1、1第 1 讲 三角函数的图象与性质考情考向分析 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式例 1 (1)已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点P(2，1)，则 tan _.(2 4)答案 7解析 由角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点 P(2,1)，可得 x2， y1，tan ，tan 2 ，yx 12 2tan 1 tan2 11 14 43tan 7.(
2、2 4)tan 2 tan 41 tan 2 tan 443 11 431(2)已知曲线 f(x) x32 x2 x 在点(1， f(1)处的切线的倾斜角为 ，则cos2 2cos 2 3sin(2 )cos( )的值为_( 2 )答案 85解析 由 f(x) x32 x2 x 可知 f( x)3 x24 x1，tan f(1)2，cos2 2cos 2 3sin cos( 2 ) (2 ) ( )(sin )22cos 2 3sin cos sin 2 2cos 2 3sin cos sin2 2cos2 3sin cos sin2 cos2 tan2 3tan 2tan2 1 .4 6 2
3、5 85思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三2角函数的定义求解应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系进行化简的过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等跟踪演练 1 (1)在平面直角坐标系中，若角 的终边经过点 P ，则(sin 53， cos 53)sin( )_.答案 12解析 由诱导公式可得，sin sin sin ，53 (2 3) 3 32cos cos cos ，53 (2 3) 3 12即 P ，(32， 12)
4、由三角函数的定义可得，sin ，12( 32)2 (12)2 12则 sin sin .( )12(2)已知 sin(3 )2sin ，则 _.(32 ) sin 4sin( 2 )5sin2 2cos2 答案 16解析 sin(3 )2sin ，(32 )sin 2cos ，即 sin 2cos ，则 sin 4sin( 2 )5sin2 2cos2 sin 4cos 5sin 2cos .2cos 4cos 10cos 2cos 212 16热点二 三角函数的图象及应用3例 2 (1)(2018江苏扬州中学模拟)函数 ycos(2 x )( )的图象向右平移个单位长度后，与函数 ysin
5、的图象重合，则 _. 2 (2x 3)答案 56解析 ycos(2 x )的图象向右平移 个单位长度后， 2得到 ycos sin2(x 2) (2x 2 )sin sin ，(2x 2 ) (2x 3) 2 k ， kZ， 2 3又 ， .56(2)函数 f(x) Asin(x ) 的部分图象如图所示，将函数 f(x)的图( 0， | |0， 0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定 ；确定 常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是
6、先周期变换变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向跟踪演练 2 (1)将函数 y3sin 的图象向左平移 个单位长度后，所在图象对应的(2x 6) 4函数解析式为_答案 y3sin (2x 3)解析 把函数 y3sin 的图象向左平移 个单位长度，(2x 6) 4所得图象的解析式是 y3sin 2(x 4) 63sin .(2x 3)(2)函数 f(x) Asin(x ) 的部分图象如图所示，则(A0， 0， | |0)的最小正周期是 .( x 6)(1)求函数 f(x)在区间(0，)上的单调递增区间；(2)求 f(x)
7、在 上的最大值和最小值 8， 38解 (1) f(x)4cos x sin( x 6)4cos x (sin xcos 6 cos xsin 6)2 sin x cos x 2cos 2x 113 sin 2x cos 2 x 132sin 1，(2 x 6)因为最小正周期是 ，所以 1，22从而 f(x)2sin 1.(2x 6)令 2 k2 x 2 k( kZ)， 2 6 2解得 k x k( kZ)， 6 3所以函数 f(x)在(0，)上的单调递增区间为 和 .(0， 3 56， )(2)当 x 时，2 x ， 8， 38 6 12， 7122sin ，(2x 6) 6 22 ， 26所
8、以 f(x)在 上的最大值和最小值分别为 1， 1. 8， 38 6 22思维升华 函数 y Asin(x )的性质及应用类题目的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y Asin(x ) B 的形式；第二步：把“ x ”视为一个整体，借助复合函数性质求 y Asin(x ) B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题跟踪演练 3 (1)(2018江苏泰州中学调研)若函数 f(x)sin( x )的图象关于坐标原点对称，且在 y 轴右侧的第一个极值点为 x ，则( 0， | |0)，( 6) 6 2 3， f sin .(12) (312) 22(2)已知 x ，则
9、函数 f(x)cos 2xsin xsin cos 2x 的最小值为 6， 56 6 1716_答案 1716解析 因为 f(x)cos 2 xsin xsin cos 2x ， 6 1716所以 f(x)2sin 2x sin xcos 2x12 116sin 2x 21.sin x2 1716 (sin x 14)设 tsin x，则 y 21.(t14)因为 x ，所以 t1. 6， 56 12又函数 y 21 在 上单调递增，(t14) 12， 1所以当 t 时， y 21 取得最小值，12 (t 14)7且 ymin 21 ，(12 14) 1716即函数 f(x)的最小值为 .17
10、1681(2018全国)已知函数 f(x)2sin xsin 2 x，则 f(x)的最小值是_答案 332解析 f( x)2cos x2cos 2 x2cos x2(2cos 2x1)2(2cos 2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1)cos x10，当 cos x 时， f( x)0， f(x)单调递增，12当 cos x 时， f(x)有最小值12又 f(x)2sin xsin 2 x2sin x(1cos x)，当 sin x 时， f(x)有最小值，32即 f(x)min2 .(32) (1 12) 3322(2016江苏)定义在区间0,3上的函数 ysin 2x 的图
11、象与 ycos x 的图象的交点个数是_答案 7解析 在区间0,3上分别作出 ysin 2 x 和 ycos x 的简图如下：由图象可得两图象有 7 个交点3(2018江苏)已知函数 ysin(2 x ) 的图象关于直线 x 对称，( 20， 0， | | 2)10点 P， Q， R 满足 P(2,0)， PQR ， M 为 QR 的中点， PM2 ，则 A 的值为_ 4 5答案 163 3解析 由题意设 Q(a,0)， R(0， a)(a0)则 M ，由两点间距离公式，得(a2， a2)PM 2 ，(2 a2)2 (a2)2 5解得 a18， a24(舍去)，由此得 826，即 T12，故
12、，T2 6由 P(2,0)及| | ，得 ， 2 3代入 f(x) Asin(x )，得 f(x) Asin ，( 6x 3)从而 f(0) Asin 8，得 A .( 3) 163 37(2018江苏海安高级中学模拟)若函数 f(x)2sin( x ) 在一( 0， | |0)的最小正周期为 ，则 f 的值是_( x 6) ( 3)答案 12解析 T ， 2，212 f sin sin .( 3) (2 3 6) 56 124(2018南通市通州区模拟)将函数 f(x)2sin 的图象向左平移 ( 0)个单位(2x 6)长度，若所得到图象关于原点对称，则 的最小值为_答案 12解析 因 为
13、函 数 f(x) 2sin 的 图 象 向 左 平 移 ( 0)个 单 位 长 度 得 g(x) 2sin( 2x 6 )， 2 x 6 所以 2 k( kZ)，所以 (kZ)， 6 12 k2因为 0，所以 min .125.已知函数 f(x) sin x 2cos 2 1( 0)，将 f(x)的图象向右平移 3 x2个单位长度，所得函数 g(x)的部分图象如图所示，则 的值为_(00， 00 f 或 f 0 时，函数 f(x)有且只有一个零点，( 3) (712) ( 6)即 sin b 0)和 g(x)3cos(2 x )的图象的对称中心完全相( x 6)同，若 x ，则 f(x)的取值
14、范围是_0， 2答案 32， 3解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故 2，所以f(x)3sin ，(2x 6)那么当 x 时， 2 x ，0， 2 6 6 56所以 sin 1，故 f(x) .12 (2x 6) 32， 314(2018株洲质检)已知函数 f(x)2sin( x )1 ，其图象与( 0， | | 2)直线 y3 相邻两个交点的距离为 ，若 f(x)2 对 x 恒成立，则 的取值范围(24， 3)是_答案 12， 6解析 因为函数 f(x)2sin( x )1 ，其图象与直线 y3 相邻( 0， | | 2)两个交点的距离为 ，所以函数周期为 T， 2，18当 x 时，2 x ，(24， 3) (12 ， 23 )且| | ， 2由 f(x)2 知，sin(2 x ) ，12所以Error! 解得 .12 6
