1、107 分项练 11 函数与导数1已知函数 f(x)log ax(0 BC BACBCBA C DCBA答案 D解析 绘制函数 f(x)log ax 的图象如图所示，(0BA.fa 1 faa 1 a2已知函数 f(x)(x 22x)e xaln x(aR )在区间(0， )上单调递增，则 a 的最大值是( )Ae Be C D4e 2e22答案 A解析 因为函数 f(x)(x 22x)e xaln x(aR )，所以 f(x) e x(x22x)e x(2x2)axe x(x22) (x0)ax因为函数 f(x)(x 22x)e xa ln x(aR )在区间(0，) 上单调递增，所以 f(
2、x) e x(x22) 0 在区间(0，)上恒成立，即 e x(x22)在区间(0 ，)上ax ax恒成立，亦即 ae x(x3 2x)在区间(0，)上恒成立，令 h(x)e x(x32x )，x 0，则h(x)e x(x32x )e x(3x22)e x(x32x3x 22)e x(x1)(x 2 4x2)，x0 ，因为 x(0 ，)，所以 x24x20.因为 ex0，令 h( x)0，可得 x1，令 h(x)0，函数 f(x) 单调递增，而 f(0)0，当 x0 时，f(x )0，f(x )单调递增故 f(x)minf(0)1，由存在性的条件可得关于实数 n 的不等式 2n2n1，解得 n
3、 1 ，)( ， 124若点 P 是曲线 y x22ln x 上任意一点，则点 P 到直线 yx 的距离的最小值为( )32 52A. B. C. D.2332 322 5答案 C解析 点 P 是曲线 y x22ln x 上任意一点，32所以当曲线在点 P 的切线与直线 yx 平行时，点 P 到直线 yx 的距离最小，直线52 52yx 的斜率为 1，由 y 3x 1，解得 x1 或 x (舍)52 2x 23所以曲线与直线的切点为 P0 .(1，32)点 P 到直线 y x 的距离最小值是 .52 |1 32 52|12 12 322故选 C.5已知 f(x)是函数 f(x)的导函数，且对任
4、意的实数 x 都有 f(x) e x f(x)(e 是自然(2x 2)对数的底数)，f(0)1，则( )Af(x)e x(x1) Bf(x)e x(x1)Cf(x)e x(x1) 2 Df(x)e x(x1) 2答案 D解析 令 G(x) ，fxex则 G(x) 2x2，f x fxex可设 G(x)x 22x c ，G(0)f(0)1，c 1，G(x)x 22x1.f(x)(x 22x1)e xe x(x 1)2.6函数 f(x)x 33x 1，若对于区间 3,2上的任意 x1，x 2，都有| f(x1)f(x 2)|t，则实数 t的最小值是( )A20 B18 C3 D0答案 A解析 对于
5、区间3,2 上的任意 x1，x 2，都有| f(x1)f (x2)|t，等价于对区间 3,2上的任意x1，x 2，都有 f(x)maxf(x) min t，f(x)x 33x1，f(x )3x 233( x1)(x1)x3,2，函数在3 ， 1，1,2上单调递增，在1,1上单调递减，f(x) maxf(2) f(1)1，f(x)minf(3)19，f(x) maxf( x)min20，t20，实数 t 的最小值是 20.7yf(x) 的导函数满足：当 x2 时，(x2)(f (x)2f(x)xf (x)0，则( )Af(4)(2 4)f( )2f(3)5 5Bf(4)2f(3)(2 4)f(
6、)5 5C(2 4)f( )2f(3)f(4)5 5D2f(3)f(4)(2 4) f( )5 5答案 C解析 令 g(x) ，则 g( x) ，fxx 2 x 2f x fxx 22因为当 x2 时，( x2)f(x) (2x)f(x )0，所以当 x2 时，g(x)g(3)g(4)，即 ，5f 55 2 f33 2 f44 2即(2 4) f( )2f(3)f(4)5 58若曲线 C1：y ax 2(a0)与曲线 C2：ye x 存在公共切线，则 a 的取值范围为( )A. B.(0，e28 (0，e24C. D.e28， ) e24， )答案 D解析 设公共切线在曲线 C1，C 2 上的
7、切点分别为( m，am 2)，(t，e t)，则 2ame t ，am2 etm t所以 m2t2，a (t1)，et4t 1令 f(t) (t1)，则 f(t) ，et4t 1 ett 24t 12则当 t2 时，f (t)0；当 10，0，2 0，6)当 x 时， f(x )0，(2) 2f f f ，(2) (2) (6)联立，得 .35610若三次函数 f(x)x 3bx 2cxd 有极值点 x1，x 2 且 f(x1)x 1，设 g(x)是 f(x)的导函数，那么关于 x 的方程 g(f(x)0 的不同实数根的个数为( )A6 B5 C4 D3答案 D解析 因为函数 f(x)x 3b
8、x 2cxd 存在两个极值点，且 g(x)是 f(x)的导函数，则方程 g(f(x)0 的不同实数根的个数等于方程 f(x)x 1 与 f(x)x 2 的不同实数根的个数之和，即函数 f(x)的图象与直线 yx 1，y x 2 的交点的个数，在平面直角坐标系内画出其大致图象如图所示，又因为 f(x1)x 1，当 x1x2 时，如图 2 所示，此时函数 f(x)的图象与直线 yx 1，yx 2 的交点的个数之和为 3，所以方程 g(f(x)0 的不同实数根的个数为 3，故选 D.图 1 图 211已知直线 2xy 10 与曲线 yln xa 相切，则实数 a 的值是_答案 2ln 2解析 由 y
9、ln xa 求导得 y ，1x设切点是(x 0，ln x 0a)，则 y 2，1x0故 x0 ，ln x 0ln 2，12切点是 ，代入直线方程得(12， ln 2 a)2 ln 2a10，12解得 a2ln 2.12若函数 f(x)x( xc )2k(c0)在 x2 处有极大值 16，则 c_，k_.答案 6 16解析 f(x) x 32cx 2c 2x k(c0)，f(x )3x 24cxc 2(xc)(3xc )(c0)，当 f(x )0 时， xc，c3当 f(x )0，由题意讨论 x0 即可，则当 01 时，g(x)0，g(x )单调递增，所以 g(x)ming(1)2.f(x)(x
10、3) 266，作函数 yf(x)的图象如图所示，当 f(x)2 时，方程( x3) 262的两根分别为5 和1，则 nm 的最大值为1( 5)4.17(2018浙江省温州六校协作体联考) 若对任意 x 1,1，恒有|4x 3ax|b(a，bR )成立，则当 b 取得最小值_时，实数 a 的值为_答案 1 3解析 对任意 x1,1，恒有 |4x3ax| b 成立等价于 b |4x3ax| max，x1,1 设 f(x)4x 3ax，x 1,1，则易得 f(x)为奇函数，则只需讨论 f(x)在0,1 上的情况即可f(x)12x 2a，当 a0 在0,1上恒成立，f(x)在0,1 上单调递增，则|4x 3ax| maxf(1)4a4；当 a12 时，f (x)8 ；当 0a12 时，令 f(x )0 得 x ，则函数 f(x)在 上单调递减，在 上单3a6 0，3a6) ( 3a6，1调递增，则|4 x3ax| max max|f1|，|f ( 3a6)|max ， |4 a|，39令|4 a | ，39 2得(a3)( a12) 20，解得 a3 或 12，当 a12 时，|4x 3ax| max8 ；当 a3 时，此时|4x 3ax| max1；当|4 a | ，即 0a1；39 2当 31.39 2综上所述，当 b 取得最小值 1 时，实数 a 的值为 3.
