1、习题课 不等式的综合应用,1.基础知识 (1)二元一次不等式与平面区域的关系:,【做一做1】(2016浙江高考)已知集合P=xR|1x3,Q=xR|x24,则P(RQ)=( ) A.2,3 B.(-2,3 C.1,2) D.(-,-21,+) 解析:Q=xR|x24=xR|x-2或x2, RQ=xR|-2x2. P(RQ)=xR|-2x3=(-2,3.故选B. 答案:B,若变量x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值和最小值分别为( ) A.4和3 B.4和2 C.3和2 D.2和0 答案:B,答案:C,【做一做2】,【做一做3】,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,【例1】 求下列不
2、等式的解集: (1)-x2+8x-30; (2)ax2-(a+1)x+10,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟1.不含参的一元二次不等式解答时要注意将其化为标准形式,即ax2+bx+c0(0)的形式. 2.含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论. (1)若二次项系数为常数,先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论. (2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是否是二次不等式,再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式.,探究一
3、,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练1,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,【例2】 (1)若4x+4y=1,则x+y的取值范围为 . (2)某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成,已知土地使用权费为2 000元/m2,材料工程费在建造第一层时为400元/m2,以后每增加一层,费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低,则应把楼盘的楼房设计成 层.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,答案:(1)(-,-1 (2)10,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟1.应用基本不等式首先要验证是否符合条件. 2.应用基本不等式时不要忘记验证等号是
4、否成立. 3.若是条件最值或范围问题,要选好突破口,注意围绕沟通所求与已知的联系为目的. 4.若条件不满足或不能直接套用基本不等式,可以考虑先将问题化归.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练2 (1)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( ),探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,解析:(1)在平面直角坐标系中作出不等式组所表示的平面区域,利用线性规划知识可得,在(2,0)处z取最小值,zmin=2,无最大值.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究一,探究二,探
5、究三,探究四,思想方法,变式训练3,答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,【例4】设函数f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数x,f(x)0恒成立,求m的取值范围; (2)若对于x1,3,f(x)-m+5恒成立,求m的取值范围. 解:(1)要使mx2-mx-10恒成立, 若m=0,显然-10;所以-4m0.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟1.对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图像在
6、给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. 2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练4,解:因为x1,+)时, 恒成立, 即x2+2x+a0恒成立. 即当x1时,a-(x2+2x)=g(x)恒成立. 而g(x)=-(x2+2x)=-(x+1)2+1在1,+)上是减少的, 所以g(x)max=g(1)=-3,故a-3. 所以,实数a的取值范围是a|a-3.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,转化与化归思想在不等式中的应用 【典例】 (1
7、)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR)的值域为0,+).若关于x的不等式f(x)0恒成立,则x的取值范围为 .,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,(2)把不等式的左端看成关于a的一次函数,记f(a)=(x-2)a+(x2-4x+4), 则由f(a)0对于任意的a-1,1恒成立,易知只需f(-1)=x2-5x+60,且f(1)=x2-3x+20即可,联立解得x3. 答案:(1)9 (2)x|x3,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,方法点睛本题解法中利用了转化与化归思想. (1)中利用“三个二次”之间的联系,将不等式、函数、方程之间相互转化. (2)中将已知不等式看作关于a的一次不等式,体现了主元与次元的转化.利用转化与化归思想的原则是熟悉化原则、简单化原则、直观化原则、正难则反原则.,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练,答案:C,1,2,3,4,5,解析:由x2-4x+30,解得1x3,答案:D,6,1,2,3,4,5,答案:B,6,1,2,3,4,5,答案:D,6,1,2,3,4,5,答案:6,+),6,1,2,3,4,5,答案:18,6,1,2,3,4,5,6,6.已知不等式kx2-2x+6k-2,求k的值; (2)若不等式的解集为,求k的取值范围.,
