1、习题课 数列的综合应用,1.等差数列与等比数列的比较,2.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,mN+). (2)若an为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN+),则ak+al=am+an. (3)若an是等差数列,公差为d,则a2n是等差数列,公差为2d. (4)若an,bn是等差数列,则pan+qbn是等差数列. (5)若an是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN+)组成公差为md的等差数列. (6)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n组成新的等差数列.,3.等比数列的常用性质 (1)在等比数列中,若m+n=p+q,则aman=apaq
2、(m,n,p,qN+). (2)间隔相同的项,如a1,a3,a5,仍为等比数列,且公比为q2. (3)等比数列an的前n项和为Sn(Sn0),则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,公比为qn. (4)单调性,q=1an为常数列,q0an为摆动数列.,4.数列求和常用方法 (1)公式法,(2)裂项相消法 把数列的通项拆分为两项之差,使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法. (3)错位相减法 适用的数列:anbn,其中数列an是公差为d的等差数列,bn是公比为q1的等比数列. 方法:设Sn=a1b1+a2b2+anbn, 则qSn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1, -
3、得:(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+bn)-anbn+1,就转化为根据公式可求的和.,5.其他求和方法,【做一做1】设Sn为等差数列an的前n项和,若a3=3,S9-S6=27,则该数列的首项a1等于( ),答案:D 【做一做2】等比数列前n项和为Sn,有人算得S1=8,S2=20,S3=36,S4=65,后来发现有一个数算错了,错误的是( ) A.S1 B.S2 C.S3 D.S4 答案:C 【做一做3】已知数列an满足a1=1, 则其前6项之和是( ) A.16 B.20 C.33 D.120 答案:C,【做一做4】数列an是首项a1=4的等比数列,且4a1,a5,-2a3成等差
4、数列,则a2 017= . 答案:4 【做一做5】在如图的表格中,每格填上一个数字后,使得每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则a+b+c的值为 .,答案:1,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,【例1】 (1)已知等比数列an为递增数列.若a10,且2(an+an+2)=5an+1,则数列an的公比q= . (2)已知等差数列an的前5项和为105,且a10=2a5. 求数列an的通项公式; 对任意mN+,将数列an中不大于72m的项的个数记为bm,求数列bm的前m项和Sm.,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,反思感悟
5、对于等差(等比)数列的基本运算要注意以下关键点: (1)基本量. 在等差(比)数列中,首项a1和公差d(公比q)是两个基本量. (2)解题思路. 求公差d(公比q):常用公式an=am+(n-m)d(an=amqn-m); 列方程组:当条件与结论的联系不明显时,常把条件转化为关于a1和d(q)的方程组求解,但要注意消元及整体计算,以减少计算量.,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,变式训练1 已知等差数列an的公差d=1,前n项和为Sn. (1)若1,a1,a3成等比数列,求a1; (2)若S5a1a9,求a1的取值范围. 解:(1)因为数列an的公差d=1,且1,a1,a3成等
6、比数列,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,【例2】 (1)等差数列an中,如果a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,那么数列an前9项的和为( ) A.297 B.144 C.99 D.66A.9 B.1 C.2 D.3,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,答案:(1)C (2)D,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,反思感悟,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,变式训练2 (1)已知等差数列an的公差d=-2, a1+a4+a7+a97=50,那么a3+a6+a9+a99的值是 ( ) A.-78 B.-82 C.-148
7、D.-182 (2)在正项等比数列an中,a3a7=4,则数列log2an的前9项之和为 . 解析:(2)由正项等比数列an中,a3a7=4,即得a5=2,答案:(1)B (2)9,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,【例3】 (1)已知数列an中,a1=1,an=2an-1+1(n2),则数列an的通项公式是 . (2)已知数列an与bn的前n项和分别为Sn,Tn,a1=1,b1=2,且对任意nN+,都有 ,Tn=2bn-2成立,求数列an,bn的通项公式.,(1)解析:由an=2an-1+1(n2)得an+1=2(an-1+1),即 ,所以数列an+1是首项为2,公比为2的等
8、比数列,所以an+1=2n,所以an=2n-1. 答案:an=2n-1,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,反思感悟1.归纳猜想法:已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采用归纳猜想法.3.累加法:数列递推关系形如an+1=an+f(n),其中数列f(n)前n项和可求,这种类型的数列求通项公式时,常用累加法(叠加法). 4.累乘法:数列递推关系如an+1=g(n)an,其中数列g(n)前n项可求积,此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法).,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,变式训练3,思想方法,探究一,探究二,探
9、究三,探究四,探究五,【例4】 已知等差数列an的公差d0,它的前n项和为Sn,若S5=35,且a2,a7,a22成等比数列. (1)求数列an的通项公式; (2)设数列 的前n项和为Tn,求Tn. 分析:(1)列出关于首项a1和公差d的方程组即可;(2)利用裂项求和法求和.,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,解:(1)设数列的首项为a1. 因为S5=35,且a2,a7,a22成等比数列,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,反思感悟1.数列求和应从通项入手,若无通项,则先求通项,然后通过对通项变形,转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和. 2.常用
10、求和方法 有公式法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法、分类求和法等.本例是典型的裂项相消法求和.,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,变式训练4 (2016山东高考)已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,bn是等差数列,且an=bn+bn+1. (1)求数列bn的通项公式; (2)令 ,求数列cn的前n项和Tn. 解:(1)由题意知当n2时,an=Sn-Sn-1=6n+5, 当n=1时,a1=S1=11,所以an=6n+5. 设数列bn的公差为d.,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,分析:(1)利用中点坐标公
11、式得出x1+x2=1是关键;(2)利用倒序相加法求和;(3)利用裂项法求和.,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,反思感悟数列与函数的综合问题的题型及解题策略 (1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题. (2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外,解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解,在问题的求解过程中往往会遇到递推数列,因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决.,思想方法,探究一,探究二,探究三,探
12、究四,探究五,变式训练5,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,函数与方程思想在数列中的应用 【典例】已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn,且满足a2a4=65,a1+a5=18. (1)若1i21,a1,ai,a21是某等比数列的连续三项,求i的值; (2)设 ,是否存在一个最小的常数m使得b1+b2+bn m对于任意的正整数n均成立?若存在,求出常数m;若不存在,请说明理由. 分析:(1)本题的第一个切入点是利用等差数列性质求出a2和a4,进而求出an的通项公式;(2)本题的第二个切入点是先求Sn,进而确定bn
13、.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,解:(1)数列an为等差数列,因为a1+a5=a2+a4=18,又a2a4=65,所以a2,a4是方程x2-18x+65=0的两个根,又公差d0,所以a2a4,所以a2=5,a4=13.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,方法点睛1.对于等差或等比数列的基本运算要首选基本量法即用数列的首项和公差或首项和公比来表示已知条件,作为本题的第(1)问就是典型基本量法的应用. 2.对于数列的求和,先要弄清数列的形式,然后再选用合理的方法,作为本题就是裂项求和法的应用. 3.对于不等式的恒成立问题还要有函数意识,对于第(2)问中m的求解
14、,就需要将b1+b2+b3+bn看作关于n的函数来求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,变式训练 已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,且3an+1+2Sn=3(n为正整数). (1)求a2,a3的值,并求数列an的通项公式; (2)若对任意正整数n,kSn恒成立,求实数k的最大值.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,1,2,3,4,5,1.已知Sn为数列an的前n项和,且满足2an-a1=S1Sn(a10,nN+),则a7等于( ) A.16 B.32 C.64 D.128 答案:C,6,1,2,3,4,5,2.已知an为等比数列,Sn是它的前n项和.若
15、a2a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为 ,则S5等于( ) A.35 B.33 C.31 D.29 答案:C,6,1,2,3,4,5,3.设数列an,bn都是等差数列.若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5= . 解析:(a1+a5)+(b1+b5)=2(a3+b3)=42,a5+b5=42-7=35. 答案:35,6,1,2,3,4,5,4.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n-an,则数列an的通项公式an= .,6,1,2,3,4,5,5.已知数列an是3+2-1,6+22-1,9+23-1,12+24-1,写出数列an的通项公式并求其前n项和Sn. 解:由已知得,数列an的通项公式为an=3n+2n-1=3n-1+2n, Sn=a1+a2+an,6,1,2,3,4,5,6,6.已知函数f(x)=logmx(m为常数,0m1),且数列f(an)是首项为2,公差为2的等差数列.若bn=anf(an),当 时,求数列bn的前n项和Sn. 解:由题意f(an)=2+(n-1)2=2n,即logman=2n, 所以an=m2n,bn=anf(an)=2nm2n,
