1、2 充分条件与必要条件,学习目标,1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义 2能判断所给的条件是充分条件还是必要条件，会判断和证明所给的条件是充要条件,课堂互动讲练,知能优化训练,2 充分条件与必要条件,课前自主学案,课前自主学案,1判断一个语句是不是命题的要素：第一是_；第二是_ 2“若p，则q”这种形式的命题，命题中的p叫作_，q叫作_ 3四种命题的真假性之间的关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有_的真假性 (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性_关系,陈述句,可以判断真假,条件,结论,相同,没有,1充分条件和必要条件的概念,2充要条件,3我们常用“_”来表达充要条件，p是
2、q的充要条件也可说成：p成立_q成立如果p、q互为充要条件，我们通常称命题p和命题q是两个_的命题,当且仅当,当且仅当,相互等价,1如何理解充分条件和必要条件？ 提示：充分条件是使某一结论成立应该具备的条件，当具备此条件就可得此结论或要使此结论成立，只要具备条件就足够了 必要条件可从命题等价性理解：q是p的必要条件意味着若q不成立，则p不成立，即q是p成立的必不可少的条件,2若p是q的充分条件，那么p唯一吗？ 提示：不唯一如x3是x0的充分条件，x5，x10等也都是x0的充分条件 3p是q的充要条件与p的充要条件是q有什么区别？ 提示：p是q的充要条件指的是pq是充分性，p的充要条件是q中，q
3、p是充分性,课堂互动讲练,(1)判断p是q的什么条件，其实质是判断pq及qp两命题的正确性，若pq为真且qp为假，则p是q的充分不必要条件；若pq为假而qp为真，则p是q的必要不充分条件；若pq与qp均为真，则p是q的充要条件；若pq及qp均不正确，则p是q的既不充分也不必要条件,(2)当不易判断pq的真假时，可从集合的角度入手考虑 首先建立与p、q相应的集合，即p：Ax|p(x)，q：Bx|q(x).,【思路点拨】,【名师点评】 解决该类问题应从两个方面考虑：一是明确哪个是条件，哪个是结论；二是要看是由条件推出结论，还是由结论推出条件，然后用充分不必要、必要不充分、充要条件的定义证明,证明p
4、是q的充要条件，分两步： (1)充分性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q. (2)必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p. 综上得p是q的充要条件,求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.,【名师点评】 在具体解题时需注意若推出()关系成立，需严格证明，若推出()关系不成立，可举反例说明,变式训练2 设x，yR，求证|xy|x|y|成立的充要条件是xy0. 证明：充分性：如果xy0，则有xy0和xy0两种情况 当xy0时，不妨设x0，则|xy|y|，|x|y|y|，等式成立 当xy0时，即x0，y0或x0，y0时，|xy|xy，|x|y|x
5、y， 等式成立 当x0，y0时，|xy|(xy)，|x|y|xy，等式成立 总之，当xy0时，|xy|x|y|成立,必要性：若|xy|x|y|且x，yR， 得|xy|2(|x|y|)2， 即x22xyy2x2y22|x|y|， |xy|xy，xy0. 综上可知，xy0是等式|xy|x|y|成立的充要条件,根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解,(1)是否存在实数m，使2xm0是x22x30的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2xm0是x22x30的
6、必要条件？ 【思路点拨】 解答本题可先解出每一个不等式所对应的集合，然后根据集合间的包含关系，求出满足条件的m的值,【名师点评】 本题将充分条件、必要条件的问题，转换为集合之间的包含关系问题，体现了转化与化归的思想，在确定AB后，有时需要对A是否非空进行讨论，体现了分类讨论的思想,1要判断充分条件、必要条件，就是要利用已有知识，借助代数推理的方法，看由p能否推出q，且由q能否推出p. 2一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个 3有关充要条件的证明问题，既要证明充分性，又要证明必要性，并且要分清条件和结论，注意哪步是充分性，哪步是必要性,4常用的充要条件的判断方法 (1)定义法：直接利用充要条件的定义进行判断 (2)等价法：“pq”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以证明q成立，应注意“原命题逆否命题”“否命题逆命题”只是等价形式之一，对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用等价法 (3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若pq，则p是q的充分条件；若pq，则p是q的必要条件；若pq，则p是q的充要条件,
