1、圆周运动实例分析与临界问题【教学要求】1知道非匀速圆周运动的特点；2掌握竖直平面内的圆周运动的两种典型情况，会分析其临界条件。3会运用圆周运动的有关知识分析解决实际问题。【知识再现】一、火车转弯问题由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心力就很大如果铁轨内外侧一样高，则外侧轮缘所受的压力很大，容易损坏；实用中使_略高于_，从而_和_ 的合力提供火车拐弯时所需的向心力。铁轨拐弯处半径为 R，内外轨高度差为 H，两轨间距为 L，火车总质量为 M，则：(1)火车在拐弯处运动的“规定速度 即内外轨均不受压的速度vp=_；(2)若火车实际速度大于 vp，则_轨将受到侧向压力；(3)若火车实际速度小于
2、vp，则_轨将受到侧向压力。 二、 “水流星”问题绳系装满水的杯子在竖直平面内做圆周运动，即使到了最高点杯子中的水也不会流出，这是因为水的重力提供水做圆周运动的向心力(1)杯子在最高点的最小速度 vmin=_(2)当杯子在最高点速度为 vvmin时，杯子内的水对杯底有压力，若计算中求得杯子在最高点速度 v 时，杆对小球的作rgr用力为拉力，方向竖直向下，大小随小球过最高点时速度的增大而增大。故答案应为 A、B。解答竖直面内的圆周运动问题时，首先要搞清是绳模型还是杆模型，在最高点绳模型小球的最小速度是 ；而杆模型小球gr在最高点的最小速度为零，要注意根据速度的大小判断是拉力还是支持力。知识点二
3、物理最高点与几何最高点如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动时，C 为最高点，D 为最低点，C 点速度最小，D 点速度最大。但是若加水平向右的电场E，小球带电量为+q，则在 A点速度最小，在 B点速度最大，小球在A点时重力与电场力的合力指向圆心，小球在 B点时，重力与电场力的合力沿半径向外，这与只有重力时 C、D 两点的特性相似。我们把 A、B 两点称为物理最高点和物理最低点，而把 C、D 两点称为几何最高点和几何最低点。【应用 2】 （淮阴中学 08届高三测试卷）如图所示，细线一端系住一质量为 m的小球，以另一端 o为圆心，使小球在竖直面内做半径为 R的圆周运动。若球带正电 q，空间有竖直向上
4、的匀强电场 E，为使小球能做完整的圆周运动，在最低点 A小球至少应有多大的速度?导示: 求解本题的关键是找出带电粒子在复合场中做圆周运动的“等效最高点”以便求出小球在“等效最高点”的临界速度，进一步求出小球在最低点 A的速度由于 m、q、E 的具体数值不详，故应分别讨论如下： (1)若qEmg，则等效重力场的方向向上，等效重力加速度： g=（Eq-mg）/m在该等效重力场中小球轨迹“最高点” （实际为问题中的最低点即 A点）的临界速度vB= =RgmEq)(3)若 qE=mg，则等效重力场消失，小球在竖直面内做匀速圆周运动，能使小球做完整圆周运动的条件是 vB 0。该类题的关键是求出等效重力
5、mg，找出等效重力场中的“等效最高点”物理最高点，在“等效最高点”的速度 v=Rg类型一 水平面内的临界问题【例 1】如图所示，两绳系一个质量为 m=01 kg的小球。两绳的另一端分别固定于轴的 A、B 两处，上面绳长 L=2 m，两绳都拉直时与轴夹角分别为 300和 450。问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧?(g 取 10m/s2) 导示: 两绳张紧时，小球受力如图所示。当 由 O逐渐增大时，可能出现两个临界值。(1)BC恰好拉直，但 F2仍然为零，设此时的角速度为 1，则有Fx=Fsin300=m 12Lsin300 Fy=Fcos300-mg=O 代入数据得， 1=2.40rad/
6、s(2)AC由拉紧转为恰好拉直，但 F1已为零，设此时的角速度 2，则有Fx=F2sin450=m 22Lsin300 Fy=F2cos450-mg=O 代入数据得， 2=3.16rad/s 答案：2.40rad/s3.16rad/s1、要会用极限分析法判定物体可能处的状态，进而正确受力分析。2、要注意确定物体做圆周运动的圆心和半径。3、只要物体做圆周运动在任何一个位置和状态都满足 F 供 =F 需 建立该动力关系方程是解决圆周运动问题的基本方法。类型二 圆周运动中有关连接体的临界问题【例 2】如图所示，匀速转动的水平圆盘上，放有质量均为 m的小物体 A、B， A、B 间用细线沿半径方向相连，
7、它们到转轴距离分别为 RA=20cm，R B=30cm。A、B 与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求：(1)当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度 0；(2)当 A开始滑动时，圆盘的角速度 ；(3)当即将滑动时，烧断细线，A、B 状态如何?导示: (1)当细线上开始出现张力时，表明 B与盘间的静摩擦力已达到最大，设此时圆盘角速度为 0，则是 kmg=mrB 02解得： =3.7rad/sB0r/kg(2)当 A开始滑动时，表明 A与盘的静摩擦力也已达到最大，设此时盘转动角速度为 ，线上拉力为 FT则，对 A：F fAm-FT=mrA 2对 B：F fBm+FT=mrB 2又：F fAm
8、=FfBm=kmg解得 =4rad/s。(3)烧断细线，A 与盘间的静摩擦力减小，继续随盘做半径为rA=20cm的圆周运动，而 B由于 FfBm不足以提供必要的向心力而做离心运动。答案：(1) 3.7rad/s (2) 4rad/s (3)A做圆周运动，B 做离心运动1、利用极限分析法的“放大”思想分析临界状态。认清临界情景和条件，建立临界关系是解决此类问题的关键。2、圆周运动中的连接体加速度一般不同，所以，解决这类连接体的动力学问题时一般用隔离法。但也可用整体法来求解。1 （07 届广东省惠阳市综合测试卷三）铁路转弯处的弯道半径 r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内轨高度差 h的
9、设计不仅与 r有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率。下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径 r及与之相应的轨道的高度差 h。弯道半径r/m660330220165132110（1）根据表中数据，试导出 h与 r关系的表达式，并求出当r=400m时，h 的设计值。（2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧面压力，又已知我国铁路内外轨的距离设计值为 L=1.435m，结合表中数据，求出我国火车的转弯速率 v（路轨倾角 很小时，tgsin） 。（3）随着人们的生活节奏加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求，为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速改造，这就要求铁路
10、转弯速率也需提高，请根据上述高处原理和上表分析，提速时应采取怎样的有效措施？（g 取 9.8m/s2）2 （东台市 2008届第一次调研）一内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为 R（比细管的半径大得多） 在圆管中有两个直径略小于细管内径相同的小球（可视为质点） A 球的质量为m1，B 球的质量为 m2它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为 v0设 A球运动到最低点时，B 球恰好运动到最高点，重内外轨高度h/m0.050.100.150.200.250.30力加速度用 g表示（1）若此时 B球恰好对轨道无压力，题中相关物理量满足何种关系？（2）若此时两球作用于圆管的合力为
11、零，题中各物理量满足何种关系？（3）若 m1=m2=m ，试证明此时 A、B 两小球作用于圆管的合力大小为 6mg，方向竖直向下答案：1、 （1）0.075m；（2）v=15m；（3）提速时应采取的有效措施是增大弯道半径 r 和内外轨高度差 h；2、 （1）v 02=4gR；（2） ；（3）A 球受管的支持0)5()(21201gmRv力为 FA，方向竖直向上；设 B球受管的弹力为 FB，取竖直向上为 FB的正方向，根据牛顿第二定律 vFA20R2又 两球受圆管的合力 F 合 =FA+BB，方向竖直向上，联Rmgv2120立以上各式得 F 合 =6mg，方向竖直向上 ，根据牛顿第三定律，A、B两小球对轨道作用力的合力大小为 6mg，方向竖直向下。
