1、(三)数 列1已知正项数列a n的前 n 项和为 Sn，a 11，且(t1)S na 3a n2(tR) 2n(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列b n满足 b11，b n1 b na n1 ，求数列 的前 n 项和 Tn.12bn 7n解 (1)因为 a1S 11，且(t1) Sna 3a n2，2n所以(t1) S1 a 3a 12，所以 t5.21所以 6Sna 3a n2.2n当 n2 时，有 6Sn1 a 3a n1 2，2n 1得 6ana 3a na 3a n1 ，2n 2n 1所以(a na n1 )(ana n1 3)0，因为 an0，所以 ana n1 3，又因为 a
2、11，所以a n是首项 a11，公差 d3 的等差数列，所以 an3n2(nN *)(2)因为 bn1 b na n1 ，b 11，所以 bnb n1 a n(n2，n N*)，所以当 n2 时，bn(b nb n1 )( bn1 b n2 )(b 2b 1)b 1a na n1 a 2b 1 .3n2 n2又 b11 也适合上式，所以 bn (nN *)3n2 n2所以 12bn 7n 13n2 n 7n ，13 1nn 2 16(1n 1n 2)所以 Tn 16(1 13 12 14 1n 1n 2) .16(32 1n 1 1n 2) 3n2 5n12n 1n 22设等差数列a n的前
3、n 项和为 Sn，且 S3， ，S 4 成等差数列， a53a 22a 12.S52(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bn2 n1 ，求数列 的前 n 项和 Tn.anbn解 (1)设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，由 S3， ，S 4 成等差数列，S52可知 S3S 4S 5，得 2a1d0，由 a53a 22a 12，得 4a1d20，由，解得 a11，d2，因此，a n2n1(nN *)(2)令 cn (2n1) n1 ，anbn (12)则 Tnc 1c 2c n，T n11 3 5 2(2 n1) n1 ，12 (12) (12)Tn1 3 25 3(2n1) n，1
4、2 12 (12) (12) (12)，得Tn12 (2n1) n12 12 (12)2 (12)n 1 (12)12 (2n1) n1 (12)n 1 (12) 3 ，2n 32nT n6 (nN *)2n 32n 13已知等差数列a n满足(n1) an2n 2nk ，kR .(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Sn.4n2anan 1解 (1)方法一 由(n1)a n2n 2nk，令 n1,2,3，得到 a1 ，a 2 ，a 3 ，3 k2 10 k3 21 k4a n是等差数列，2a 2a 1a 3，即 ，20 2k3 3 k2 21 k4解得
5、k1.由于(n1) an2n 2n1(2n1)(n1) ，又n10，a n2n1(n N *)方法二 a n是等差数列，设公差为 d，则 ana 1d(n1)dn( a1d) ，(n1)a n(n1)( dna 1 d)dn 2a 1na 1d，dn 2a 1na 1d2n 2nk 对于任意 nN *均成立，则Error! 解得 k1，a n2n1(nN *)(2)由 bn 4n2anan 1 4n22n 12n 1 14n24n2 1 14n2 11 1，12n 12n 1 12( 12n 1 12n 1)得 Snb 1b 2b 3b n 1 1 1 112(1 13) 12(13 15)
6、12(15 17) 12( 12n 1 12n 1) n12(1 13 13 15 15 17 12n 1 12n 1) n12(1 12n 1) n (nN *)n2n 1 2n2 2n2n 14(2018绍兴市柯桥区模拟) 已知数列a n满足：x 11， xnx n1 1，证明：当enxnN *时，(1)0xn2 xn1 ；(3) nx n n1 .(12) (12)证明 (1)用数学归纳法证明 xn0，当 n1 时，x 110，假设 xk0，kN *，k 1，成立，当 nk1 时，若 xk1 0，则 xkx k1 10，矛盾，故 xk1 0，e因此 xn0(nN *)，所以 xnx n1
7、 1 xn 1e 01x n1 ，1nx综上，x nxn1 0.(2)xn 1xn 2xn 1 xn xn 1(xn 1 1) 2xn 1 xn 1 1 x (xn 1 1)nxenx2n 1 e 1，设 f(x)x 2e x(x1)1(x 0)，则 f(x )2xe xx0，所以 f(x)在0，)上单调递增，因此 f(x)f(0)0，因此 x (xn1 1)1f (xn1 )f(0)0，2n 1 e故 xnxn1 xn2x n1 .(3)由(2)得 11 时，1xn 1 (1xn 1)10，a n ，n1,2，；11 x 11 x2(23n x)(3)证明：a 1a 2a n .n2n 1(
8、1)解 a n1 ， 1 ，3an2an 1 1an 1 13(1an 1) 1 ，a n (nN *)1an 23 13n 1 23n 3n3n 2(2)证明 由(1)知 an 0，3n3n 2 11 x 11 x2(23n x) 11 x 11 x2(23n 1 1 x) 11 x 11 x21an 1 x 2a na n，1an 11 x2 21 x 1an( 11 x an)原不等式成立(3)证明 由(2)知，对任意的 x0，有 a1a 2a n 11 x 11 x2(23 x) 11 x 11 x2(232 x) 11 x 11 x2(23n x) ，n1 x 11 x2(23 23
9、2 23n nx)取 x ，1n(23 232 23n) 1n(1 13n)则 a1a 2a n ，n1 1n(1 13n)n2n 1 13n n2n 1原不等式成立6已知在数列a n中，满足 a1 ，a n1 ，记 Sn 为 an 的前 n 项和12 an 12(1)证明：a n1 an；(2)证明：a ncos ；32n 1(3)证明：S nn .27 254证明 (1)由题意知a n的各项均为正数，因为 2a 2a a n12a (1a n)(12a n)2n 1 2n 2n所以，要证 an1 an，只需要证明 anan.(2)用数学归纳法证明 ancos .32n 1当 n1 时，a 1 cos 成立，12 3假设当 nk 时，a kcos .32k 1那么当 nk1 时，ak1 cos ，ak 12 cos 32k 1 12 32k综上所述，a ncos .32n 1(3)由题意及(2)知，11 an 12 an 1 121a 1cos 22n32n 1sin 2 1 (n2)，2294n 1故当 n1 时，S 1 1 ；12 27 254当 n2 时，S n n i 2(1 2294i) 12n 12 229 43 116(1 14n 1)n .27 254综上所述，S nn .27 254
