1、2.2 离散系统的时域分析离散系统分析与连续系统分析在于多方面是相互平行的，有许多类似之处。连续系统可用微分方程描述，离散系统可用差分方程描述。差分方程和微分方程的许多求解方法在许多方面是相互对应的。在连续系统分析中，卷积积分具有重要的意义；在离散系统中，卷积和也具有同等重要的地位。连续系统分析与离散系统分析的相似性为读者学习本章节提供了有力条件，不过，读者应该十分注意他们之间存在着的重要差异。在离散系统分析中，激励（输入）用 表示，响应（输出）用 表示，其中()fn()yn为整数；初始状态用 表示，其中 为正常数，通常取 。n0()xn00下面，从离散系统的差分方程（或系统框图）及其求解开始
2、，研究 离散系统的时LTI域分析。2.2.1 LTI 离散系统的响应差分与差分方程与连续时间信号的微分与积分运算相对应，离散时间信号有差分及序列求和运算。设有序列 ，则称 ， ， ， 等为 的位移()fn(2)fn (1)f()fn (2)f ()fn序列。序列的差分可分为前向差分和后向差分。一阶前向差分定义为（2.2-1）()1)(deff一阶后向差分定义为（2.2-2）()()defnfn式中 和 称为差分算子。由式（2.2-1）和（2.2-2 ）可见，前向差分与后向差分的关系为（2.2-3）1ff二者仅位移不同，没有原则的差别，因而它们的性质也相同。本书主要采用后向差分，并简称其为差分。
3、由差分的定义，若有序列 、 和常数 、 ，则1()fn2f1a212 2()()()()()afnfafnf122ff（2.1-4）12()()ff这表明差分运算具有线性性质。二阶差分可定义为 2(n)()()1)()1)def fnfnf（2.2-5）()21)(2)fnffn类似的，可定义三阶、四阶、五阶差分。一般的， 阶差分k（2.2-6）k10()()(1)()kdefkjjffnj式中（2.2-7）!,2.()kjkjj为二项式系数。序列 的求和运算为()fn（2.2-8）()nif差分方程是包含关于变量 的未知序列 及各阶差分方程的方程式，它的一般形式()fn可写为（2.2-9a）
4、,(),(),()0r NFnffnyy 式中差分的最高阶为 阶，称为 阶差分方程。由式（2.2-6）可知，各阶差分均可写成及其各位移序列的线性组合，故上式常写为()y（2.2-9b ）,()1,(),(1),()0ffrn 通常所说的差分方程是指式（2.2-9b）形式的方程。差分方程是具有递推关系的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得差分方程的数值解。例 2.2-1 若描述某离散系统的差分方程为 ()31)2()(ynynf已知初始条件 激励 ，求 。0,f)yn解：将差分方程中除 以外的各项都移到等号右端，得()312()(ynynf对于 将已知初始值 代入上式，得2,0),(
5、)(f类似地，一次迭代可得 3)213)0yy(4)(4f由上例可见，用迭代法求解差分方程思路清楚，便于编写计算机程序，能得到方程的数值解，但它常常不宜得出解析形式（或称闭式）的解。2.2.2 差分方程的经典解一般而言，如果单输入-单输出的 系统的激励为 ，其全响应为 ，那么，LTI()fn()yn描述该系统激励 与响应 之间的关系的数学模型是 阶常系数线性差分方程，它()fn()y可以写为 10()()()NyaanN（2.2-10a）MbfnfbfM式中 ， 都是常数。上式可缩写为(0,2,)i (,1)j(式中 ) （2.2-10b）N00i ji jayfnN1a与微分方程的经典解相类
6、似，上述差分方程的解由齐次节和特解两部分组成。齐次解用 表示，特解用 表示。即()hn()p（2.2-11）hyny齐次解当式（2.2-10）中的 及其各位移项均为零时，齐次方程()f（2.2-12）10()()nyaaynN（2.2-12）的解称为齐次解。首先分析最简单的一阶差分方程，若一阶差分方程的齐次方程为（2.2-13）()它可改写为 (1)yna与 之比等于 表明，序列 是一个公比为 的等比序列，因此()()(n)y()a应有如下形式（2.2-14 ）nyCa式中 为常数，由初始条件确定。C对于 阶齐次差分方程，它的齐次解由形式为 的序列组合而成，将 代入到时n nnC（2.2-12
7、） ，得 1110nnNnNaa由于 ，消去 ；且 ，以 除上式，得00（2.2-15）110Nnaa上式称为差分方程（2.1-10）和（ 2.1-12）的特征方程，它有 个根 ，称为n(1,2)in差分方程的特征根。显然，形式为 的序列都满足式（2.2-12） ，因而它们是式（2.1-Cni10）方程的解。依特征根的不同取值，差分方程齐次解的形式如表 2.2-1，其中 、 、CiDi、 等为待定常数。Aii表 2.2-1 不同特征根所对应的齐次解特征根 齐次解单实根 nC重实根r1210CCrnrnkk一对共轭复根1,2jajbe 或 ，其中cos()i()nDcos()Ajej特解特解的函
8、数形式与激励的函数形式有关，表 2.2-2 列出了几种典型的激励 所对()fn应的特解的 。选定特解后代入原差分方程，求出其待定系数 （或 、 ）等，(n)py iPA就得出方程的特解。表 2.2-2 不同激励所对应的齐次解激励 (n)f 齐次解m所有特征根均不等于 1 时；11mPnP当有 重等于 1 的特征根10nrm r时。na， 当 不等于特征根时；na当 是特征根时；10mnPa， 当 是 重特征根110rrnPa r时。或cos()ni()当所有的特征根均不等于Pcos()in()Qje或 ，其中A=P+jjAeQ全解式（2.2-10）的线性差分方程的完全解是其齐次解与特解之和。如
9、果方程的特征根均为单根，则差分方程的全解为（2.2-16 ）1()()()NnhpipynyCy如果特征根 为 重根，而其余 个特征根为单根时，差分方程的全解为1rr（2.2-17 ）11() ()Nrinnjpi jryny式中系数 、 由初始条件确定。iCj如果激励信号是在 时接入的，差分方程的解适用于 。对于 阶差分方程，0n0nN用给定的 初始条件 就可确定全部待定系数 和 。如果差分方n(),1,()yyN iCj程的特征根都是单根，则方程的全解为式（2.2-16 ） ，将给定的初始条件分别代入到式（2.2-16） ，可得(0),1.,yN（2.2-18）121112(0)(0)()
10、 ()npNNnpyCyC 由以上方程可求得全部待定系数 。(,)i例 2.2-2 若描述某系统的差分方程为（2.2-19）()41)2)nynyf已知初始条件 ， ；激励 。求方程的全解。0()2,0n解：首先求齐次解。上述差分方程的特征方程为 24可解得特征根 ，为二重根，由表 2.2-1 可知，其齐次解122()()()nnhyC其次求特解。由表 2.2-2，根据 的形式可知特解f(),0npyP将 ， 和 代入到式（2.2-19 ） ，得n1(2)py1224()nnnPf上式中消去 ，可解得 ，于是得特解(),04npy差分方程的全解 121,04nnnhpyC将已知的初始条件代入上
11、式，有 21(0)04y12.1由上式可求得 ， ，最后得方程的全解为C（2.2-20）()()(2n04nny自 由 响 应 强 迫 响 应 ，差分方程的齐次解也称为系统的自由响应，特解也称为强迫响应。本例中由于 ，故1其自由响应随着 的增大而增大。n例 2.2-3 若描述某离散系统的差分方程为（2.2-21 ）6()51)(2)(yynf已知初始条件 ， ，激励为有始的周期序列 ，0()10cos02nf,求其全解。解：首先求齐次解。差分方程的特征方程为 26510其特征根为 ， ，方程的齐次解231nnhyC其次求特解。由表 2.2-2 可知，特解cossin2pynPQ其移位序列 11
12、1cssicossin22py PQ(2)(2)(2)cossincossin2pnynPQPQ将 ， ， 代入到式（2.2-21）并稍加整理，得p1p()py n(65)cos65)sin()10cos222nQf由于上式对于任何 成立，因为等号两端的正、余弦序列的系数应相等，于是有01P由上式可解得 ，于是特解（2.2-cosin2cos,n024pyn22）方程的全解 12cosin,032nnphynyC将已知的初始条件代入上式，有 120013y由上式可解得 ， ，最后解得全解12C(2.2-23)cosin32204ny强 迫 响 应自 由 响 应 稳 态 响 应瞬 态 响 应 ，
13、由上式可见，由于本例中特征根 ，因而其自由响应是衰减的。一般而言，如果差分1,2方程所有特征根均满足 那么自由响应将随着 的增大而逐渐衰减趋近in n于零。这样系统称为稳定的系统，这时自由响应也称为瞬态响应。稳定系统在阶跃序列或有始周期序列作用下，其强迫响应也称为稳态响应。2.2.3 零输入响应和零状态响应系统的全响应 也可分为零输入响应和零状态响应。零输入响应是激励为零LTIny时仅由初始状态所引起的响应，用 表示；零状态响应是系统的初始状态为零时，仅x由输入信号 所引起的响应，用 表示。这样 系统的全响应将是零输入响应f fLTI与零状态响应之和，即（2.2-24）xfynyn在零输入条件
14、下，式（2.2-10 ）等号右端为零，化为齐次方程。若其特征根均为单根，则其零状态响应（2.2-25）1NnxxikC式中 为待定常数。i若系统的初始状态为零，这时方程（2.2-10 ）仍是非齐次方程，若其特征根均为单根，则其零状态响应（2.2-26 ）1Nnpiffiyy式中 为待定常数。fiC系统的全响应可分为自由响应和强迫响应，也可分为零输入响应和零状态响应，它们的关系是（2.2-27）111nNnnipxiipfiiyyCy自 由 响 应 零 输 入 响 应 零 状 态 响 应强 迫 响 应式中（2.2-28）11=NnnixiifC可见，两种分解方式有明显的区别。虽然自由响应与零输入
15、响应都是齐次解的形式，但它们的系数并不相同， 仅由系统的初始状态所决定，而 是由初始状态和激励共同xi iC决定。在用经典法分别求解系统的零输入响应和零状态响应时，需要已知各响应的初始值，用以分别确定常数 和 。由式（2.2-25 ）可知，在时刻xiCfi nj（2.2-29）0,12,fyjyjN这时各初始值 中不仅包含有零输入响应的初始值 ，也包含零状态响应的初始xyj值 ，这常常不便区分。为此，如果激励是在 时接入的，通常以fyj 0n描述系统的初始状态。因为在 时，激励尚未接入，显然1,2,yN 零状态响应在这些时刻的值为零，即（2.2-30）0fffy由式（3.1-25）可知，这时（
16、2.2-31）1,2,xxxyyN它们给出了该系统已往历史的全部信息，称其为系统的初始状态。这样，在求解时可分别根据 和 ，利用该系统所满足的差分方程，用迭代,xxyN 1,ff法分别求得零输入响应和零状态响应的初始值 和 ，并xyj 0,12xjN进一步确定系数 和 。xiCfi例 2.2-4 若描述某离散系统的差分方程为（2.2-32）312nynyf已知激励 ，初始状态 ，求系统的零输入响应、,0nf110,2y零状态响应和全响应。解：（1 ） 零输入响应根据定义，零输入响应满足方程（2.2-33）3120xxxynyn由式（2.2-32） ，其初始状态 。11,2xy首先求出初始值 ，
17、式（2.2-33 ）可写为0,xy312xxynn令 ，并将 代入，得0,x，1xxy1323xy式（2.2-34）的特征值为 ，由表 2.2-1，其齐次解12,（2.2-34）12nnxxxyC将初始值代入得 120xx3y可解得 ，于是得该系统的零输入响应12,xxC（2.2-35 ）,0nny实际上，式（2.2-34）满足齐次方程式（ 2.2-33） ，而初始值 ， 也是有该方程0xy1x递推出的，因而直接用 确定待定常数 将更加简便。即在式12xxy， 12C，（2.2-34）中令 ，有,n1204xxyC可解得 ，与前述结果相同。12,xx（2 ） 零状态响应根据定义，零状态响应满足
18、方程（2.2-36 ）32fffynynf和初始状态 。10ff首先求出初始值 ，将式（2.2-37 ）写为,1ffy32fffynnf令 ，并代入 和 ，得0,10ffy,1f（2.2-37 ）3021fffy系统的零状态响应是非齐次差分方程式（2.2-36 ）的全解，分别求出方程的齐次解和特解，得 n121213nnnnfffpffyCyC将式（2.2-37）的初始值代入上式，有120;31ffffffyC可解得 ，于是得零状态响应12,3ff（2.2-38）12,03nnnfy系统的全响应是零输入响应与零状态响应之和，即 111233nnnnxfy自 由 响 应 强 迫 响 应自 由 响
19、 应零 输 入 响 应 零 状 态 响 应（2.2-39）212033nnn，2.2.4 单位序列和单位序列响应单位序列响应当 LTI 离散系统的激励为单位序列 时，系统的零状态响应称为单位序列响应（或n单位样值响应、单位取样响应、单位函数响应） ，用 表示，它的作用与连续系统的冲h激响应 相类似。ht例 2.2-5 ，求 离散系统的单位序列响应 。12ynynfnh解：（2.2-40）f根据单位序列响应 的定义，它应满足方程hn（2.2-41）12nn且初始状态 。将上式移项有0hh令 ，并考虑到 ，可求得单位序列响应 的初始值0,1n1,hn（2.2-42）01201hh（2 ）求 n对于
20、 ，由式（2.2-41）知 满足齐次方程0hn120h其特征方程为 2其特征值 ，得方程的齐次解12,0nnhC将初始值（式 2.2-42）代入，有120h请注意，这时已将 代入，因为方程的解也满足 。由上式可解得0,(1)h 0n。于是得系统的单位序列响应12,3C,0nnh或写为n123n阶跃响应当 LTI 离散系统的激励为单位阶跃序列 时，系统的零状态响应称为单位阶跃响n应或阶跃响应，用 表示。若已知系统的差分方程，那么利用经典法可以求得系统的gn单位阶跃响应 。例 2.2-6 求 系统的单位阶跃响应。12yyfn解：（1）经典法系统的差分方程为12ynynf根据阶跃响应的定义， 满足方
21、程g（2.2-43）g和初始状态 。上式可写为120ngn将 和 代入上式，得初始值0,1201g2g式（2.2-4）的特征根 ，容易求得它的特解 。于是得12,1,02pgn12,0nngC将初始值代入上式，可求得 ，最后得该系统的阶跃响应124,63C1463nng2.2.5 卷积和2.2.5.1 卷积和在 连续时间系统中，把激励信号分解为一系列冲激函数，求出各冲激函数单独作LTI用于系统时的冲激响应，然后将这些响应相加就得到系统对于该激励信号的零状态响应。这个相加的过程表现为求卷积积分。在 离散系统中，可用与上述大致相同的方法进行LTI分析。由于离散信号本身是一个序列，因此，激励信号分解
22、为单位序列的工作很容易完成。如果系统的单位序列响应为已知，那么，也不难求得每个单位序列单独作用于系统的响应。把这些序列相加就得到系统对于该激励信号的零状态响应，这个相加的过程表现为求卷积和。任意离散时间序列 可表示为,21,0fn 10f fnfn1fnfini （2.2-44）i如果 系统的单位序列响应为 ，那么，由线性系统的齐次性和时不变系统的LTIhn移位不变性可知，系统对 。根据系统的零状态线性性质，式（2.2-44）的fii序列 作用于系统所引起的零状态响应 应为fnfy210fyfhnhnfhn1fii （2.2-45）ifi式（2.1-45）称为序列 和 的卷积和。式（2.2-4
23、5）表明， 系统对于任何fnhLTI激励 的零状态响应是激励与系统单位序列响应 的卷积和。fnhn一般而言，若有两个序列 和 ，和式1f2f（2.2-46）12iffni称为 与 的卷积和，也简称为卷积。卷积常用符号“ ”表示，即1n （2.2-47）212defif fni如果序列 是因果序列，即有 ， ，则式（2.2-47）中求和下限1fn01可改写为零，即若 ， ，则（2.2-48）12120iffni如果 不受限制，而 为因果序列，那么式（2.2-47）中，当 ，n 0ni即 时， ，因而求和的上限可改写为 ，即：ifin若 ， ，则20（2.2-49）1212niffi如果 ， 均为
24、因果序列，即：若 ，则120,fnfn（2.2-50）120ifi例 22-7 如 ， ， ， ，求：nf1fn3fn（1） ；（2）fn13f解：（1） 由卷积和的定义式（2.2-46） ，考虑到 得21fki21iifk13iifnni上式中，当 时 ，故求和下限可改写为 0；当 ，即 时0ikiik，因而从 到 的和为零，故求和上限可改写为 ；而在 区间1n 0n，于是上式可写为ii111302ni nnif 显然，上式中 ，故应写为113122nnfn2.2.5.2 卷积和的性质离散信号卷积和的运算也服从某些代数运算规则，= （2.2-51）12fnf1fn即离散序列的卷积和也服从交换
25、律，类似地，二序列的卷积和也服从分配率和结合律，即有（2.2-52）1231213fnfnfnf（2.2-53）如果两序列之一是单位序列，由于 仅当 时等于 1， 时全为零，因而0n有（2.2-54）ifnfnfif即序列 与单位序列 的卷积和就是序列 本身。n将式（2.2-54）推广， 与移位序列 的卷积和f11()i fnifni考虑到交换律，有（2.2-55）11fnf此外还有（2.2-56）22112nnf若 12ff则（2.2-57）1212112nfnffn以上各式中 、 均为整常数，各式的证明和图示与连续系统相似，不多赘述。例 2.2-8 复合系统由两个子系统级联组成，已知子系统
26、的单位序列响应分别为， （ 为常数）求复合系统的单位序列响应 。12,nnhahb,abhn解： 根据单位序列响应的定义，复合系统的单位序列响应 是激励 时系hnf统的零状态响应，即 。fynh令 ，则子系统 1 的零状态响应f11fxnhhn当子系统 2 的输入为 时，子系统 2 的零状态响应亦即复合系统的零状态响应fxk1f fny即复合系统的单位序列响应 12i nihab考虑到当 时 ， 时 以及在 区间0ii0iin=1，以上各式可写为：n当 时ab100innniiahab11nnba当 时 01nnihbb显然上二式在 成立，故得1,nnabab上式中，若 ，则有1,b1nnaa
27、若 ，有最后举例说明时域分析求解 LTI 离散系统全响应的有关问题。例 2.2-9 如图 2.2-9 所示离散系统，已知初始状态 ， ，激励10y126，求系统的全响应 。cos1nfnyn图 2.2-9 离散系统解： 按图 2.2-9，不难写出描述系统的差分方程为12ynynf求零输入响应根据零输入响应的定义，它满足方程20xxx和初始状态 ， 。可推得其初始条件10y16y1023xxx1xxyy差分方程的特征根为 ，故有12,nnxxxyC将初始条件代入，有1203xxxxyC解得 ，得零输入响应12,9,0nxy求单位序列响应和零状态响应根据单位序列响应的定义，系统的单位序列响应 满足
28、方程hn12hnhn和初始状态 。03n系统的零状态响应等于激励 与单位序列响应 的卷积和，即fhn1213nfynhf（2.2-58）13 n由于1nnn112213nnn3nn将它们代入到式（2.2-58） ，得121354139nnnfy 最后得到系统的全响应215412391233nnnxfnyny习题二2.1 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，求系统的零输入响应。(1) “()+5()+6()=(), (0)=1, (0)=1(2) , “()+()=()(0)=2, (0)=02.2 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，求系统的全响应。（1 ） “()+3()+2()=(),
29、 (0)=1, (0)=1， ()=()（2 ） “()+4()+3()=(), (0)=1, (0)=1， ()=5()2.3 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，求系统的零输入响应，零状态响应与系统的全响应。（1 ） “()+4()+4()=()+3(), (0)=1, (0)=2， ()=()（2 ） “()+2()+2()=() (0)=0, (0)=1， ()=()2.4 已知描述系统的微分方程如下，求系统的冲激响应和 h(t)与阶跃响应 g(t)。（1 ） ()+2()=()-()（2 ） ()+2()=()（3 ） “()+6()+8()=()+2()（4 ） ()+6“()+
30、11()+6()=6()+2()2.5 计算下列函数卷积积分（1） 1 ()=(), 2 ()=()（2） 1 ()=2(), 2 ()=()（3） 1 ()=2(), 2 ()=2()2.6 已知（1 ） 1 ()()=(+1)()（2 ） 2 ()()=(1-)()-(1-+1)(-1)求 。 1 ()， 2 ()2.7 已知系统： , 求1()=()()=, 0 2()=(2)(2)2.8 某 LTI 系统，当激励 时，零状态响应为：()=()()=()+()(2)求冲激响应 。()2.9 计算 ()=(1)(2)()(2)2.10 求系统的零状态响应 ()+3()=() 0 ; ()=
31、3()2.11 已知描述某离散时间 LTI 系统的差分方程, 求系统在 作用下的固有响应，强迫()0.5(1)=(), 0, (0)=1 ()=()响应，完全响应。2.12 求系统的零输入响应 ()2(1)+(2)=(), 0, (1)=0,(2)=1(1)a=1/2; (2)a=-1; (3)a=5/42.13 求系统的零状态响应(1) ()14(1)=（ -1） ()(2) ()14(1)=(2)()(3) ()34(1)+18(2)=()2.14 求下列方程描述的离散时间系统的单位脉冲响应(1) ()0.5()=()(2) ()=()(1)(3) ()34(1)+18(2)=()2.15 求系统的差分方程(1) ()=()+(1)(2) ()=(12)()(3) ()=(12)()+(13)()2.16 计算卷积（1 ） 1，2 ，1 1，2，1（2 ） 1，0 ，2 ，0 ，1 1， 0，2 ，0，1（3 ） 1，2 ，1 1， 0， 2， 0， 12.17 计算卷积(1) (3)(4)(2) (12)(2)(1)(3) (2)()(1)2.18 已知离散时间系统的差分方程为()56(1)+16(2)=()+(1)(1)=0, (2)=1, ()=()求全响应
