1、1第 3 讲 函数、导数的综合问题考情考向分析 函数和导数的综合问题，主要是利用导数证明不等式问题、函数零点问题、函数的实际应用问题等，一般需要研究函数的单调性和最值问题，注重数学思想的考查B级要求，题目难度较大热点一 利用导数研究不等式问题例 1 已知函数 f(x) xln x， g(x) x2 ax3.(1)对一切 x(0，)，2 f(x) g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)求证：对一切 x(0，)，ln x 恒成立1ex 2ex(1)解 由题意知 2xln x x2 ax3 对一切 x(0，)恒成立，则 a2ln x x .3x设 h(x)2ln x x (x0)，3x则 h
2、( x) ，x 3x 1x2当 x(0,1)时， h( x)0， h(x)单调递增，所以 h(x)min h(1)4.因为对一切 x(0，)，2 f(x) g(x)恒成立，所以 a h(x)min4，2即实数 a 的取值范围是(，4(2)证明 问题等价于证明 xln x (x(0，)恒成立xex 2e又 f(x) xln x， f( x)ln x1，当 x 时， f( x)0， f(x)单调递增，(1e， )所以 f(x)min f .(1e) 1e设 m(x) (x(0，)，则 m( x) ，xex 2e 1 xex易知 m(x)max m(1) ，1e从而对一切 x(0，)，ln x 恒成
3、立1ex 2ex思维升华 利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可以分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题跟踪演练 1 已知函数 f(x)ln x ax2 x， aR.12(1)若 f(1)0，求函数 f(x)的单调减区间；(2)若关于 x 的不等式 f(x) ax1 恒成立，求整数 a 的最小值解 (1)因为 f(1)1 0，所以 a2，a2此时 f(x)ln x x2 x(x0)，f( x) 2 x1 (x0)1x 2x2 x 1x由 f( x)0，解得 x1.12又因为 x0，所以
4、 x1.所以 f(x)的单调减区间为(1，)(2)方法一 由 f(x) ax1 恒成立，得 ln x ax2 x ax1 在(0，)上恒成立，12问题等价于 a 在(0，)上恒成立ln x x 112x2 x3令 g(x) (x0)，只需 a g(x)max即可ln x x 112x2 x又 g( x) ，x 1( 12x ln x)(12x2 x)2令 g( x)0，得 xln x0.12设 h(x) xln x(x0)，12因为 h( x) 0；当 x( x0，)时， g( x)0， h(1) 0，所以 g( x)0，所以 g(x)在(0，)上是增函数又因为 g(1)ln 1 a(1 a)
5、1 a20，12 32所以关于 x 的不等式 f(x) ax1 不能恒成立当 a0 时， g( x) . ax2 1 ax 1x ax 1x 1x令 g( x)0，得 x .1a4所以当 x 时， g( x)0；(0，1a)当 x 时， g( x)0， h(2) ln 20)表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标6(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为 3.2 km，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由解 (1)令 y0，得 kx (1 k2)x20.120由实际意义和题设条件知 x0， k0，故 x
6、 10，20k1 k2 20k 1k 202当且仅当 k1 时取等号所以炮的最大射程为 10 km.答 炮的最大射程为 10 km.(2)因为 a0，所以炮弹可击中目标存在 k0，使 3.2 ka (1 k2)a2成立 关于 k 的120方程 a2k220 ak a2640 有正根 (20 a)24 a2(a264)0 00；当 10，即 kx22 xxex 1k 2x x2对任意 x(0,2)都成立，从而 k0.不等式整理可得 k0，函数 g(x)在(1,2)上单调递增，同理可得函数 g(x)在(0,1)上单调递减所以 k0，所以函数 f(x)2 x x32 在(0,1)上单调递增，且f(0
7、)10210.所以函数 f(x)在区间(0,1)内有 1 个零点4若存在正数 x 使 2x(x a)1 成立，则 a 的取值范围是_答案 (1，)解析 2 x(x a)1， a x .12x令 f(x) x ，12x则 f( x)12 xln 20. f(x)在(0，)上单调递增， f(x) f(0)011， a 的取值范围是(1，)5关于 x 的方程 x33 x2 a0 有三个不同的实数解，则实数 a 的取值范围是_答案 (4,0)解析 由题意知使函数 f(x) x33 x2 a 的极大值大于 0 且极小值小于 0 即可，又 f( x)3 x26 x3 x(x2)，令 f( x)0，得 x1
8、0， x22，当 x0；当 02 时， f( x)0，所以当 x0 时， f(x)取得极大值，即 f(x)极大值 f(0) a；当 x2 时， f(x)取得极小值，即 f(x)极小值 f(2)4 a，所以Error! 解得40，函数 f(x)单调递增；当 x(1,3)时， f( x)0，函数 f(x)单调递增所以函数 f(x)的极小值为 f(3)24，极大值为 f(1)8.而 f(2)1， f(5)8，函数图象大致如图所示故要使方程 g(x) f(x) m 在 x2,5上有 3 个零点，只需函数 f(x)在2,5内的函数图象与直线 y m 有 3 个交点，故Error!即 m1,8)7已知不等
9、式 ex x ax 的解集为 P，若0,2 P，则实数 a 的取值范围是_答案 (，e1)解析 由题意知不等式 ex x ax 在 x0,2上恒成立当 x0 时，显然对任意实数 a，该不等式都成立当 x(0,2时，原不等式即 a 1，exx令 g(x) 1， x ，exx (0， 2则 g( x) ，exx 1x2当 0 x1 时， g( x)0， g(x)单调递减，当 1 x2 时， g( x)0， g(x)单调递增，故 g(x)在(0,2上的最小值为 g(1)e1，故 a 的取值范围为(，e1)138若函数 f(x) x3 x 在( t,8 t2)上有最大值，则实数 t 的取值范围是_13
10、答案 (3， 6解析 因为 f( x) x21，所以当 x(，1)和(1，)时， f(x)单调递增，当 x(1,1)时， f(x)单调递减，故 x1 是函数 f(x)的极大值点又函数 f(x)在( t,8 t2)上有最大值，所以 t0，1x当 e a0，即 ae 时， f( x)0， f(x)在(0，)上单调递增，且 x， f(x)，此时 f(x)0 不可能恒成立；当 e ae 时，由 f( x)0，得 x ，1a e当 x 时， f( x)0， f(x)单调递增，(0，1a e)当 x 时， f( x)e，所以 ， ae，ba lna e 1a令 ae t0，则 ， t0.ba ln t 1
11、t e令 g(t) ， t0，则 g( t) ， ln t 1t e ln t ett e2由 g( t)0，得 te，且当 t(0，e)时， g( t)0， g(t)单调递增，所以 g(t)min g(e) ，1e即 ，ba ln t 1t e 1e16故 的最小值为 .ba 1e12若曲线 C1： y ax2(a0)与曲线 C2： ye x在(0，)上存在公共点，则 a 的取值范围为_答案 e24， )解析 由题意知方程 ax2e x(a0)在(0，)上有解，则 a ， x(0，)，exx2令 f(x) ， x(0，)，exx2则 f( x) ， x(0，)，xex 2exx3由 f( x
12、)0 得 x2，当 02 时， f( x)0，函数 f(x) 在区间(2，)上是增函数，exx2所以当 x2 时，函数 f(x) 在(0，)上有最小值exx2f(2) ，所以 a .e24 e2413已知函数 f(x) ，关于 x 的方程 f2(x)2 af(x) a10 (aR)有 3 个相异的实ex|x|数根，则 a 的取值范围是_答案 e2 12e 1解析 f(x)Error!当 x0 时， f( x) ，exx 1x2当 01 时， f( x)0，函数 f(x)单调递增，当 x1 时，函数 f(x)取得极小值 f(1)e，当 x1.2当 yln x 的切线斜率为 1 时， y 1，得
13、x1，则 yln x 在点(1,0)处的切线与1xy x 平行，则点(1,0)到直线 y x 的距离 ，得 1( 3 舍去)|1 |2 215已知函数 f(x)2 x 5ln x， g(x) x2 mx4，若存在 x1(0,1)，对任意2xx21,2，总有 f(x1) g(x2)成立，求实数 m 的取值范围解 题意等价于 f(x)在(0,1)上的最大值大于或等于 g(x)在1,2上的最大值f( x) ，2x2 5x 2x2由 f( x)0，得 x 或 x2.12当 x 时， f( x)0，(0，12)当 x 时， f( x)0，(12， 1)所以在(0,1)上， f(x)max f 35ln
14、2.(12)又 g(x)在1,2上的最大值为 maxg(1)， g(2)，所以有Error! 即Error!解得Error! 解得 m85ln 2，所以实数 m 的取值范围是85ln 2，)16已知函数 f(x)ln x (a0)a e 2x18(1)当 a2 时，求出函数 f(x)的单调区间；(2)若不等式 f(x) a 对于 x0 的一切值恒成立，求实数 a 的取值范围解 (1)由题意知，函数 f(x)的定义域为(0，)当 a2 时，函数 f(x)ln x ，ex所以 f( x) ，1x ex2 x ex2所以当 x(0，e)时， f( x)0，函数 f(x)在(0，e)上单调递减；当 x
15、(e，)时， f( x)0，函数 f(x)在(e，)上单调递增综上，当 a2 时， f(x)的单调增区间为(e，)，单调减区间为(0，e)(2)由题意知 ln x a(x0)恒成立，a e 2x等价于 xln x ae2 ax0 在(0，)上恒成立令 g(x) xln x ae2 ax，则 g( x)ln x1 a，令 g( x)0，得 xe a1 .当 x 变化时， g( x)， g(x)的变化情况如下表：x (0，e a1 ) ea1 (ea1 ，)g( x) 0 g(x) 极小值 所以 g(x)的最小值为 g(ea1 )( a1)e a1 ae2 aea1 ae2e a1 .令 t(x) xe2e x1 (x0)，则 t( x)1e x1 ，令 t( x)0，得 x1.当 x 变化时， t( x)， t(x)的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，)t( x) 0 t(x) 极大值 所以当 a(0,1)时， g(x)的最小值为 t(a) t(0)e2 0，符合题意；1e e(e 2) 1e当 a1，)时， g(x)的最小值为 t(a) ae2e a1 0 t(2)，所以 a1,2综上所述， a(0,2
