1、函数的单调性与导数,温故知新,1到现在为止，我们学过判断函数的单调性有哪些方法？,“定义法”，“图象法”,2要判断 的单调性，如何进行？,回顾分别用定义法、图象法完成,f(x1),f(x2),f(x)在D上是增函数;,f(x)在D上是减函数;,当x1 x2,f(x1)f(x2),f(x1),f(x2),f(x1)f(x2),设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域内某个区D上的任意两个自变量的值x1, x2,复习1:函数单调性的定义是怎样描述的?,方法: 定义法； 图象法。,问题3:那么判断下列函数的单调性?,发现问题: 用单调性定义讨论函数单调性虽然可行, 但十分麻烦, 是否有更为简捷的方
2、法呢? 下面我们考察单调性与导数有什么关系:,尤其是在不知道函数图象时.,(1) f (x) = x33x; (2) f (x) = x22x3; (3) f (x) = 2x33x224x1,方法: 定义法； 图象法。,复习2:导数的几何意义？,如果函数在一个点处的导数值大于零，在此点附近，函数图象呈上升状；,函数在一个点处的导数值，就是函数图象以该点为切点的切线的斜率,如果函数在一个点处的导数值小于零，在此点附近，函数图象呈下降状；,如果函数在一个点处的导数值等于零，此点为 极值点，也叫临界点，取得的函数值叫极值。,高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数 h(t)4.9t26.5t10,
3、高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数,运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?,v(t)=h (t), h(t),h(t), h(t)0, h(t)0,9.8t6.5,再观察下面一些函数的图象, 探讨导函数的正负与其对应函数的单调性的关系:,f (x)0,f (x),f (x)0,f (x),f (x)0,f (x),f (x)0,f (x),f (x) 0,f (x) ,f (x)0,f (x),f (x)=1,f (x)=2x,f (x)=3x2,f (x)=,(x0),在某个区间(a,b)内,一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:,都有f (
4、x)0,函数y=f (x)在这个区间内单调递增;,都有f (x)0,函数y=f (x)在这个区间内单调递减;,如果在某个区间内恒有 f (x)=0,那么函数 f (x) 有什么特性?,f (x)=c,“某个区间”的含义：它必须是定义域的一个子集。,解:,(1)f (x)=3x2+3,所以f (x) = x3+3x在xR上单调递增,(2) f (x)=2x2,当f (x)0，,例1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:,(1) f (x) = x33x; (2) f (x) = x22x3; (3) f (x) = 2x33x224x1,=3(x2+1),0,=2(x1),即x1时，,f(x)
5、单调递增;,当f (x)0,即x1时，,f(x)单调递减;,所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为,例1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:,(1) f (x) = x33x; (2) f (x) = x22x3; (3) f (x) = 2x33x224x1,(3) f (x)=_,当 f (x)0,当 f (x)0,6x2+6x-24,f(x)单调递增,f(x )单调递减,即 时，,即 时，,所以函数的单调递增区间为,、,递减区间为,解不等式f (x)0，解集在定义域内的部分为减区间;,求函数单调区间的步骤：,确定函数y=f(x)的定义域;,求出函数的导数f (x);,解不等式f (
6、x)0，解集在定义域内的部分为增区间;,求函数的单调区间实质就是解导数不等式f (x)0或 f (x)0,练习,1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间,(1)单调递增区间为,单调递减区间为,(2)单调递增区间为,单调递减区间为,(3)单调递增区间为,单调递减区间为,(4)单调递增区间为,单调递减区间为,设 是函数 的导函数， 的图像如右 图所示，则 的图像有可能是（ ）,练习：,C,例2.已知导函数f (x)的下列信息:,当10; 当x4时,或x1时, f (x)0 当x=4,或x=1时, f (x)=0.,试画出函数f(x)图象的大致形状,解,当1x4时:,f (x)0,f (x)在此区间内单调递增;,当x4或x1时:,f (x)0,f (x)在这两区间内单调递减;,当x=4,或x=1时:,f (x) = 0,这两点为“临界点”.,小结,导数 f (x) 0,导数 f (x) 0,单调递增,单调递减,1.函数单调性与导数符号的关系是:,2.求函数单调性的步骤：,确定函数y=f(x)的定义域;,求出函数的导数f (x);,解不等式f (x)0，解集在定义域内的部分为增区间;,解不等式f (x)0，解集在定义域内的部分为减区间;,作业,课本：P31：1,2,谢谢,
