1、第 2 课时 二次函数与一元二次方程的关系知识与技能1总结出二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根2会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解3会用计算方法估计一元二次方程的根过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系情感、态度与价值观通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想重点方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解难点二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系一、创设情境，导入新课
2、如图所示，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h(单位： m)与飞行时间 t(单位： s)之间具有如下关系：h20t5t 2.考虑以下问题：(1)球的飞行高度能否达到 15 m？如能，需要多少飞行时间？(2)球的飞行高度能否达到 20 m？如能，需要多少飞行时间？(3)球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？(4)球从飞出到落地要用多少时间？教师用课件出示问题，让学生以学习小组为单位自学、讨论、合作、交流，尝试解决问题学生观察、分析、体会、讨论、合作、交流，尝试解决问题二、合作交流，探究新知1问题探究(教
3、材 P28 问题 3)教学要点(1)先让学生回顾函数 yax 2bxc 图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数 yx 2x 的图象34(2)教师巡视，与学生合作、交流(3)教师讲评，并画出函数图象，如图所示(4)教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与 x 轴交点的坐标分别是( ，0)和( ，0)12 32(5)让学生完成(2)的解答教师巡视指导并讲评(6)对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数 yx 2x 的图象与 x 轴交点的横坐标，即为方程34x2x 0 的解；从“数”的方面看，当二次函数 yx
4、 2x 的函数值为 0 时，相应的34 34自变量的值即为方程 x2x 0 的解更一般地，函数 yax 2bxc 的图象与 x 轴交34点的横坐标即为方程 ax2bxc0 的解；当二次函数 yax 2bxc 的函数值为 0 时，相应的自变量的值即为方程 ax2bxc0 的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系回到“创设情境”中的问题，分析如下：由于球的飞行高度 h 与飞行时间 t 的关系是二次函数：h20t5t 2.所以可以将问题中 h 的值代入函数解析式，得到关于 t 的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中 h 的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问
5、题中 h 的值(解答过程略)2观察思考下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？(1)yx 2x2；(2)yx 26x9；(3)yx 2x1.图象如下图所示：教师用课件出示图象，教师引导学生尝试回答问题引导学生观察图象、思考时，应注意：二次函数图象与 x 轴有无公共点及公共点的横坐标是多少？与其对应的函数值是多少？也可播放课件：函数的图象，输入 a，b，c 的值，画出对应的函数的图象，观察图象，说出函数对应方程的解学生观察、思考问题，尝试回答问题3归纳总结(1)抛物线 yx 2x2 与
6、 x 轴有两个公共点，它们的横坐标是2，1.当 x 取公共点的横坐标时，函数的值是 0.由此得出方程 x2x20 的根是2，1.(2)抛物线 yx 26x9 与 x 轴有一个公共点，这点的横坐标是 3.当 x3 时，函数的值是 0.由此得出方程 x26x90 有两个相等的实数根 3.(3)抛物线 yx 2x1 与 x 轴没有公共点，由此可知，方程 x2x10 没有实数根一般地，从二次函数 yax 2bxc 的图象可知：(1)如果抛物线 yax 2bxc 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 x0，那么当 xx 0时，函数的值是 0，因此 xx 0就是方程 ax2bxc0 的一个根(2)二次函数
7、的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根教师让学生尝试总结二次函数与一元二次方程的关系，教师适时引导、完善学生归纳总结，初步感知相似图形的本质属性总结：一般地，如果二次函数 yax 2bxc 的图象与 x 轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程 ax2bxc0 的根4典型例题例 利用函数图象求方程 x22x20 的实数根(精确到 0.1)解：作 yx 22x2 的图象(如右图所示)，它与 x 轴的公共点的横坐标大约是0.7，2.7.所以方程 x22x20 的实数根为x10.7
8、，x22.7.播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图象估计出方程 x22x20 实数根的近似解，后一个课件可以准确地求出方程的解，体会其中的差异学生先自主、再合作，完成例题5探究观察函数 yx 22x2 的图象可以发现，当自变量为 2 时的函数值小于 0，当自变量为 3 时的函数值大于 0，所以抛物线 yx 22x2 在 2x3 这一段经过 x 轴，也就是在2x3 之间某个值时，y0.即方程 x22x20 在 2，3 之间有根我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在范围，从而逐步得到根所在范围教师要求学生阅读教材中的相关内容，小组交流教师引导点拨学生阅读、思考
9、、计算、交流三、运用新知，深化理解例 1 画出函数 yx 22x3 的图象，根据图象回答下列问题(1)图象与 x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么？(2)当 x 取何值时，y0？这里 x 的取值与方程 x22x30 有什么关系？解：图象如图(1)图象与 x 轴的交点坐标为(1，0)、(3，0)，与 y 轴的交点坐标为(0，3)(2)当 x1 或 x3 时，y0，x 的取值与方程 x22x30 的解相同【教学说明】(1)二次函数图象与 x 轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决(2)利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象
10、，找出抛物线与 x 轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集例 2 (1)已知抛物线 y2(k1)x 24kx2k3，当 k_时，抛物线与 x 轴相交于两点(2)已知二次函数 y(a1)x 22ax3a2 的图象的最低点在 x 轴上，则a_(3)已知抛物线 yx 2(k1)x3k2 与 x 轴交于两点 A(，0)，B(，0)，且 2 217，则 k 的值是_【分析】(1)抛物线 y2(k1)x 24kx2k3 与 x 轴相交于两点，相当于方程2(k1)x 24kx2k30 有两个不相等的实数根，即根的判别式 0.(2)二次函数 y(a1)x 22ax3a2 的图象的最低点在 x 轴上，也就是
11、说，方程(a1)x 22ax3a20 的两个实数根相等，即 0.(3)已知抛物线 yx 2(k1)x3k2 与 x 轴交于两点 A(，0)，B(，0)，即、 是方程 x2(k1)x3k20 的两个根，又由于 2 217，以及 2 2() 22，利用根与系数的关系即可得到结果请同学们完成填空【教学说明】二次函数的图象与 x 轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手四、课堂练习，巩固提高1教材 P28 练习第 1 题2教师指导学生完成探究在线高效课堂 “随堂演练”有关内容五、反思小结，梳理新知师生小结(1)通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑惑？说给老师或同学听听二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程根的情况关系事物是普遍联系的运用方程知识可以解决函数问题，同样运用函数知识又可以解决方程根的问题(2)教师与同学聆听部分同学的收获，解决部分同学的疑惑师生共同回顾总结，归纳本节所学的知识及数形结合的思想方法教师聆听同学的收获，解决同学的疑惑学生归纳、总结发言、体会、反思六、布置作业1学生完成探究在线高效课堂 “课时作业”有关内容2教材 P30 习题 26.3 第 3 题
