1、2.2 等差数列的前n项和,第1课时 等差数列的前n项和,1.数列的前n项和 对于数列an,一般地,我们称a1+a2+a3+an为数列an的前n项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+an. 2.等差数列an的前n项和,【做一做1】(1)在等差数列an中,如果S10=120,那么a1+a10的值是( ) A.12 B.24 C.36 D.48 (2)记等差数列an的前n项和为Sn.若 ,S4=20,则公差d= .,答案:(1)B (2)3,3.等差数列前n项和Sn的主要性质 (1)若数列an为等差数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,组成的数列Tn也为等差数列,公差为n2d. (2)
2、若等差数列an的项数为偶数2n(nN+),则,证明方法如下:若等差数列an的项数为偶数2n(nN+),【做一做2】若数列an是含(2n+1)项的等差数列,则其奇数项的和与偶数项的和之比为( ),答案:B,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)等差数列an的前n项和Sn的表达式一定为关于n的二次函数. ( ) (2)若等差数列an的首项为负,公差为正,则数列an的前n项和Sn肯定无最大值,但有最小值. ( ) (3)若等差数列an的前n项和Sn=An2+Bn+C,则C=0. ( ) (4)若Sn为等差数列an的前n项和,则数列 一定为等差数列. ( )
3、 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,思想方法,【例1】 在等差数列中, (1)已知a1=105,an=994,d=7,求Sn; (2)已知a6=10,S5=5,求a8和S8; (3)已知a3+a15=40,求S17. 分析:(1)先根据a1,an和公差d计算出项数n的值,再代入等差数列的前n项和公式即可求解. (2)把a6,S5分别用a1和d表示出来,解方程组即可求出a1和d,进而求出a8和S8. (3)由等差数列的性质可得a3+a15=a1+a17,将其代入求和公式求解即可.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟1.由等差数
4、列的前n项和公式及通项公式可知,若已知a1,d,n,an,Sn中的三个便可求出其余的两个,即“知三求二”.“知三求二”的实质是方程思想,即建立方程组求解.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练1 已知等差数列an中,探究一,探究二,探究三,思想方法,【例2】求解下列各题: (1)已知一个等差数列an的前n项和为25,前2n项和为100,求该数列的前3n项的和;,分析:根据题目已知条件的特点,选用相应的性质求解.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟在等差数列的有关计算问题中,合理地运用等差数列及其前n项和的性质,可以简化计算,优化解题过程,常用的性
5、质主要有: (1)在等差数列an中,S2n-1=(2n-1)an; (2)若等差数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍成等差数列; (3)若数列an,bn为等差数列,Sn,Tn分别是其前n项和,则有结论,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练2 求解下列各题: (1)在等差数列an中,a2+a7+a12=24,求S13; (2)某等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227,求该数列的公差d. 解:(1)a2+a12=a1+a13=2a7,a2+a7+a12=24,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,
6、【例3】 在等差数列an中,a1=25,S17=S9,则数列前多少项之和最大?求此最大值. 分析:Sn是n的二次函数,可用二次函数求最值的方法,也可用等差数列的单调性进行转化.Sn最大an0,且an+10或利用S17=S9,则Sn有对称性.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,解法三:因为S17=S9,即a1+a2+a17=a1+a2+a9, 所以a10+a11+a12+a17=0. 又因为a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14, 即4(a13+a14)=0,所以a13+a14=0. 又因为a1=250,所以an为递减数列, 故a130,
7、a140. 因此前13项和最大,且最大值为169. 解法四:由解法一知d=-2,则an=27-2n.,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟1.等差数列前n项和最值的求法: (1)用等差数列前n项和的函数表达式Sn=An2+Bn,通过配方或求二次函数最值的方法求得.但要注意求其正整数解. (2)利用等差数列的单调性,由通项公式及正负转折项求最值.2.本例给我们的启发是:若需求出Sn的最值,则一般采用解法一,若只需求出Sn取最值时n的值,则可采用解法二、三、四,这样处理较为简捷.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练3 (1)在等差数列an中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅
8、当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为 .,探究一,探究二,探究三,思想方法,基本元素法与利用性质巧解法的对比 【典例】设等差数列an的前n项和为Sn,若S4=8,S8=20,则a11+a12+a13+a14= . 解析:(方法一)(基本元素法),探究一,探究二,探究三,思想方法,(方法二)(利用性质巧解法) 设等差数列an的公差为d,因为S4=a1+a2+a3+a4=8, S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8 =(a1+a2+a3+a4)+(a1+4d+a2+4d+a3+4d+a4+4d) =2(a1+a2+a3+a4)+16d=20, 所以16+16d=20,即16d=
9、4.,答案:18,探究一,探究二,探究三,思想方法,方法点睛一般地,涉及等差数列的通项、求和等问题,总是可以用体现数列的基本元素a1,d,n,an,Sn将已知条件形成方程或方程组来求解.这种方法的特点是“万物归一”,我们称之为基本元素法. 如果能利用等差数列的相关性质将条件整理成特定结构,这样就避免了烦琐的计算.这两种方法在平时解题时要注意互相补充.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练 已知等差数列an共有(2n+1)项,所有奇数项之和为132,所有偶数项之和为120,求n的值. 解法一:依题意可列方程组:,解法二:等差数列共有(2n+1)项,1,2,3,4,5,1.已知等差数列an的
10、前n项和为Sn,且S3=6,a1=4,则公差d等于( ),解析:由题意,得6=34+ 解得d=-2. 答案:C,1,2,3,4,5,2.在等差数列an中,若a2+a10=-70,则S11等于( ) A.-770 B.-385 C.770 D.385 解析:由a2+a10=-70得2a6=-70,即a6=-35,答案:B,1,2,3,4,5,3.设Sn为等差数列an的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9= . 解析:因为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,组成的数列也为等差数列,公差为n2d, 所以S6-S3=S3+32d=3+9d=21,解得d=2. 又因为S3=3a1+ 2=3,所以a1=-1. 所以a9=-1+82=15. 答案:15,1,2,3,4,5,4.在等差数列an中,a6=4,a13=18,则a21+a22+a40的值为 . 解析:(方法1)由a6=4,a13=18,得a1=-6,d=2. a21=a1+20d=34,(方法2)同方法1,可得a1=-6,d=2. a21+a22+a40=S40-S20,答案:1 060,1,2,3,4,5,5.已知数列an是一个等差数列,且a2=1,a5=-5. (1)求an的通项an; (2)求an前n项和Sn的最大值. 解:(1)设an的公差为d,
