5 ） C、 1，5）（5，+ ） D、（1，+ ）,练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?,练习2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线 交点情况满足( ) A.没有
14、公共点 B.一个公共点 C.两个公共点 D.有公共点,D,思考：最大的距离是多少？,设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k,弦长公式：,知识点2：弦长公式,可推广到任意二次曲线,例3：已知斜率为1的直线L过椭圆 的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长,例5 ：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.,解：,韦达定理斜率,韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造,知识点3：中点弦问题,例 5已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.,点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构
15、造出中点坐标和斜率,点,作差,知识点3：中点弦问题,点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率,直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的 思想方法,例5已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.,所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条,解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，,练习：,例6、如图，已知椭圆 与直线x+y-1=0交 于A、B两点， AB的中点M与椭圆中心连线的 斜率
16、是 ，试求a、b的值。,练习： 已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点椭圆的弦所在的直线方程.,练习： 已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点椭圆的弦所在的直线方程.,3、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。,1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；,2、弦长的计算方法： 弦长公式：|AB|= = （适用于任何曲线）,小 结,解方程组消去其中一元得一元二次型方程, 0 相离,= 0 相切, 0 相交,
