1、1第 3 讲 矩阵与变换、坐标系与参数方程考情考向分析 1.考查常见的平面变换与矩阵的乘法运算，二阶矩阵的逆矩阵及其求法，矩阵的特征值与特征向量的求法，属 B 级要求.2.考查直线、曲线的极坐标方程、参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，属 B 级要求热点一 二阶矩阵与平面变换例 1 已知矩阵 A 所对应的变换 T 把曲线 C 变成曲线 C1： 1，求曲线 C 的1 00 2 x24 y22方程解 设曲线 C 上任一点为( x， y)，经过变换 T 变成( x0， y0)，则 ，即 x0 x， y0 y.1 00 2xy x0y0 2由 1，得曲线 C 的方程为 x24
2、y24.x204 y202思维升华 解决这类问题一般是设变换 T： ，求出原曲线在 T 的变换下得到的曲xy xy 线，再根据条件求相应的系数值跟踪演练 1 已知曲线 C1： x2 y21，对它先作矩阵 A 对应的变换，再作矩阵 B1 00 22对应的变换，得到曲线 C2： y21，求实数 b 的值0 b1 0 x24解 从曲线 C1变到曲线 C2的变换对应的矩阵为 BA .在曲线 C1上任0 b1 01 00 2 0 2b1 0意选一点 P(x0， y0)，设它在矩阵 BA 对应的变换作用下变为P( x， y)，则有 ，即 .0 2b1 0x0y0 xy 2by0x0 xy 故Error!解
3、得Error!代入曲线 C1方程得， y 2 21.(12bx )即曲线 C2方程为 2x2 y21.(12b)与已知的曲线 C2的方程 y21 比较得(2 b)24.x24所以 b1.热点二 二阶矩阵的逆矩阵及其求法例 2 已知点 P(3,1)在矩阵 A 变换下得到点 P(5，1)试求矩阵 A 和它的逆a 2b 1矩阵 A1 .解 依题意得 ，a 2b 131 3a 23b 1 5 1所以Error! 解得Error! 所以 A .1 20 1因为 det(A) 1(1)021，|1 20 1|所以 A1 .1 20 1思维升华 由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，
4、要注意变换的前后顺序跟踪演练 2 二阶矩阵 M 对应的变换 TM将曲线 x2 x y10 变为曲线 2y2 x20，求M1 .解 设曲线 2y2 x20 上一点 P(x， y)在 M1 对应变化下变成 P(x， y)，设 M1 ，所以Error! 代入 x2 x y10 得，方程( ax by)2( ax by)( cx dy)a bc d10，即 b2y2( a c)x( b d)y2 abxy a2x210，与方程 y2 10 比较得，x23a0， b1， c ， d1 或 a0，12b1， c ， d1.12所以 M1 或 M1 .0 112 1 0 112 1热点三 特征值与特征向量例
5、 3 已知二阶矩阵 M 有特征值 8 及对应的一个特征向量 e1 ，并且矩阵 M 对应的变11换将点(1,2)变换成(2,4)(1)求矩阵 M；(2)求矩阵 M 的另一个特征值解 (1)设 M ， M 8 ，a bc d 11 11 a bc dM ， 12 24 a 2b c 2d则Error!解得Error! 即 M .6 24 4(2)令特征多项式 f( ) | 6 2 4 4|( 6)( 4)80，解得 18， 22.故矩阵 M 的另一个特征值为 2.思维升华 求矩阵 M 就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母a bc d的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用
6、方法跟踪演练 3 已知矩阵 A 的逆矩阵 A1 .2 11 2(1)求矩阵 A；(2)求矩阵 A1 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量解 (1)因为矩阵 A 是矩阵 A1 的逆矩阵，且| A1 |221130，所以 A .132 1 1 2 23 13 13 23(2)矩阵 A1 的特征多项式为 f( ) | 2 1 1 2|4 24 3( 1)( 3)，令 f( )0，得矩阵 A1 的特征值为 11， 23，所以 1 是矩阵 A1 的属于特征值 11 的一个特征向量，1 1 2 是矩阵 A1 的属于特征值 23 的一个特征向量11热点四 曲线的极坐标方程例 4 (2018江苏冲刺预测)
7、已知曲线 C1的参数方程为Error!( t 为参数)，以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 .62 sin2(1)求曲线 C1的极坐标方程和 C2的直角坐标方程；(2)射线 OP： 与 C2交于 P 点，射线 OQ： 与 C2交于 Q 点，(其 中 00)在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： 4cos .(1)说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；(2)直线 C3的极坐标方程为 0，其中 0满足 tan 02，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a.5解 (1)消去参数 t 得到 C1的普
8、通方程为 x2( y1) 2 a2(a0)， C1是以(0,1)为圆心， a为半径的圆将 x cos ， y sin 代入 C1的普通方程中，得到 C1的极坐标方程为 22 sin 1 a20.(2)曲线 C1， C2的公共点的极坐标满足方程组Error!若 0，由方程组得 16cos2 8sin cos 1 a20，由已知 tan 2，可得16cos2 8sin cos 0，从而 1 a20，解得 a1(舍去)或 a1.当 a1 时，极点也为 C1， C2的公共点，在 C3上所以 a1.热点五 参数方程例 5 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)在极坐
9、标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆 C 的方程为 2 sin .5(1)求圆 C 的直角坐标方程；(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A， B.若点 P 的坐标为(3， )，求 PA PB.5解 方法一 (1)由 2 sin ，得 x2 y22 y0，5 5即 x2( y )25.5(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 2 25，即 t23 t40.(322t) (22t) 2由于 (3 )24420，故可设 t1， t2是上述方程的两实根，所以Error!又直线 l2过点 P(3， )，5故由上式及 t 的几何
10、意义，得 PA PB| t1| t2| t1 t23 .2方法二 (1)同方法一(2)因为圆 C 的圆心为(0， )，半径 r ，直线 l 的普通方程为 y x3 .5 5 5由Error!得 x23 x20.解得Error! 或Error!不妨设 A(1,2 )， B(2,1 )，5 5又点 P 的坐标为(3， )故 PA PB 3 .5 8 2 2思维升华 过定点 P0(x0， y0)，倾斜角为 的直线参数方程的标准形式为Error!( t 为参数)，t 的几何意义是数量，即| t|表示 P0到 P 的距离， t 有正负之分使用该式时直线上任意两6点 P1， P2对应的参数分别为 t1，
11、t2，则 P1P2| t1 t2|， P1P2的中点对应的参数为(t1 t2)12跟踪演练 5 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，直线l 与抛物线 y24 x 相交于 A， B 两点，求线段 AB 的长解 将直线 l 的参数方程Error!( t 为参数)代入抛物线方程 y24 x，得 24 ，(222t) (1 22t)解得 t10， t28 .2所以 AB| t1 t2|8 .21(2018江苏)已知矩阵 A .2 31 2(1)求 A 的逆矩阵 A1 ；(2)若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P(3,1)，求点 P 的坐标解
12、 (1)因为 A ，又 det(A)221310，2 31 2所以 A 可逆，从而 A1 .2 3 1 2(2)设 P(x， y)，则 ，2 31 2xy 31所以 A1 ，xy 31 3 1因此，点 P 的坐标为(3，1)2(2018江苏)在极坐标系中，直线 l 的方程为 sin 2，曲线 C 的方程为( 6 ) 4cos ，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长解 因为曲线 C 的极坐标方程为 4cos ，所以曲线 C 是圆心为(2,0)，直径为 4 的圆因为直线 l 的极坐标方程为 sin 2，( 6 )则直线 l 过点 A(4,0)，且倾斜角为 ， 6所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个
13、交点设另一个交点为 B，则 OAB . 67如图，连结 OB.因为 OA 为直径，从而 OBA ， 2所以 AB4cos 2 . 6 3因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2 .33(2017江苏)已知矩阵 A ， B .0 11 0 1 00 2(1)求 AB；(2)若曲线 C1： 1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2，求 C2的方程x28 y22解 (1)因为 A ， B ，0 11 0 1 00 2AB .0 11 01 00 2 0 21 0(2)设 Q(x0， y0)为曲线 C1上任意一点，它在矩阵 AB 对应的变换作用下变为点 P(x， y)，则 ，0 21
14、0x0y0 xy即Error! 所以Error!因为点 Q(x0， y0)在曲线 C1上，所以 1，x208 y202从而 1，即 x2 y28.y28 x28因此曲线 C1在矩阵 AB 对应的变换作用下得到曲线C2： x2 y28.1(2018苏锡常镇四市模拟)已知矩阵 M 的一个特征值为 3，求 M1 .2 14 x解 由 0，| 2 1 4 x|得( 2)( x)40 的一个解为 3，代入得 x1，因为 M ，2 14 18所以 M1 .16 1623 132已知矩阵 A ， B ，向量 ， 1 21 x 1 12 1 2yx， y 为实数若 A B ，求 x y 的值解 由已知，得 A
15、 ， 1 21 x2y 2 2y2 xyB .1 12 12y 2 y4 y因为 A B ，所以 . 2 2y2 xy 2 y4 y故Error! 解得Error!所以 x y .723(2015江苏)已知 x， yR，向量 是矩阵 A 的属于特征值2 的一个特1 1 x 1y 0征向量，求矩阵 A 以及它的另一个特征值解 由已知，得 A 2 ，即 ，x 1y 01 1 x 1y 22则Error! 即Error!所以矩阵 A . 1 12 0从而矩阵 A 的特征多项式 f( )( 2)( 1)，所以矩阵 A 的另一个特征值为 1.4在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error!
16、( 为参数)，直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)(1)若 a1，求 C 与 l 的交点坐标；(2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 ，求 a.17解 (1)曲线 C 的普通方程为 y21.x29当 a1 时，直线 l 的普通方程为 x4 y30.由Error! 解得Error!或Error!从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0)， .(2125， 2425)(2)直线 l 的普通方程为 x4 y a40，故 C 上的点(3cos ，sin )到 l 的距离为9d .|3cos 4sin a 4|17当 a4 时， d 的最大值为 .a 917由题设得 ，所以 a8；a 9
17、17 17当 a4 时， d 的最大值为 . a 117由题设得 ，所以 a16. a 117 17综上， a8 或 a16.5已知圆 C 的极坐标方程为 22 sin 40，求圆 C 的半径2 ( 4)解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy.圆 C 的极坐标方程为 22 40，化简，得 22 sin 2 (22sin 22cos ) 2 cos 40.则圆 C 的直角坐标方程为 x2 y22 x2 y40，即( x1) 2( y1) 26，所以圆 C 的半径为 .66(2016江苏)已知矩阵 A ，矩阵 B 的逆矩阵 B1 ，求矩阵
18、AB.1 0 2 2 1 120 2解 B( B1 )1 .22 12202 12 1 140 12 AB .1 20 21 140 12 1 540 17(2016江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，椭圆 C 的参数方程为Error!( 为参数)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，求线段 AB 的长解 直线 l 的方程化为普通方程为 x y 0，3 3椭圆 C 的方程化为普通方程为 x2 1，y24联立方程组得Error!10解得Error! 或Error!取 A(1,0)， B .(17， 837)故 AB .(1 17)
19、2 (0 837)2 1678(2018扬州模拟)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是Error!( t 是参数， m 是常数)以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 6cos .(1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 P， Q 两点，且 PQ2，求实数 m 的值解 (1)因为直线 l 的参数方程是Error! ( t 是参数)，所以直线 l 的普通方程为 x y m0.因为曲线 C 的极坐标方程为 6cos ，故 26 cos ，所以 x2 y26 x，所以曲线 C 的直角坐标方程是( x3) 2 y29.(2)曲线 C 表示以 C(3,0)为圆心，3 为半径的圆，设圆心到直线 l 的距离为 d，则 d 2 ， 32 12 2又 d 2 ， |3 m|2 2所以|3 m|4，即 m1 或 m7.
