1、2.4 等比数列,第1课时 等比数列的概念及通项公式,一,二,三,提示是等差数列,其余都不是等差数列;这些数列的共同特点是从第2项起,每一项与它的前一项的比都是同一个常数.,2.填空: 等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等 于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q0)表示.,3.对等比数列定义的理解: (1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项; (2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征); (3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母
2、弄颠倒; (4)等比数列中的任何一项均不能为零; (5)等比数列的公比可以是正数、负数,但不能为零.,一,二,三,二、等比中项 【问题思考】 1.能否在如下的两个数之间,插入一个数,使这三个数构成等比数列? (1)2, ,8;(2)-10, ,-10;(3)9, ,-1. 提示(1)能,插入的数是4或-4;(2)能,插入的数是10或-10;(3)不能.,2.填空: 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,这三个数满足关系式ab=G2.,3.等比中项概念的理解: (1)只有同号的两个实数才有等比中项; (2)若两个实数有等比中项,则一定有两个,
3、它们互为相反数.,一,二,三,三、等比数列的通项公式 【问题思考】 1.给出等比数列an:1,3,9,27,81,请根据下列两种思路探求其通项公式: (1)根据等比数列的定义,an的递推公式可以如何表示?利用累乘法能否求得an的通项公式? (2)根据等比数列的定义,能否将an的各项都用首项和公比表示出来?由此归纳an的通项公式.,3.做一做: 已知等比数列an的首项a1=3,公比q=-2,则an= ( ) A.-6 B.-32n-1 C.-23n-1 D.3(-2)n-1 解析由等比数列的通项公式an=a1qn-1,得an=3(-2)n-1. 答案D,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内
4、画“”,错误的画“”. (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的比是一个常数,那么这个数列是等比数列. ( ) (2)任何两个实数都有等比中项,且其等比中项有两个. ( ) (3)在等比数列中,除第1项和最后一项外,其余各项都是它前一项和后一项的等比中项. ( ) (4)若数列an的通项公式是an=cqn(c,qR,c0,q0),则an一定是等比数列. ( ) (5)常数列a,a,a,a,一定是等比数列. ( ) 答案(1) (2) (3) (4) (5),1,2,3,变式训练1在等比数列an中,a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.,1,2,3,【例2】 (1)已知等比数列的前3项依次为
5、x,2x+2,3x+3,求实数x的值. (2)已知等比数列an,a2a3a4=64,a3+a6=36,求a1和a5的等比中项. 思路分析(1)可由等比中项的定义建立关于x的方程求解:(2)先求出a1和a5的值,再根据等比中项的定义求解.,反思感悟1.任意两个实数都有等差中项,且等差中项是唯一的.但与等差中项不同,只有同号的两个数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数. 2.若a,b,c成等比数列,则必有b2=ac;反之,若b2=ac,则a,b,c不一定成等比数列.,变式训练2在等差数列an中,a1=9,公差d=1.若ak是a1和a2k的等比中项,则k=( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析依题意,得 2 =a1a2k,即9+(k-1)2=99+(2k-1),整理,得k2-2k-8=0,解得k=4(k=-2舍去). 答案B,1,2,3,
