1、1第 1 讲 函数、不等式中的应用题考情考向分析 应用题考查是江苏高考特色，每年均有考查，试题难度中等或中等偏上命题主要考查学生运用所学知识建立数学相关模型解决实际问题的能力. 与函数、不等式有关的应用题，可以通过建立函数、不等式模型，解决实际中的优化问题或者满足特定条件的实际问题热点一 和函数有关的应用题例 1 某工厂现有 200 人，人均年收入为 4 万元为了提高工人的收入，工厂将进行技术改造若改造后，有 x(100 x150)人继续留用，他们的人均年收入为 4a(aN *)万元；剩下的人从事其他服务行业，这些人的人均年收入有望提高 2x%.(1)设技术改造后这 200 人的人均年收入为
2、y 万元，求出 y 与 x 之间的函数关系式；(2)当 x 为多少时，能使这 200 人的人均年收入达到最大，并求出最大值解 (1) y200 x41 2x% 4ax200 0.02x2 a 3x 20050 x25( a3) 2 (a3) 24.12 500 14其中 100 x150， xN *.(2)当 10025( a3)150，即 1 a3， aN *时，当 x25( a3)时， y 取最大值，即 ymax (a3) 24；14当 25(a3)150，即 a3， aN *时，函数 y 在100,150上单调递增，当 x150 时， y 取最大值，即 ymax3 a4.答 当 1 a3
3、， aN *， x25( a3)时， y 取最大值 (a3) 24；14当 a3， aN *， x150 时， y 取最大值 3a4.思维升华 二次函数是高考数学应用题命题的一个重要模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质跟踪演练 1 某企业参加 A 项目生产的工人为 1 000 人，平均每人每年创造利润 10 万元根据现实的需要，从 A 项目中调出 x 人参与 B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造2利润 10 万元( a0)， A 项目余下的工人每人每年创造利润需要提高 0.2x%.(a3x500)(1)若要保证 A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来 1 000 名工人创造
4、的年总利润，则最多调出多少人参加 B 项目从事售后服务工作？(2)在(1)的条件下，当从 A 项目调出的人数不能超过总人数的 40%时，能使得 A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数 a 的取值范围解 (1)根据题意可得(1 000 x)(10100.2 x%)1 00010，整理得 x2500 x0，解得 0 x500，最多调出的人数为 500.(2)由Error! 解得 0 x400.10 x(1 000 x)(10100.2 x%)(a3x500)对 x0,400恒成立，即 10ax 1 0001020 x10 x2 x2%恒成立，3x250即 ax
5、 x1 000 对于任意的 x0,400恒成立x2250当 x0 时，不等式显然成立；当 0 x400 时，a 1 1.x250 1 000x 1250(x 250 000x )令函数 f(x) x ，250 000x可知 f(x)在区间0,400上是减函数，故 f(x)min f(400)1 025，故 1 .x250 1 000x 5110故 0 a ，所以实数 a 的取值范围是 .5110 (0， 5110热点二 和不等式有关的应用题例 2 秸秆还田是当今世界上普遍重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，
6、花137 600 元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入 6 万元(已减去所用柴油费)；该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用 y(元)与使用年数 n 的关系为 y kn b(n2，且 nN *)，已知第二年付费 1 800 元，第五年付费 6 000 元(1)试求出该农机户用于维修保养的费用 f(n)(元)与使用年数 n(nN *)的函数关系式；3(2)这台收割机使用多少年，可使年平均收益最大？(收益收入维修保养费用购买机械费用)解 (1)依题意知，当 n2 时， y1 800；当 n5 时， y6 000，即Err
7、or! 解得Error!所以 f(n)Error!(2)记使用 n 年，年均收益为 W(元)，则依题意知，当 n2 时， W60 000 137 6001 400(23 n)1 000( n1)1n60 0001n137 600 1 400n 1n 22 1 000n 160 000 (137 200700 n2300 n) 1n60 300 60 3002 40 700，(700n137 200n ) 700n137 200n当且仅当 700n ，即 n14 时取等号137 200n所以这台收割机使用 14 年，可使年均收益最大思维升华 运用基本不等式求解应用题时，要注意构造符合基本不等式使
8、用的形式，同时要注意等号成立的条件跟踪演练 2 小张于年初支出 50 万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出 6 万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出 2 万元，假定该车每年的运输收入均为 25 万元小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第 x年年底出售，其销售收入为(25 x)万元(国家规定大货车的报废年限为 10 年)(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？(利润累计收入销售收入总支出)解 (1)设大货车到第 x 年年底的运输累计收入与总支出的差为 y 万元，则 y
9、25 x6 x x(x1)50,0 x10， xN *，即 y x220 x50,0 x10， xN *，由 x220 x500，解得 105 x105 ，而 2105 3，2 2 2故从第三年开始运输累计收入超过总支出(2)因为利润累计收入销售收入总支出，所以销售二手货车后，小张的年平均利润为 y(25 x) ( x219 x25)y1x 1x419 ，(x25x)又 19 192 9，(x25x) x25x当且仅当 x5 时等号成立答 第 5 年年底出售货车，获得的年平均利润最大热点三 和三角函数有关的应用题例 3 (2018镇江期末)如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆 AC 与 B
10、D 焊接而成，焊接点 D 把杆 AC 分成 AD， CD 两段，其中两固定点 A， B 间距离为 1 米， AB 与杆 AC 的夹角为 60，杆 AC 长为 1 米，若制作 AD 段的成本为 a 元/米，制作 CD 段的成本是 2a 元/米，制作杆 BD 成本是 4a 元/米设 ADB ，则制作整个支架的总成本记为 S 元(1)求 S 关于 的函数表达式，并求出 的取值范围；(2)问 AD 段多长时， S 最小？解 (1)在 ABD 中，由正弦定理得 ，ABsin BDsin 3 ADsin(23 ) BD ， AD ，32sin 3cos 2sin 12则 S a 2 a (3cos 2si
11、n 12) 1 (3cos 2sin 12)4a a ，(32sin ) (43 3cos 2sin 32)由题意得 .( 3， 23)(2)令 S a 0，设 cos 0 .31 4cos 2sin2 14 ( 3， 0) 0 ( 0， 23)cos (14， 12) 14 ( 12， 14)S 0 S 极小值 5当 cos 时， S 最小，此时 sin ，14 154AD .3cos 2sin 12 5 510思维升华 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，用三角函数知识来求解跟踪演练 3 某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯
12、形的彩门 BADC(如图)设计要求彩门的面积为 S(单位：m 2)，高为 h(单位：m)( S， h 为常数)彩门的下底 BC 固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为 ，不锈钢支架的长度和记为 l.(1)请将 l 表示成关于 的函数 l f( )；(2)问当 为何值时 l 最小，并求最小值解 (1)过 D 作 DH BC 于点 H，如图所示则 DCB ， DH h，(0 2)则 DC ， CH .hsin htan 设 AD x， BC x .2htan 因为 S h，则 x ，12(x x 2htan ) Sh htan 则 l f( )2 DC AD h .Sh
13、( 2sin 1tan )(0 2)(2)由(1)可知， l f( ) h ，Sh ( 2sin 1tan )则 f( ) h h ，( 2cos sin2 1sin2 ) 1 2cos sin2令 f( ) h 0，得 .1 2cos sin2 36 (0， 3) 3 ( 3， 2)f( ) 0 f( ) 极小值 所以 lmin f h .( 3) 3 Sh1某学校有长度为 14 m 的旧墙一面，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形、面积为126 m2的活动室，工程条件是：建 1 m 新墙的费用为 a 元；修 1 m 旧墙的费用是 元；a4 拆去 1 m 旧墙所得的材料，建 1 m 新墙的费
14、用为 元，经过讨论有两种方案：a2(1)利用旧墙的一段 x m(00，( ) ( 0， 2)所以 f 在 上单调递减，在 上单调递增，( ) (0， 0) ( 0， 2)所以当 0时， f 取得极小值，即为最小值( )当 tan 0 时，sin 0 ，cos 0 ，22 13 23所以 f 的最小值为 3 ，( ) 6即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为 3 m.6因为 3 7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠6答 竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠4(2018江苏启东中学月考)园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为 r 米，圆心角为 (弧度)的扇形观景水池，其中 ， O 为扇形
15、 AOB 的圆心，同时紧贴水池周(0， 2 )边(即 OA， OB 和 所对的圆弧)建设一圈理想的无宽度步道要求总预算费用不超过 24 万元，水池造价为每平方米 400 元，步道造价为每米 1 000 元(1)若总费用恰好为 24 万元，则当 r 和 分别为多少时，可使得水池面积最大，并求出最大面积；(2)若要求步道长为 105 米，则可设计出的水池最大面积是多少？解 (1)弧长 AB 为 r ，扇形 AOB 面积为 S r 2, 1211则 400 r 21 000 240 000.12 (2r r)即 r 25 1 200.(2r r)所以 .1 200 10rr2 5rS r 2 r26
16、505 65052 400.12 12 1 200 10rr2 5r (r 5) 625r 5 (r 5)625r 5当且仅当 r5 ，即 r20 时取等号，此时 2 .625r 5 (0， 2 )答 r20, 2，面积最大值为 400 平方米(2) 由 r 2 r105，得出 ，105 2rr S r2 r ，12 12(105 2r)所以Error!所以Error! 所以 45 r0)，记 APB ， CPD ，则 tan ，tan ，6021t 207t 604t 15t由 tan( )tan 45 1，tan tan 1 tan tan 207t 15t1 3007t2化简得 7 t2
17、125 t3000，解得 t20 或 t (舍去), 157所以 AC AP PC2520500.14答 两索塔之间的距离 AC 为 500 米(2)设 AP x，点 P 处的承重强度之和为 L(x)则 L(x)60 ，且 x(0,500)，abx2 ab500 x2即 L(x)60 ab ， x(0,500)，1x2 1500 x2记 l(x) ， x(0,500)，1x2 1500 x2则 l( x) ， 2x3 2500 x3令 l( x)0，解得 x250，当 x(0,250)， l( x)0 时， l(x)单调递增所以当 x250 时， l(x)取到最小值， L(x)也取到最小值 .
18、6ab3 125答 两索塔对桥面 AC 中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为 .6ab3 1257(2018江苏姜堰、溧阳、前黄中学联考)科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对 A 市每年的碳排放总量规定不能超过 550 万吨，否则将采取紧急限排措施已知 A 市 2017 年的碳排放总量为 400 万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少 10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量 m 万吨 .(m 0)(1)求 A 市 2019 年的碳排放总量(用含 m 的式子表示)
19、；(2)若 A 市永远不需要采取紧急限排措施，求 m 的取值范围解 设 2018 年的碳排放总量为 a1,2019 年的碳排放总量为 a2，(1)由已知得， a14000.9 m，a20.9 m4000.9 20.9 m m3241.9 m. (4000.9 m)(2)a30.9 m 4000.9 30.9 2m0.9 m m，(4000.92 0.9m m)an4000.9 n0.9 n1 m0.9 n2 m0.9 m m4000.9 n m 4000.9 n10 m1 0.9n1 0.9 (1 0.9n) 0.9n10 m.(400 10m)由已知有 nN *， an550.当 40010 m0，即 m40 时，显然满足题意；当 40010 m0，即 m40 时，由指数函数的性质可得 10m550，解得 m55，综合得 40m55.综上可得所求范围是 m .(0， 55
