1、专题跟踪训练( 二十六)一、选择题1在直角坐标平面内，点 A，B 的坐标分别为(1,0) ，(1,0)，则满足 tan PABtan PBAm(m 为非零常数 )的点 P 的轨迹方程是( )Ax 2 1(y0) Bx 2 1y2m y2mC x2 1(y0) Dx 2 1y2m y2m解析 设 P(x，y )，由题意，得 m (m0)，化简yx 1 yx 1可得 x2 1( y0)y2m答案 C2(2018重庆模拟 )设 A，P 是椭圆 y 21 上两点，点 A 关x22于 x 轴的对称点为 B(异于点 P)，若直线 AP，BP 分别交 x 轴于点M， N，则 ( )OM ON A0 B1 C
2、. D22解析 依题意，将点 P 特殊化为点( ，0)，于是点 M，N 均2与点( ，0) 重合，于是有 2，故选 D.2 OM ON 答案 D3已知椭圆 E： 1(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 Fx2a2 y2b2的直线交 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1) ，则 E 的方程为( )A. 1 B. 1x245 y236 x236 y227C. 1 D. 1x227 y218 x218 y29解析 设 A(x1，y 1)， B(x2，y 2)，则 1， 1，两x21a2 y21b2 x2a2 y2b2式作差并化简变形得 ，而y1 y2x1 x2 b2x1 x2a2y
3、1 y2 ，x 1x 22，y 1y 22，所以 a22b 2，又y1 y2x1 x2 0 13 1 12a2b 2c 2 9，于是 a218，b 29.故选 D.答案 D4(2018唐山市高三五校联考) 直线 l 与双曲线C： 1( a0，b 0)交于 A，B 两点， M 是线段 AB 的中点，若x2a2 y2b2l 与 OM(O 是原点)的斜率的乘积等于 1，则此双曲线的离心率为( )A2 B. C3 D.2 3解析 设直线 l 与双曲线 C： 1(a0，b0)的交点x2a2 y2b2A(x1， y1)，B( x2，y 2)，易知 x1x 2，则 1(a0，b0) ，x21a2 y21b2
4、 1( a0，b0) ，得 ，即x2a2 y2b2 x21 x2a2 y21 y2b2 ，因为 l 与 OM 的斜率的乘积等于 1，所以y1 y2y1 y2x1 x2x1 x2 b2a21，双曲线的离心率 e ，故选 B.b2a2 1 b2a2 2答案 B5(2018郑州市第三次质量预测) 椭圆 1 的左焦点为x25 y24F，直线 xa 与椭圆相交于点 M，N ，当 FMN 的周长最大时，FMN 的面积是 ( )A. B. C. D.55 655 855 455解析 设椭圆的右焦点为 E，由椭圆的定义知FMN 的周长为 L| MN|MF|NF| | MN|(2 |ME|)(2 | NE|)因
5、为5 5|ME| NE|MN| ，所以| MN|ME| |NE|0，当直线 MN 过点 E 时取等号，所以 L4 | MN|ME| NE|4 ，即直线 xa 过椭5 5圆的右焦点 E 时，FMN 的周长最大，此时 SFMN |MN|EF| 2 ，故选 C.12 12 245 855答案 C6(2018福建省高三质检) 过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，交其准线于点 C，且 A，C 位于 x 轴同侧，若|AC| 2|AF|，则|BF |等于( )A2 B3 C4 D5解析 设抛物线的准线与 x 轴交于点 D，则由题意，知 F(1,0)，D( 1,0)，分别作
6、AA1，BB 1 垂直于抛物线的准线，垂足分别为A1，B 1，则有 ，所以|AA 1| ，故| AF| .又 ，|AC|FC| |AA1|FD| 43 43 |AC|BC| |AA1|BB1|即 ，亦即 ，解得|BF|4，故|AC|AC| |AF| |BF| |AF|BF| 2|AF|3|AF| |BF| |AF|BF|选 C.答案 C二、填空题7椭圆 C： 1 的左、右顶点分别为 M，N ，点 P 在 Cx24 y23上，且直线 PN 的斜率是 ，则直线 PM 的斜率为_14解析 设 P(x0，y 0)，则 1，直线 PM 的斜率 kPMx204 y203，直线 PN 的斜率 kPN ，可得
7、 kPMkPN ，故y0x0 2 y0x0 2 y20x20 4 34kPM 3.34 1kPN答案 38(2018郑州一模 )如图，F 1，F 2 是双曲线 1( a0，b0) 的x2a2 y2b2左、右焦点，过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两个分支分别交于点B，A.若ABF 2 为等边三角形，则双曲线的离心率为_解析 ABF2 为等边三角形，|AB | AF2|BF 2|， F 1AF260.由双曲线的定义可得|AF 1|AF 2|2a，| BF1|2a.又|BF 2|BF 1|2a，| BF2|4a.|AF 2|4a，|AF 1|6a.在AF 1F2 中，由余弦定理可得|F1F2|
8、2|AF 1|2|AF 2|22|AF 2|AF1|cos60，(2 c)2(4a) 2(6a) 224a6a ，整理得12c27a 2， e .ca c2a2 7答案 79(2018湖南六校联考) 设抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，过点P( 1,0)作直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点若 SABF ，且2|AF|0，则 k0 或 kb0)的x2a2 y2b2左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线 x41 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M.y2(1)求椭圆 E 的方程(2)设直线 1 与 y 轴交于 P 点，过点 P 的直线 l 与椭圆 Ex4 y2交于两个不同
9、点 A，B，若 |PM|2|PA|PB |，求实数 的取值范围解 (1)由题意，得 a2c，b c，则椭圆 E 的方程为 3x24c21，联立 Error!得 x22x 43c 20.y23c2直线 1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M，x4 y244(43c 2)0，得 c21，椭圆 E 的方程为 1.x24 y23(2)由(1)得 M 点坐标为 .(1，32)直线 1 与 y 轴交于点 P(0,2)，x4 y2|PM| 2 .54当直线 l 与 x 轴垂直时，|PA|PB |(2 )(2 )1，3 3由 |PM|2 |PA|PB|，得 .45当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方
10、程为ykx 2，A( x1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立Error!得(34k 2)x216kx 40，依题意得，x 1x2 ，且 48(4k 21)0，43 4k2|PA |PB| (1k 2)x1x2(1k 2)y1 22 x21 y2 22 x21 ， .43 4k2 13 4k2 54 45(1 13 4k2)k 2 ， 0)，圆O：x 2y 2 1.(1)若抛物线 C 的焦点 F 在圆 O 上，且 A 为抛物线 C 和圆 O 的一个交点，求|AF|；(2)若直线 l 与抛物线 C 和圆 O 分别相切于点 M，N ，求|MN|的最小值及相应 p 的值解 (1)由题意得 F(0,1)，从而抛物线 C：x 24y .解方程组Error!得 yA 2，5|AF | 1.5(2)设 M(x0，y 0)，由 y ，xp得切线 l：y (xx 0)y 0，x0p结合 x 2 py0，整理得 x0xpypy 00.20由|ON|1 得 1，即|py 0| ，| py0|x20 p2 x20 p2 2py0 p2p 且 y 10.2y0y20 1 20|MN| 2|OM| 21x y 12py 0y 1 y 120 20 204y20y20 1 204 (y 1)8，4y20 1 20当且仅当 y0 时等号成立3|MN| 的最小值为 2 ，此时 p .2 3
