1、1不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析一、不等式恒成立问题问题引入：已知不等式 对 恒成立，其中 ，求实数 的取值范围。012ax2,0aa分析：思路（1）通过化归最值，直接求函数 的最小值解决，即 。1)(xf 0)(minxf思路（2）通过分离变量，转化到 解决，即 。)(2xain21a思路（3）通过数形结合，化归到 作图解决，即 图像在 的上方。122xyxy小结：不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：（1）若不等式 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 的下界大于 A；Afx minAfxf（2）若不等式 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 的上界小于 B
2、。B aBx例 已知 对任意 恒成立，试求实数 的取值范围。2xaf1,0xfx解：等价于 对任意 恒0,成立,又等价于 时, 成立.由于1xmin在 上为增函数,2a则 ,所以min3x03a2、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为 （或 ）恒成立的形式；gfxgfx（2）求 在 上的最大（或最小）值；fxD（3）解不等式 (或 ) ，得 的取值范围。maxgfminfx例 已知函数 时 恒成立，求实数 的取值范围。4,0,4)(2xf 0(a解： 将问题转化为 对 恒成立。xa, tg(t)o 1 图1t=m2令 ，则xg24)(min)(xga由 可知 在 上为减函数，故1)(2)(
3、4,00)4()(mingx 即 的取值范围为 。0a,(注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。例 已知二次函数 ，若 时，恒有 ，求 的取值范围。xaf2)(1,01)(xfa解： ， ， 即1)(xfa2（1）当 时，不等式 显然成立， 0R（2）当 时，由 得xx2 x22， ， 041)2(x0)1(min2a又 ， ， 122)ax202a综上得， 的取值范围为 。aa3、数形结合法（1）若不等式 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数 和图象在函数 图fxg yfxygx象上方；（2）若不等式 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数 和图象在函
4、数 图f f象下方。例 设 , ,若恒有 成立,求实数 的取值范围. xxf4)(2axg134)( )(xgfa分析：在同一直角坐标系中作出 及 的图象 f)(如图所示， 的图象是半圆 )(xf )0(42yx的图象是平行的直线系 。)(xg34ay要使 恒成立，)(xf则圆心 到直线 的距离0,203y x-2-4 yO-43满足 2538ad解得 （舍去)a或例 当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围)21,0(xxalog2a分析：注意到函数 ， 都是我们熟悉的函数，运用数形结合思想，可知要使对一切(xf)(， 恒成立，只要在 内， 的图象在 图象的上方即可显),()g)21,0xga
5、lo)(2)(xf然 ，再运用函数思想将不等式转化为函数的最值问题，即 10a 1)2(gf解：设 ， ，则要使对一切 ， 恒成立，由图象可知 ，2)(xfxalo)( ),(xx10a并且 ，故有 ，g412g， 又 16a016a点评：通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到了简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用。此外，从图象上直观得到 后还需考查区间 右端点 处的函数值的大小。1a)2,0(21x4、变换主元法例 对于满足 的一切实数，不等式 恒成立，试求 的取值范围。40p 342pxx分析：习惯上把 当作自变量，记函数 ，于是问题转化为： 当 时，xxy)( 4,0p恒成
6、立，求 的取值范围解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，y这是相当复杂的。解：设函数 ，显然 ，则 是 的一次函数，要使 恒成立，)34()1(2xpxf 1x)(pf 0)(pf当且仅当 ，且 时，解得 的取值范围是 。0)0f ),3,点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于 的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色。例 对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。1,a 024)(2axax分析：题中的不等式是关于 的一元二次不等式，但若把 看成主元，则问题可转化为一次不等式x在 上恒成立的问题。04)2(x1
7、,4解：令 ，则原问题转化为 恒成立（ ） 。4)2()xaxf 0)(af 1,a当 时，可得 ，不合题意。0(f当 时，应有 解之得 。2x)1(f 31x或故 的取值范围为 。,3,注：一般地，一次函数 在 上恒有 的充要条件为 。)0()(kbxf ,0)(xf0)(f例 设函数 ，对任意 ，都有 在 恒成立，求实数 的取值范围。xah)( 2,1a1h,4b分析：解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数。以本题为例，实质还是通过函数求最值解决。方法 1：化归最值， ；10)(10)(maxhx方法 2：变量分离， 或 ；bxb)(2方法 3：变更主元， ，)(bx,1a简
8、解：对于方法 3：变更主元，原函数可以看成是关于 的函数 ，只需01)(bx即可，因为 ，所以当 时 有最大值 在 恒成0)(max01x2a)(2ma 1,4x立，只需 。当 时， ，得 的取值范围是)2mab41x48)10xbx。47b练习题1、设 ,当 x -1,+ 时，都有 恒成立，求 a 的取值范围。2fxafx解：a 的取值范围为-3，12、R 上的函数 既是奇函数，又是减函数，且当 时，有fx 0,2恒成立，求实数 m 的取值范围。cosin20fmf解：由 得到：2smtg(t)o 1 图 2t=m5因为 为奇函数，故有 恒成立，2cosin2fmffx2cosin2fmf又
9、因为 为 R 减函数，从而有 对 恒成立。设 ，则fx 2sincom0,sit对于 恒成立，210tt,1t设函数 ,对称轴为 .2gmt当 时， ，t0即 ，又 (如图 1)12012当 ，即 时,tm,即 ,142m012 ,又 , (如图 2)1当 时， 恒成立.t22g （如图 3）故由可知： .12m3、若不等式 对 恒成立，实数 a 的取值范围是 。0ax,12a4、若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 x 的取值范围1420xx解： ,3,x5、当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围_,220xmm解析：当 时，由 得 . .(1,)x424x56、若对任意 ,不等式 恒成立，
10、则实数 的取值范围是_R|xaa解析：对 ,不等式 恒成立x|则由一次函数性质及图像知 ，即 。11二、不等式能成立问题tg(t)o 1图 3t=m|yx|yxaaxO6若在区间 D 上存在实数 使不等式 成立，则等价于在区间 D 上 ；xfxAmaxfA若在区间 D 上存在实数 使不等式 成立，则等价于在区间 D 上的BinB例 已知不等式 在实数集 R 上的解集不是空集，求实数 的取值范围_ 解：43xa 1a例 若关于 的不等式 的解集不是空集，则实数 的取值范围是_2xa解：设 .则关于 的不等式 的解集不是空集 在 R 上能成立fx23x3fx,min3即 解得 或2i4afx6a2
11、三、不等式恰好成立问题例 不等式 的解集为 则 _：62axb101|3xab例 已知， 当 的值域是 ，试求实数 的值。afx,f0,a解：是一个恰成立问题,这相当于 的解集是 .2xaf1,x当 时，由于 时， ，与其值域是 矛盾，0a1x223fxx0,当 时， 是 上的增函数，2af1,所以 的最小值为 ，令fx1f303fa不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习1、若不等式 对任意实数 x 恒成立，求实数 m 取值范围21310mxm解： 3,2、已知不等式 对任意的 恒成立，求实数 k 的取值范围26kxxR7解： 2,103、已知函数 2()3fxa，（1）在 R 上 恒成立，
12、求 的取值范围。（2）若 2,x时， ()0fx恒成立，求 a的取值范围。（3）若 时， 2恒成立，求 的取值范围。分析：（1） ()yfx的函数图像都在 X 轴上方，即与 X 轴没有交点。略解： 2243410aa62a（2） ()3fx，令 ()fx在 ,上的最小值为 ()ga。 当 a，即 4时， ()2730gafa 73 又 4 不存在。 当 2，即 时，2()04f62a 又 4a 4a 当 ，即 4时， ()270gafa 7 又 4a 7 总上所述， 72。（3）解法一：分析：题目中要证明 xf)(在 ,上恒成立，若把 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间 ,时恒大
13、于等于 0 的问题。略解： 2()32fxa，即 2()10fxa在 2,上成立。 2410 a()20fa或 25综上所述， 25。解法二：（利用根的分布情况知识）当 2a，即 4时， ()32gafa 54,3 a不存在。228当 2a，即 4a时，2()34agf， 22a4当 2a，即 4时， ()27gafa， 5 4a综上所述 5。说明：此题也可以利用参数分离法。4、对于满足 的所有实数 p,求使不等式 恒成立的 x 的取值范围。2p212xp解：不等式即 ,设 ，则 在-2,2上恒大于 0，故2110xx1fxfp有： 或2043312f x 或或 35、已知不等式 对任意实数
14、恒成立，求实数 的取值范围。20xa2,3xa答案： 0a6、对任意的 ，函数 的值总是正数，求 的范围,24fax解： ,47、 若不等式 在 内恒成立，则实数 m 的取值范围。2log0mx1,2答案： 1,68、不等式 在 内恒成立，求实数 a 的取值范围。4ax0,3x解：画出两个凼数 和 在y40,3x上的图象如图知当 时 ，3xa当 ， 时总有 所以 。3a0,4x39、不等式 有解，求 的取值范围。2kxk xy0 3 axy9解：不等式 有解 有解 有解 ，所以 。20kx21kx21kx2max1k,2k10、 对一切实数 x，不等式 恒成立，求实数 a 的范围。32xa 若
15、不等式 有解，求实数 a 的范围。 若方程 有解，求实数 a 的范围。32xa解： 5a5,11、若对任意的实数 x， 2sincos20kx恒成立，求 k的取值范围。分析：这是有关三角函数的二次问题，运用到三角函数的有界性。解法一：原不等式化为 2c1令 costx，则 1t，即 22() 1ftkttk在 ,t上恒大于 0。（1）若 k，要使 0，即 ()0f， 不存在（2）若 ，若使 ()ft，即 20kk 2k 12k（3）若 k，要使 ，即 1f，由（1） 、 （2） 、 （3）可知， 2k。解法二： 2()0ftt，在 ,上恒成立。 2101kk ()1fk或 2k由，可知， k。
16、12、 （1）若关于 x的不等式 02ax的解集为 ),(，求实数 a的取值范围；（2）若关于 的不等式 3的解集不是空集，求实数 的取值范围。.w.w.k.s.5.u.c.o.m10解：（1）设 axf2.则关于 x的不等式 02ax的解集为 ),(0xf在,上恒成立 0minf，即 ,4minf 解得 4（2）设 axf2.则关于 x的不等式 32ax的解集不是空集 3xf在 ,上能成立 3minf，即 ,4minaf 解得 6或 2.13、设 aR，二次函数 2().fx若 ()0fx的解集为 A， |13,BxAB，求实数 的取值范围。分析：此题等价于二次不等式 在 1,3上有解（能成
17、立问题） 。2a解：(1) 当 0a时,因为 fx的图象的对称轴 0，则对 ,x， 1f最大，mx120.2.ff(2) 当 时, max,13在 f或 3f实现，由 76ff,则 6707a于是，实数 a的取值范围是 ,2,这个解法的关键是用函数思想指导，学会用函数和变量来思考。14、已知定义在区间 上的两个函数 和 ，其中 （ ） ， 0,2()fxg2()4fxa1 2()1xg（1 ）求函数 的最小值 ；()yfx()ma（2 ）若对任意 、 ， 恒成立，求 的取值范围12,21)fa解：（1）由 ，得 6 分2()4(4fx241,()8.am （2 ） ，当 时， ，1gxx0,3
18、x又 在区间 上单调递增（证明略） ，故 9 分()0,2 4()0,g由题设，得 ，故 或 12 分2min1ax()()fxg2,43 28,3a解得 为所求的范围 14 分613a1115、已知函数的定义域为 ，对任意实数 、 ，都满足 ，当 时 R1x2 )()(2121xffxf0)(xf（1）判断函数 的奇偶性，单调性；)(xf（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。20 0)cos4()3cosmff m16、已知函数 ()fx是定义在 1,上的奇函数，且 (1)f，若 ,1,ab， 0ab，有 ()0fab，（1）证明 ()f在 ,上的单调性；（2）若 21xma对所有 1
19、,a恒成立，求 m的取值范围。分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中出现了 3 个字母，最终求的是 m的范围，所以根据上式将 当作变量， 作为常量，而 x则根据函数的单调性求出 ()fx的最大值即可。（1）简证：任取 12,x且 12，则 21,x21()0fxf1212()0xff 又 ()fx是奇函数212()fff在 ,上单调递增。（2）解： 1xma对所有 1x， ,1a恒成立，即af， ax()f 220mma12即 2()0gam在 1,上恒成立。 (1)20ga 1212。高考真题全接触：（2009 年，理 11）当 ，不等式 成立，则实数 的取值范围是_时10xkx
20、2sink1k，（2006 理，12）三个同学对问题“关于 x的不等式 325xa在 1,上恒成立，求实数 a的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” 乙说：“把不等式变形为左边含变量 x的函数，右边仅含常数，求函数的最值” 丙说：“把不等式两边看成关于 的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，则 a的取值范围为_解析：关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映设 2325,fxxgxa.甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，设 232,f其解法相当于解下面的
21、问题：对于 12,1,x,若 12fxg恒成立,求 a的取值范围.所以，甲的解题思路与题目 , fgx恒成立,求 a的取值范围的要求不一致。因而, 甲的解题思路不能解决本题.按照丙的解题思路需作出函数 2325fx的图象和 gx的图象。然而，函数 fx的图象并不容易作出。由乙的解题思路，本题化为 fax在 1,2上恒成立，等价于 1,2x时， minfax成立由 25fx在 5,时，有最小值 0，于是 a.13（2008 理，19）已知函数 。|1()2xf(1)若 ，求 的值。()2fx(2)若 对于 恒成立，求实数 的取值范围。()0tmft1,tm【出题背景：本题考查函数的概念、简单指数方程的解法及含字母系数的不等式的解法。 】解：（1）当 时， ；当 时， 。x()fx01()2xf由条件可知 ，即12x2xx解得 ，x2log(1)x0,（2）当 时， ，即 。12t0t tttm24(1)()tt， 。t2()t， ，,t17,5t故 的取值范围是 。m5,)
