1、桥梁结构理论,长安大学 贺拴海,桥梁结构理论,长安大学 贺拴海,第1篇 桥梁结构整体分析,桥梁结构分析的有限元法 梁板式结构分析的有限条法 能量原理及组合结构分析的变形协调法 变截面连续梁、拱式结构分析的子结构法 桥梁结构的材料几何非线性分析,桥梁结构分析的有限元法桥梁结构有限元法的分析过程 桁架桥结构分析 梁式桥结构分析 刚架桥结构分析 薄壁箱梁桥结构分析 复杂组合截面桥梁结构分析的虚拟层合单元 小结 本章参考文献,j,N,N,早在1850年问世的矩阵符号，古老的刚架位移法，被Turner 等人于1956年推广应用到弹性力学的平面问题，并在分析飞机结构获得成功，奠定了现代有限元法的基础。 现
2、代有限元法在各个领域都得到广泛应用: 1.由弹性力学平面问题扩展到空间问题和板壳问题。对拱坝、涡轮叶片、飞机、船体及大型桥梁等复杂结构进行了应力分析； 2.由平衡问题扩展到稳定问题与动力问题。对结构在地震力、风力与波浪力作用下的动力反应进行了分析； 3.由弹性问题扩展到弹塑性与粘弹性问题、土力学与岩石力学问题，疲劳与脆性断裂问题； 4.由结构计算问题扩展到结构优化设计问题； 5.由固体力学扩展到流体力学、渗流与固结理论、热传导与热应力问题（例如焊接残余应力、原子反应堆结构的热应力）、磁场问题（例如感应电动机的磁场分析）以及建筑声学与噪音问题； 6.由工程力学扩展到力学的其它领域（例如冰川与地质
3、力学、血管与眼球力学等）。,在传统的杆单元、板单元、块单元、壳单元不断完善的同时，索单元、虚拟层合单元等使得复杂结构分析得以简化. 本章在简述传统有限元法的基本思路的同时，汇总出桥梁结构分析中的常用单元刚度矩阵，并介绍一种通用三维单元构造方法及虚拟层合单元在桥梁结构分析中的应用。,桥梁结构有限元法的分析过程,桥梁结构有限元法的分析过程可以分为下六个步骤： （1）结构的离散化 所谓离散化简单地说，就是将要分析的桥梁结构物分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单元的集合体，以它代替原来的结构。 （2）选择位移模式 为了能用结点位移表示单元体
4、的位移、应变和应力，在分析连续体问题时，必须对单元中位移的分布作出一定的假定，也就是假定位移是坐标的某种函数，这种函数称为位移模式或插值函数。根据所选定的位移模式，就可以导出用结点位移表示单元内任一点位移的关系式，其矩阵形式是,贺:例如分析对象是桁架桥时，可以取每根杆件作为一个单元，因为桁架桥本来就是由杆件组成的。但如果分析的对象是连续体，如板桥，那末为了有效地逼近实际的连续体，就需要考虑选择单元的形状和分割方案以及确定单元和结点的数目等问题。,贺:选择适当的位移函数是有限单元法分析中的关键。通常选择多项式作为位移模式。其原因是因为多项式的数学运算（微分和积分）比较方便，并且由于所有光滑函数的
5、局部，都可以用多项式逼近。至于多项式的项数和阶次的选择，则要考虑到单元的自由度和解的收敛性要求。一般来说，多项式的项数应等于单元的自由度数，它的阶次应包含常数项和线性项等。这里所谓单元的自由度是指单元结点独立位移的个数。,（3）分析单元的力学特性 位移模式选定以后就可进行单元的力学特性的分析，包括三部分： 利用几何方程，由位移表达式导出用结点位移表示单元应变的关系式,利用本构方程，由应变的表达式导出用结点位移表示单元应力的关系式,利用变分原理，建立作用于单元上的结点力和结点位移之间的关系式，即单元的平衡方程,上式的积分应遍及整个单元的体积，若单元坐标系与结构坐标系不一致时，还需用坐标转换矩阵
6、进行转换，即,单元刚度矩阵是单元特性分析的核心内容，在以后各节中将根据所分析的桥梁结构型式给出。,（4）建立整个结构的平衡方程 这个过程包括有两个方面的内容：一是将各个单元的刚度矩阵，集合成整个物体的整体刚度矩阵；二是将作用于各单元的等效结点力列阵，集合成总的荷载列阵。最常用的集合刚度矩阵的方法是直接刚度法。一般来说，集合所依据的理由是要求所有的相邻的单元在公共结点处的位移相等。于是得到以整体刚度矩阵 、荷载列阵 以及整个结构的结点位移列阵 表示的整个结构的平衡方程,（5）求解未知结点位移 考虑几何边界条件将方程作适当修改之后，根据方程组的特点，选择合适的计算方法，可解出未知位移。 （6）计算
7、单元应力及所需要的结果 利用已求出的结点位移，计算各单元应力，加以整理得出所要求的结果。,桁架桥结构一般均为空间结构，在桁架结点平滑的假定下，可按空间杆单元进行分析，每个桁架杆即为一个单元。如图所示，取结构坐标系（ ），单元坐标系（ ） 则单元结点位移列阵 ， 结 点 力 列 阵 。 单元坐标系下单元刚度矩阵,桁架桥结构分析,经运算，在结构坐标系单元刚度矩阵为,桁架桥及其单元,在初步设计时，可用合适的方法将空间问题简化为平面问题，用平面桁架来计算，如图所示。这时，结点 上的方面的变位被减掉，结点位移列阵为 。结点力列阵 ，单元坐标系下单元刚度矩阵表达式同前，但 为,结构坐标系下单元刚度矩阵表达
8、式同前，但 为,平面桁架及其单元,常见的多梁式简支、连续及悬臂梁桥，采用有限元方法分析时，既可取板梁组合单元，也可取抗扭梁单元。如图所示，此种梁单元的结点位移列阵为结点力列阵为,梁式桥及其单元,梁式桥结构分析,梁及其单元,对于单梁式梁桥，单元坐标系和结构坐标系一致（下图），去掉扭转位移，单元结点位移向量可写为,结点力列阵,虑剪切变形影响时，梁单元刚度矩阵,剪切影响系数；,杆截面沿 轴方向的有效抗剪面积； 材料抗剪模量；,分析悬臂梁桥时，会遇到一端铰接另一端刚接的梁单元，如图所示。此种梁单元的左结点有两个自由度，右结点有一个自由度，单元结点位移列阵结点力列阵,铰接悬臂梁,铰接悬臂梁单元,单元刚度
9、矩阵,刚架桥结构分析,空间梁单元是分析刚架桥的常用单元，如图所示，单元两端各有6个自由度,结点位移列阵,空间梁单元,结点力列阵,单元刚度矩阵,对称,考虑剪切变形影响时，其单元刚弯矩阵,对称,对 、 轴方向的剪切影响系数、 杆截面沿 、 轴方向的有效抗剪面积,、 、 是在梁主形心惯性平面（ 平面）上任取一点，该点在结构坐标系中的坐标且,单梁式刚架桥可按平面刚架进行分析，如图所示，单元节点位移列阵 结点荷载列阵,刚架桥及其单元,在结构坐标系中，单元刚度矩阵亦可写为,采用同样方法，亦可考虑剪切变形的影响。,薄壁箱梁桥结构分析在初等梁理论中，计入翘曲变形、剪力滞及畸变影响后，发展起来的薄壁梁解析理论能
10、合理地反映薄壁箱梁结构的固有变形特性。本节以单箱室对称截面箱形梁为对象，建立结构空间分析的刚度矩阵及其求解方程。,薄壁箱梁断面及分析采用的坐标系,（1）位移模型及平衡方程,节点位移列阵,截面形心位置；截面剪切中心位置；截面畸变中心位置；形心位置 沿 方向（梁轴方向）位移；剪切中心位置 在 方向（横向）位移；剪切中心位置 在 方向（竖向）位移；分别为断面绕三坐标轴的角位移；扭转翘曲位移；畸度角； ，畸变翘曲位移；上翼板最大相对剪切转角位移差。,由于翘曲和剪滞位移只在轴向产生，故薄壁箱梁的断面位移模型可写为,断面内任意点（ ）在坐标三个方向上的线位移； 或 所产生的三个方向位移函数； 产生的轴向位
11、移函数,单元平衡方程为,由弯曲变形分析给出；,由扭转变形分析给出；,由畸变分析给出,直线梁的弯、扭变形互不耦联，可分别讨论,（2）弯曲变形刚度,弯曲变形刚度方程,单元刚度系数,翼板局部 坐标，其原点除悬臂板取在悬臂 端外，其余均取板中点，且方向与 轴一致； 翼板修正系数，可根据试验或解析取得；,除平面 内的力素外，在平面 各力素如下,（3） 扭转变形刚度,扭转变形刚度方程,刚度系数 为,（4） 畸变刚度,复杂组合截面桥梁结构分析的虚拟层合单元上世纪90年代初，浙江大学徐兴教授从8-20节点三维实体等参元出发，直接引进基本假定，构造了一系列退化的单元，形成了退化单元系列：中厚板单元Kirchho
12、ff板单元膜单元空间梁单元平面梁单元等它们均是协调单元，单元自由度数与已有相应的单元相同。 其突出的优点是单元列式简单划一， 各类退化单元间及实体单元连结十分方便后来发展了虚拟层合单元对于层合结构（钢与concrete）复杂的箱形、T形结构 的总体分析十分简单有效，计算精度能够满足工程需要。大大提高了复杂组合结构的静、动力和非线性分析的计算效率。,1） 经典的三维实体等参元,一般的实际问题都是空间问题，解决问题的方法就是建立用三维坐标描述的空间模型进行求解。描述空间问题最简单的单元是四面体，但是一个空间区域分割一些四面体小区域非常困难，甚至有些使人难以想象，如果用六面体来分割空间区域就能清楚地
13、区分各个六面体之间的相互关系，因此用六面体来进行有限元分割是最方便的。空间三维等参元常用的是八节点二十节点的六面体，其中八节点六面体的形状完全由其八节点的位置或坐标所决定，其棱边是直线，其侧面是由两族直线所构成的直纹面，所以其计算精度和逼近物体的弯曲边界有时显得不够理想，二十节点六面体空间等参元能很好地满足计算精度和逼近物体的弯曲边界的要求，对空间问题通常是最有效的单元，而十二节点、十六节点六面体空间等参元是空间八节点等参元在一个或两个方向提高了精度,820结点等参元母单元,820结点等参数单元,实际单元坐标与母单元坐标之间的关系可表示为,形函数,记三维等参元的节点位移矢量为,那么单元内任一点
14、的位移可表示为,按几何关系可得应变计算式,有下列关系,Jacobi矩阵,本构关系,弹性矩阵,三维等参元的刚度矩阵可分成 个子矩阵，典型的子矩阵,将单元体积力 等效到节点上的等效节点力为,将单元的表面力 等效到节点上的等效节点力为,Jacobi行列式的值,（2）退化的实体单元,经典的板壳单元都是根据板壳理论构造出来的，而经典板壳理论则是一般的三维弹性理论根据板壳结构特殊的几何形状引入一定的简化假定后得到的，因此可以认为板壳理论是一种特定条件下简化的三维弹性理论。从三维弹性理论直接导出的是三维实体等参元。由此不难看出，板壳单元其实是一种特定条件下的简化的三维实体等参元，只要在三维实体等参元中引入必
15、要的简化的假定即可发展成由三维实体等参元退化的板壳单元，如图所示，称之为退化的实体单元。,（a）相对位移的引入 如图所示的16节点板壳单元，每个节点有 、 、 三个自由度，共48个自由度。单元坐标和位移插值形函数和三维实体单元相同。考虑到扁平单元会使刚度矩阵病态，采用R.D.Wood的建议，用相对位移的办法克服。记16节点三维等参元的节点位移矢量为,16节点板壳单元,引入相对位移后，单元节点位移矢量改为,（b）Reissner厚板单元,板的弹性理论是三维弹性理论的退化形式，我们在写出Reissner板的弹性本构关系时仍保留三维弹性理论的形式，为方便起见，取坐标 方向为板法线方向，根据Reiss
16、ner板理论的假定 ， ，因此可以忽略 不计，有,即 为不独立的应变分量，对上式沿厚度方向积分，得相对挠度,假定,约束 后16节点的单元自由度数从48降至40，与8节点40自由度厚壳单元相同，但在所有自由度中没有转角自由度而只有位移自由度，这样产生的单元，可以方便地与其它单元连接，而且有限元列式更加简单统一。 如果引入中面不伸长的假定,又将约束 自由度，单元变成16节点24自由度厚板单元，与8节点24自由度厚板元相同。为了与三维单元的形式一致， 和 的约束也可用罚系数的方法来实现。在三维弹性应力应变关系中引入一个罚系数 ，当计算刚度矩阵时， 取一大数，一般可取1000，使得 ，当计算应力时，取
17、 =1或 =0，使 这样在三维弹性理论中，引入了Reissner板的假定，将三维弹性理论退化成Reissner板理论，具体的Reissner板的应力应变关系为,（c）Kirchhoff板单元 根据Kirchhoff板理论假定， ，即薄板横向的剪切刚度无限大，为此对相应的刚度系数进行修正，即乘以一个大数 ，一般取 =1000。此时应力应变关系修正为,其它约束处理同Reissner板,（d）薄膜单元 根据类似分析如果引入约束,可得到16节点24自由度膜单元,（e）单元刚度矩阵,上述分析表明，通过修正应力-应变关系和约束一部分相对位移可引入Reissner板、Kirchhoff板和膜的理论的基本假定
18、。简单比较可见Reissner板、Kirchhoff板和膜结构的应力-应变关系扩阶后与三维弹性问题相似，因此板、膜单元的元素矩阵和三维块体等参元元素矩阵的具有完全相同的形式。（f）相对位移引入后刚度矩阵的修改 考虑如下形式的单元平衡方程,作变换,则单元平衡方程变为,整理得,对于一般的壳问题，上述推导在以法向 方向的局部坐标系内仍然成立。适当的坐标变换可把上述推导推广到一般壳单元，也可以得到一系列的正交曲线坐标系下的壳单元。采用类似的方法，可以从平面单元退化得到平面梁单元。,（3）三维梁单元,在12-20节点三维等参单元中，引入梁的基本假设，便可得到三维梁单元。它可以用以分析各种截面形状（包括变
19、截面的）的空间梁的弯曲、扭转，也能很方便地与三维块体单元、三维板壳单元连接，以解决复杂桥梁结构分析问题。 根据梁的几何特点引入以下假定： 横向正应力相对于其他应力是小量，可以忽略。即 由假设可知 ， 不独立， ， 也不独立，且为小量，也应约束掉。 如果不考虑剪切变形，则还有 其中， 为梁的轴线方向。考虑横向剪切变形的梁的应力应变关系可以表示为,不考虑横向剪切变形的梁的应力应变关系可以表示为,与一维梁单元比较，不考虑扭转翘曲的梁单元每个节点有6个自由度， 。矩形截面三维梁单元，每个截面4个节点，每个节点3个自由度 ，共12个自由度。根据假定,令,平截面假定有,共有6个约束方程，故每个截面也只有6
20、个自由。与一维单元相同。除应力应变关系略有不同外，单元的元素矩阵相同，同样可以构造虚拟的层合的梁单元。 可以方便地分析杆件的约束扭转问题,（4） 虚拟层合单元,由不同材料组成的桥梁结构（如结合梁、钢筋混凝土结构、钢管混凝土、钢箱混凝土等）的总体分析是一个比较烦琐的力学问题，目前对这类结构的有限元分析常采用两种方法 （a）用三维实体单元对桥梁结构进行细致的离散。这一方法的优点是能够准确地描述桥梁的几何形状，它的缺点是庞大的计算量对总体分析而言是一种浪费 （b）另一种方法则是把结构简化为杆、梁、板、壳或它们的组合结构。这种方法的优点是计算量少，但很难描述复杂桥梁结构的实际几何特性，特别是变截面主梁
21、和有中空的区域箱梁，因此其结果往往不能反映桥梁的整体特性。 如何建立一个能描述结构几何形状、受力特征的简洁有效的有限元模型是整体分析的关键。 （1）层合板壳单元 在上节三维等参元的单元刚度和单元外力计算公式中，我们可以看出这些计算都是在单元内的积分，如果将区域积分用一些小区域（m个）的积分之和来替代，或者说将区域积分分解成一些小区域的积分，如,用上可对八节点二十节点空间三维等参实体单元进行改进。由于同一单元中可能包含m个不同的材料区域，单元元素矩阵的积分按m个不同的材料区域分区进行，为,不失一般性，假定每种材料区域可以由8-20个单元内节点描述。每个单元内节点可由该节点在母单元中的坐标表示。记
22、第 个材料区域第 个节点的母单元坐标为 ，则材料区域中任意点的母单元坐标为,、 描述第 个材料域的单元内节点数目。,则单元的元素矩阵可改为,材料分区数；区域内坐标变换矩阵的Jacobi行列式的值。在每个材料区域采用高斯积分，有,分别为一个材料区域内的各个方向的高 斯积分点数目；高斯积分点的权系数。,（2）虚拟层合单元 对图所示的一矩形箱梁，如用传统有限元分析，为了反映箱梁有中空的区域的结构特征，划分单元的必须采用相当多的实体单元来离散箱梁结构如图a），如果将该箱梁划分成三个经典的二十节点空间三维等参元如图b），那么箱梁的中空结构特征就描述不出来了。,a,b,悬臂矩形箱梁,用上述的分区积分的办法
23、，将单元积分区域分成两个区域 （a）有真实材料的区域（顶板、底板和腹板） （b）没有材料的区域（中空区域） 在这个中空区域中由于没有材料，它的积分值将是零，因此单元的积分只要在有材料的区域内积分就可以了，这样就可以将箱梁有中空区域的复杂结构整体特征反映出来了。 再进一步分析如果有材料的区域（顶板、底板和腹板）有不同的材料特性（弹性模量、质量密度），还可以分为不同材料特性参数的区域（如顶板、底板与腹板的材料特性参数不同）的积分 没有材料的区域（中空区域）可以认为是材料特性（弹性模量、质量密度）为“零”的材料。 将单元的积分区域人为地分为几个小的积分区域，在每个小的积分区域内有不同的材料特性参数，
24、包括“零”材料特性参数，此概念亦可在虚拟段上，无论虚拟层，还是虚拟段，或者二者兼有，均称为虚似层合单元。这就改进了原来的空间实体单元，达到用较少段单元来描述复杂空间结构整体特征的要求，大大的提高有限元的效率。,有虚拟区域单元示意 真实节点 虚拟节点,（3）虚拟三维层合板壳单元 图为一典型的虚拟层合板壳单元，在该单元中，母单元的边界定义为 、 。 的表面为层合板壳底面， 的表面为层合板壳顶面， 和 之间分为 层，底面、每层界面和顶面的 坐标由底到顶依次为 ；同理，在每一层中，对坐标 也类似的边界及界面定义。为保证在计算单元刚度矩阵、单元质量矩阵和应力时，分层或分层段高斯积分简单易行，必需注意使各
25、层或各段的界面坐标值 及 为常数，该单元与母单元间的变换关系为,单元位移插值模式为,单元刚度矩阵元素,为层数， 为段数,为在每层及层中的每一段采用高斯积分，将上式进行线性变换,（5）桥梁结构的虚拟层合单元建模,（a）肋梁式桥 常见的肋梁式桥梁结构截面形式不外乎T型、带马蹄T形和I字形，由于所采用的材料不同（如组合结构）或配筋不同（混凝土结构）而使得结构的承载能力特性在各个方向上并不相同，表现出各向异性的特性。初步分析时，可按上、下翼板（马蹄）、腹板划层、根据纵向钢筋的疏密程度划段；精细分析时，需将不同性质的材料单独划层或段。 （b）箱梁桥 空心板或箱梁桥是典型的带有中空截面结构，除考虑横、纵截
26、面上材料的不同性质分层外，对空腔部分按虚拟层（段）进行处理,（c）力筋的等效连续化,力筋（钢筋或预应力钢筋）在混凝土中的铺设一般在某一个或几个确定的方向上，对结构整体分析而言，纵向主筋的影响最大，横向主筋对横向变形及内力的贡献较大，分析时，可按正交异性材料处理。而将离散分布的钢筋按下图等效为连续钢筋层,钢筋等效层,小结,（1）有限元分析已经渗透到桥梁结构分析的各个领域，其分析精度亦因所采用的单元形式，单元数量和单元划分情况等不同而有所差异。在大型通用分析软件普级及广泛应用情况下，桥梁结构建模在有限元分析中非常重要，科学合理的建模，不仅可以得到更为精确和期望结果，而且可节约计算时间，提高计算效率
27、。 （2）桥梁结构的恒载内力与施工方法关系密切，变形、内力等有累计、重分布等特点，同一座桥如采用不同的施工方法，其恒载内力差异很大，大多情况下需跟踪分析，活载内力计算时的动态加载非常重要，除桥梁专用分析软件外，通用软件一般不具备此功能，其基本方法可参见文献。 （3）退化单元及虚拟层合单元为桥梁结构分析提供了全新建模思路，具有划时代意义，它不但打通了单元之间连接通道，而且可精确地描述各种复杂桥梁结构几何特征，把握各种力学现象，已在复杂结构分析、动力分析及非线性分析中发挥其独一无二的作用。,本章参考文献,1M.J.Turner,R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp.St
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