1、2019 届 吉 林 省 实 验 中 学高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 （ 理 ） 试 卷数 学注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作
2、答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1 ，则 用区间可表示为已知全集 =,集合 =|00 A B C D (0，32) (1， 32) (32， 2) (,0)(32， 2)2已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为,a,bxabxA B C D 2333等差数列a n中，a 1+a5=14，a 4=10，则数列a n的公差为A 1 B 2 C 3 D 44
3、若 ，且为第二象限角，则(2+)=35 =A B C D 43 34 43 345在正项等比数列a n中，若 a1=2，a 3=8,数列a n的前 n 项和为 ，则 S6 的值为A 62 B 64 C 126 D 1286函数 的零点个数为()=|(12)A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个7设可导函数 在 R 上图像连续且存在唯一极值，若在 x2 处，f(x) 存在极大值，则下列()判断正确的是A .当 (,2)时 ,()0,当 (2,+)时 ,()0,当 (2,+)时 ,()0C .当 (,2)时 ()0D .当 (,2)时 ()(0),(2018)2018(0)C D (1)(
4、0),(2018)2018(0)二、填空题13已知向量 ，则 的夹角余弦值为_=(3,4),=(1,3) 与 14在ABC 中，若 ，则 _.=4,=2 +15若 f(x) x3f(1)x 2x ，则在（1，f(1) ）处曲线 的切线方程是_13 13 =()16 ：关于函数 ()=322,有如下命 题； (1).=3是 ()图 像的一条 对 称 轴(2).（ 6,0）是 ()图 像的一个 对 称中心.（ 3）将 ()的 图 像向左平移6，可得到一个奇函数 图 象其中真命题的序号为 _三、解答题17已知等差数列 满足 。n 4=7,23+5=19此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座
5、位号 （1）求通项 ；（2）设 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，求数列 通项公式及前 n 项和 . 18 若向量 =(,),=(,),其中 0,记 ()=+12,且最小正周期 为 ，（1）求 的表达式； ()（2）将 f（x）的图象向右平移 个单位后得到 y=g（x）的图象，求 在 上的值域4 =()0,219设数列 的前项和为 ，满足 =22()（1）求数列 的通项公式；（2）设 求数列 前项和 =12 1+1 20设函数 .()=+225（1）求函数 的极小值;()（2）若关于 的方程 在区间 上有唯一实数解，求实数 的取值范围. ()=21 1, 21在 中，角 的对边的边长为 ，
6、且 。 , ,=2(+)（1）求 的大小；（2）若 ，且 ，求边长 的值。+=5 =3 22已知函数 f（x）=lnx ax，其中 a 为实数 （1）求出 f（x）的单调区间；（2）在 a1 时，是否存在 m1，使得对任意的 x（1，m）,恒有 f（x）+a0，并说明理由.2019 届 吉 林 省 实 验 中 学高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 （ 理 ） 试 卷数 学 答 案参考答案1C【解析】【分析】先化简集合 A 和 B，再根据交集运算的定义求解。【详解】集合 = ， =|00 |32所以 ，答案选 C。=(32， 2)【点睛】在进行集合运算时，当集合没有化简，要先化简集合；当
7、集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助 Venn 图运算；当集合为无限集时，可借助数轴进行运算。集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于 A 且属于 B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集 U 是大范围，去掉 U 中 A 元素，剩余元素成补集。2B【解析】向量 ， ，由 ，得 ，解得： ，故选2,3a,1bxab230x32xB.3C【解析】【分析】利用等差数列的性质，a 1+a5=14 可化为 ，可求 ，再运用公差计算公式2+4=14 2即可求出结果。=【详解】因为a n为等差数列，所以 = =1+52+414而 a4=10，所以 ，2=4所以公差
8、=3。答案选 C。=4242【点睛】本题考查了等差数列的性质及公差计算公式，属于基础题。4A【解析】【分析】先由诱导公式得 ，再求出 ，最后根据定义求 。=35 =45 【详解】因为 ，(2+)=35所以 ，=35又因为 为第二象限角，所以 ， 0=12=45所以 = 。答案选 A=43【点睛】本题考查了诱导公式，同解三角函数关系及三角函数在各象限内的符号等知识点，都属于基本知识，比较容易，但在求三角函数的值时，较容易出现符号错误，需要注意。5C【解析】【分析】根据 a1=2，a 3=8 先求出公比为 2，再代入a n的前 n 项和公式计算即可。【详解】因为a n是正项等比数列，所以 ，即 ，
9、2=31 =2所以a n的前 6 项和为 为 = =126，答案选 C61(16)1 2(126)12【点睛】本题考查了等比数的公比计算公式及前 n 项和公式，属于基础题。6C【解析】【分析】函数 的零点个数问题等价于方程 解的个数问题，考查函数()=|(12) |=(12)和函数 的图像交点个数，即可。=| =(12)【详解】作出函数 和函数 的图像如下：=| =(12)由图像可知，函数 和函数 的图像有两个交点，即方程 有 2 个解，=| =(12) |=(12)所以函数 的零点有 2 个，答案选 C。()=|(12)【点睛】本题考查了函数与方程的关系，涉及函数数零点的问题可化为方程根的个
10、数问题讨论，而方程解的个数问题又可化为函数的零点问题进行讨论，而数形结合是解决这类问题最主要的方法。7A【解析】【分析】根据函数极值的判定方法，极大值点左侧导函数值为正，右侧为负，即可判断。【详解】由题意知，x2 为导函数 的极大值点，()所以，当 时， ；当 时， 。故答案选 A。(,2） ()0 (2,+) ()0 () (0,2另外，因为函数 是 R 上的偶函数，()所以 在 上单调减，() 2， 0）所以 在 上先减后增；() 2， 2所以 在 上的单调性为先减后增。答案选 D。() 6,10【点睛】本题主要考查函数的单调性的判断，根据函数的奇偶性，周期性和单调性的关系是解决问题的关键
11、。本题是一道综合性较强的中档题。12B【解析】【分析】构造函数 ，求出 ，得到该函数为 R 上的增函数，故得 ，()=() ()0 (0)0所以 是 R 上的增函数，()所以 ，(0)(0)(2018)2018(0）【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，导数的运算法则的应用，属于中档题。1343-310【解析】【分析】将条件代入向量夹角计算公式即可。【详解】设 的夹角为 ，则与 = = 。=| 3+4352 43-310【点睛】本题考查平面向夹角的计算，属于基础题。142【解析】【分析】由正弦定理，将式子中的边化为角，代入即可。【详解】因为=2所以 ， ，=2=2=2所以= = = =2
12、。+22+2sinsin+sin =2 24【点睛】本题主要考查正弦定理的变形运用，属于基础题。152x-3y+1=0【解析】【分析】首先对函数求导得 ，把 代入可求 ，把 代入函数()=22(1)+1 =1 ()=23 =1可求 ，用点斜式方程写出切线并化简即可。() (1)=1【详解】因为 f(x) x3f(1)x 2x ，13 13所以 ()=22(1)+1把 代入，则 ，=1 (1)=23所以 ，()133 232 13把 代入，则=1 (1)=1所以过点（1，f(1)）处曲线 的切线方程=() 1=23(1)整理得 。23+1=0【点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题。16(2
13、)(3)【解析】【分析】运用二倍角、辅助角公式将函数 化为 ，分别求()=322()=2(2+6)其对称轴，对称中心，并进行图像平移，讨论三个结论即可。【详解】函数 可化为 ，()=322()=322所以 ，()=2(2+6)所以函数 的对称轴为 ，故命题（1）错误；() =212函数 的对称中心为 ，取 时，对称中心为 ，命题（2）正确；() (2+6,0) =0 (6,0)函数 向左平移 个单位，得 = = ， 为奇函()6 ()=22(+6)+6 22+2 22 ()数，命题（3）正确。故答案为(2)(3)。【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查三角函数的对称性、三角函数
14、的图像平移，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输” ，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题17（1） ；（2） ， 。=21 =2+21 =2+1+22【解析】【分析】(1)根据等差数列通项公式，结合条件建立关于首项与公差的方程组 ，求1+3=72(1+2)+1+4=19解即可；（2）可先求出 的通项，再解出数列 通项公式，求其前 n 项和则运用分组求和 的方法求解即可。【详解】（1）由题意得 ，1+3=72(1+2)+1+4=19解
15、得 ，1=1=2 =1+2(1)=21.（2） =2,，=2+21，=(2+22+2)+1+3+(2n-1) 。=2+1+22【点睛】本题考查了等差数列、等比数列通项公式及分组求和法，比较基础，难度不大，关键是掌握基本公式即可。18（1） ；（2） 。()=22(2+4)+1 12， 2+22 【解析】【分析】(1)运用向量的数量积计算公式代入，并对函数式进行三角恒等变换，可得 的表达式；()（2）先根据图像平移得到 ，再结合图像与性质求值域。()=22(24)+1【详解】（1） 由向量 =(,),=(,),其中 0,记 ()=+12得()=+2+12=122+12(2+1)+12=22(2+
16、4)+1，由 =得， =1。所以 ()=22(2+4)+1（2） ，将 ()图 像向右平移4个 单 位，可得 ()=22(24)+1当 02时 ， 42434，所以 22(24)1故 12()2+22 ，。即 ()的 值 域 为 12， 2+22 【点睛】本题主要考查三角恒等变换及三角函数的值域，属于中档题。形如 ，=(+)的函数求值域，分两步：（1） 求出 的范围；（2）由 的范围, , =+ =+结合正弦函数的单调性求出 ，从而可求出函数的值域。19（1） ；（2） 。=2 =+1【解析】【分析】（1）根据数列的前 n 项和与数列的通项的关系 ，可求通项；（2）先由=1(2)（1）的结论求
17、出数列 的通项公式，再运用裂项法求其前 n 项和。和1+1【详解】（1）当 时， =22(+) 1=212(+)-得 ；=221(+)即 =21又 ；得： ，1=212数列 是以 为首项， 2 为公比的等比数列 =2（2） ， ，=2 ，=212= 1+1= 1(+1)=1 1+1=(112)+(1213)+(1314)+(1 1+1)=1 1+1= +1【点睛】本题考查数列的前 n 项和与数列的通项的关系及裂项法求和，属于中档题。在运用数列的前 n项和与数列的通项的关系求数列的通项时，比较容易忘记关系式 中的条件，=1(2)即求出通项后，一定要验证 n=1 时，通项公式是否也成立。20（1）
18、函数 的极小值为 ；（2） 。() (1)=3 1， 252+1【解析】【分析】（1）对函数求导并求导函数的零点，讨论函数单调性，确定极小值点，并求得极值。（2）结合（1）的结果“ 方程 在区间 上有唯一实数解”即为 ，解不等()=21 1, (1)21()式即可。【详解】（1）依题意知 的定义域为 。() (0,+)()=1+45=425+1 =(41)(1)令 ()=0,解得 =1,或 =14当 01时 ， ()0,当 140时 ,()增区 间为 (0,1),减区 间为 (1,+)（2）在 a1 时，存在 m1，使得对任意的 x（1，m）恒有 f（x）+a0。理由如下：由（1）得当 a0 时，函数 f(x)在（1，m ）递增，此 时 ()(1)=，即 ()+0，当 01即 f（x）+a 0 。综上可得：在 a1 时，存在 m1，使得对任意 x（1，m）恒有 f（x）+a0。【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及恒成立问题，着重考查了转化思想，分类讨论思想，及学生的运算能力、推理能力。属于中档题。
