数值分析作业题（一）.doc

1、第一章 误差与算法1. 误差分为有_模型误差_, _观测误差_, _方法误差_，_舍入误差_, Taylor 展开式近似表达函数产生的误差是_方法误差 .2. 插值余项是插值多项式的 方法误差。3. 0.2499 作为 1/4 的近似值，有几位有效数字？，00.2490.2491,m即031|.|5.510,3mn即23.142875.,7作 为 圆 周 率 的 近 似 值 ， 误 差 和 误 差 限 分别 是 多 少 ， 有 几 位 有 效 数 字 ？ 2133.142853.1459260.126450.10.5有 3 位有效数字.* 有效数字与相对误差的关系4. 利用递推公式计算积分 ,

2、 建立稳110,2.9nxnIed定的数值算法。 11 11111100 0 ,n2,.9nxnxnxnxnIedeedI该算法是不稳定的。因为：1 1()().()!()nnnII I， 1nn105. 衡量算法优劣的指标有_时间复杂度,_空间复杂度_.6. 时间复杂度是指： ， 两个 n 阶矩阵相乘的.算 法 需 耗 费 时 间 的 度 量乘法次数是 , 则称两个 n 阶矩阵相乘这一问题的时间复杂3n度为 .3()O二 代数插值1.根据下表数据建立不超过二次的 Lagrange 和 Newton 插值多项式，并写出误差估计式，以及验证插值多项式的唯一性。x 0 1 4f(x) 1 9 3L

3、agrange:设 012012,4;()()9()3xxfxfxfx则 ， ，对应 的标准基函数 为：i li12000()()()4) (1)x401xxl1(.l2)x因此，所求插值多项式为： 220()().iiPxfxl(3)2()0)(1)(x4)!fRxxNewton:构造出插商表：xi f(xi ) 一 二 三0 1 1 9 8 4 3 -2 -5/2所以, 所求插值多项式为：2001001201()(),(),()()5182.Pxffxxfxx插值余项： 2()0,14(0)(1)(x4)Rxfx2. 已知函数 f(0)=1,f(1)=3,f(2)=7,则 f0,1=_2_

4、, f0,1,2=_1_ )(,00xfxf3. 过 0,1 两节点构造三次 Hermite 插值多项式，使得满足插值条件：f( 0)=1, f (0)=0 , f(1) =2, f (1)=1设 10 01,(2(),()xfxxxfx则 ， ，写出插商表：xi f(xi) 一 二 三0 1 0 1 01 a 1 11 a 1 0 a-1因此, 所求插值多项式为： 2 2200001001012232(),(),(),()(1()1(Pxffxfxxfxx插值余项： 222()0,1,(1)Rxfx4. 求 f(x)=sinx 在a,b区间上的分段线性插值多项式，并写出误差估计式。将a,b

5、区间等分 n 份， ,0,1.,ibahxihnn则插值标准基函数是： 1010 1,(),ixxxlh11101,(), ,1,.,)(ii iii iiiinxxxhl inxxx 11,()0,nnnnxxxlh10sin()iiPxl误差： 211 4)()() ChfxPfR第三章 数据拟合1.已知数据如下：X： -2 -1 0 1 2Y： 0 1 2 1 0求二次多项式拟合函数设所求二次多项式拟合函数为： , 则法方2201Paxa程组为： 5552111023123422iiii iiii iiii ixayxxx 即：0125041834a解之得： 。 。 。 。第四章 数值积

6、分与微分0. 确定系数使得求积公式的代数精度尽可能高)()0()()( 11hfAfhfAdxfh 令： , 求得 A1,A0,A-1 , 验证 2, 34(),.fx1.用梯形、Simpson 公式求 10dxe1010()()22xede2.确定 Gauss 积分 10 10)()()( xfAxfdxf(1) 先求积分区间0，1上带权函数的正交多项式的零点。令 ，由正交多项式性质：2()fxbxc100()dxf解之得：b= c= ， f(x)的零点为：x0, x1 （2）再积分系数。由该积分公式对 1 次、2 次多项式精确成立，令 f(x)=1,x，10101010235xdAx解之得

7、：A0，A1* 复化梯形公式的推导， 积分余项。第五章1.用 Doolittle 分解求解 165827431321x(2)(1)3457)()(8)1023L21035U再用前推和回代解出 x1,x2,x3Chapter 61.方程组 251310843x求：（1）写出 Jacobi 迭代公式、Gauss-Seidal 迭代公式。()()()123()2(1)3410kkkkxxx（2）判断两种迭代公式的收敛性求迭代矩阵的谱半径，判断是否11.求向量和矩阵 1，2， 的范数，x=（2，-3，-1 ，7） T210A2.求 Cond （A） ，751017051()|17289condAACh

8、apter 71.设 X0 0，计算 的迭代公式a1k=0,1,2.)2(1kkkxx证明：（1）该格式二阶收敛（2）格式收敛的充要条件是 1|0ax由题意知，该迭代公式的迭代函数是：，因为()(2)xax1(),()2020xa由定理知，该格式是二阶收敛的。(2).1122(2)()1()kkkkkkkexxaaaax因此，2 210(1)0(1)0k k keaxax设所以，221112 2001()().k kkkkraxxaxxrr210 00(1)|1|kkeaxax2.不用除法运算计算 ，求出迭代公式。c令 ，令 ，则21,xc则 21()fx32()fx由牛顿迭代法： 2 31 321() 20.5(3)kkkkk kkkcfxxxcxxc 因此，迭代格式为： 0 21.75(3),0,12.kkkxxc给定 ODE，写出 EULER 公式，梯形公式，收敛阶。