1、高等数学轻松解决高考压轴题，助现处于 120 左右却始终无法突破 140 这个大瓶颈的资优生一举突破 140 瓶颈！内容概要名称 主要内容（3.1、3.2）名称 条件 结论罗尔中值定理：（1）在 上连续；（2）在)(xfya,b内可导；（3）a,b)(ff至少存在一点 使得)(a,b0)(/f拉格朗日中值定理：（1）在 上连续；（2）在)(xfya,b内可导a,b至少存在一点 使得)b,a()(/ff3.1 中值定理柯西中值定理、 ：（1）在 上连续，在)(xfga,b内可导；（2）在 内每点处a,b)(0/至少存在一点 使得)(a,bfgf)(/基本形式 型与 型未定式通分或取倒数化为基本形
2、式 1） 型：常用通分的手段化为 型或 型；02） 型：常用取倒数的手段化为 型或 型，即：0或 ；1/01/3.2洛必达法则取对数化为基本形式1） 型：取对数得 ，其中0lne或 ；ln/0 01/2） 型：取对数得 ，ln1e其中 ln1/0或 ；l0/3） 型：取对数得 ，0ln0e其中 ln1/或 。0l/0以上就是对高考有着极大帮助的几个基础高等数学定理，资优生掌握以后必定能再更上一层楼，对其突破 140 的瓶颈大有裨益！想要突破 140 瓶颈的千万别错过！12：核心总结本文的核心就是 12，建议大家把以上公式记录到自己的笔记本上好好理解，并在自己平时的作业尝试应用。39：重中之重
3、拉格朗日中值定理深层次剖析以上就是对高考有着极大帮助的几个基础高等数学定理，资优生掌握以后必定能再更上一层楼，对其突破 140 的瓶颈大有裨益。但是由于篇幅有限，不能一一对其深入剖析，在此向大家致歉。不过本文对以上定理中最最重要的，也是高考压轴题中最最常用的拉格朗日中值定理进行了深层次剖析。拉格朗日中值定理，是对高考数学压轴题帮助最大的高等数学定理，望学有余力的同学务必将其掌握！1015：拉格朗日中值定理在高考题里的应用或许有同学不相信拉格朗日中值定理对高考的帮助是如此之大，以下将会以高考真题为例子向你阐明。 我想很大一部分同学或许不知道该如何应用，下文将对于高考真题应用拉格朗日中值定理解题并
4、与参考答案的解法作比较，体现高观点解题的好处。重中之重 拉格朗日中值定理资优生掌握了拉格朗日中值定理以后可帮助其突破 140 的瓶颈，一举成为数学大神！拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，它是沟通函数及其导数之间关系的桥梁，课本中关于拉格朗日中值定理的应用并没有专门的讲解，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有系统的总结。本文首先进一步分析了定理的实质，以便使读者深入理解拉格朗日中值定理；然后从课本中证明拉格朗日中值定理的思想（构造辅助函数法）出发，提出了一个较简单的辅助函数，从而使拉格朗日中值定理的证明简单化；以此为理论依据并在别人研究的基础上，最后重点总结了拉格朗日中值定理
5、在各个方面的应用。这对于正确的理解和掌握拉格朗日中值定理，以及以后进一步学习数学具有重要的作用和深远的意义。0 前言函数与其导数是两个不同的的函数，而导数只是反映函数在一点的局部特征，如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用拉格朗日中值定理通过导数去研
6、究函数的性态，拉格朗日中值定理的主要作用在于理论分析和证明.拉格朗日中值定理是几个微分中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁。在高等代数与数学分析中的一些理论推倒中起着很重要的作用。课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有系统的总结，所以研究拉格朗日中值定理的应用，力求正确地理解和掌握它是十分必要的.拉格朗日中值定理：若函数 f 满足如下条件：（1） 在闭区间 上连续；f,ab（2） 在开区间 内可导，f,则在 内至少存在一点 ，使得 = 。 1,abf()fba对于此定理的应用，本文从求极限、估值问题、证明不等式、以及研究函数在
7、区间上的性质等几个方面详细举例说明，以便我们更好的理解和掌握拉格朗日中值定理。1 对拉格朗日中值定理的理解拉格朗日中值定理是微积分的基础定理之一，在理论和应用上都有着极其重要的意义。该定理的叙述简单明了，并有明确的几何意义，很容易简单掌握，但要深刻认识定理的内容，特别是点的含义，就有较大难度。熟练掌握定理的本质，会在解题时游刃有余，若对定理的实质了解不够深刻的话，会进入不少误区。下面从四个方面对定理进行分析，以便更好的掌握定理。1.1 承上启下的定理拉格朗日中值定理是导数概念的延伸，是导数各种应用的理论基础。在讲完导数内容后，介绍导数的应用是顺理成章的。而正是这一定理使得导数概念与其应用有机的
8、联系起来。例：函数 ，有 ，当 时， ，2()3fx()2fx(0,)x()0fx单调增加；当 时， ， 单调减少；当 时，()fx,0)ff，0()3f可见，函数的单调性的判定，是否取得极值可以用它的导数符号来确定。一般在某个区间上，若 ，则 单调增加，若 ，则 单调减少，()0fx()fx()0fx()fx若 ，则 可能在改点 处取得极值（此亦为定理）。又如例中，如()0fx果 时， ，而 ，从而有 ，即函26()28f(4)8f(6)2(4)ff数 在某个闭区间端点的函数值之差同该区长度之比等于该区间内某2()3fx一点的导数值。这样一来，通过具体实例会让学生容易学地接受定理的内容。21
9、.2 定理中的条件函数在闭区间上连续、在开区间内可导是拉格朗日中值定理两个不可缺少的条件，是充分而不必要的条件。即由着两个条件一定可得出结论，但没有这两个条件， 则无定论。例 函数 在闭区间 上不连续，在开区间(-1,1)内不可导1()fx1,2()1fx所以 无实根，即在区间(-1,1)内不存在 ，使得21x()fx1.3 定理中的 如果在满足拉格朗日中值定理条件下，结论中的“至少存在”是关键所在。实际上 是方程f( )= （1）)(fba的所有实数解中属于区间 的那些解，而这些解的个数正是定理中 的个数。,a 例 求函数 在区间（-1,1）内的2()41fx解：显然函数在该区间内满足定理的
10、条件,所以 ()()fbafxk即区间 内任何一点都可取为 ，这样的 有无穷多个。但值得注意的,ab是方程（l）一般不是简单的代数方程，不一定能解出 ，但这并不影响定理的应用，因为定理的重要性不在于一定要知道或者解出 ，而是在于确定了 的存在性。1.4 定理的意义（1）几何意义:定理中 是连接曲线上两点 的弦()fba(,)(,)AafBbf的斜率， 是过曲线上一点 的切线的斜率。那么，定理就可解释为()f(,)f在曲线 上至少存在一条平行于弦 的切线。 1yxB（2）物理意义:如果 表示物体的运动规律在定理的条件下， 表示物体()st ()st运动到时间时的瞬时速度； 表示物体从时间到平均速
11、度，那么21()ts表示物体在运动过程中，至少有那么一个时刻 ，()s21()ts2)tt 其瞬时速度等于它的平均速度。2 拉格朗日中值定理的证明拉格朗日中值定理是微分学的基本定理，它架起用导数来研究函数性质的桥梁。该定理的证明一直是人们研究的问题。它的证明通常是以罗尔中值定理作为预备定理，为此需要将拉格朗日中值定理的条件转化为罗尔定理的条件，这个转化过程就是要构造一个满足罗尔定理条件的新函数作为辅助函数。教科书上的证明方法正是通过此思想实现的，但所作的辅助函数不是很容易想到，下面提供一个更易理解、更简单的证明方法以供大家参考。分析：首先由定理的结论知 ()fbaf则可求 ()10fbaxx从
12、而可构造辅助函数 ()()fbaxx证明：先构造辅助函数 ()()fbaxx再用罗尔定理证明显然， 在 连续，在（ ）可导，()x,ab,abfbfafffbfffbfaba()有罗尔定理知， 在 连续，在（ ）内可导，且 ，则()x,ab,ab()ab在（ ）内至少存在一点 ，使 .()x,ab()()0从而可证 ()fbaf即证3 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理在微积分学中是一个重要的理论基础，是应用数学研究函数在区间上整体性态的有力工具，拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心，有着广泛的应用，如求极限、证明不等式和方程根的存在性等，它在很多题型中都起到了化繁为简的作用。下面通过举
13、例说明拉格朗日中值定理在以上几个方面的应用。3.1 求极限3.2 证明不等式3.3 证明恒等式3.4 证明等式3.5 研究函数在区间上的性质 3.6 估值问题 3.7 判定级数的收敛性 3.8 证明方程根的存在性 3.9 误用拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理在高考题里的应用近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市高考试卷有关导数的题目往往可以用拉格朗日中值定理解答.本文主要先归类总结，再通过一些具体的高考试题，利用拉格朗日中值定理解答，并与参考答案的解法作比较，体现高观点解题的好处.拉格朗日中值定理：若函数 满足如下条件：1 f（i） 在闭区间 上连续；f,ab（ii） 在开区间
14、 内可导；()则在 内至少存在一点 ，使得 .,abfbfaf一、证明 或 成立（其中 ）fxfxa0x例：（2007 年高考全国卷 I第20 题）2设函数 .xfe（）证明： 的导数 ；2fx（）证明：若对所有 ，都有 ，则 的取值范围是 .0fax(,2（）略.（）证明：（i）当 时，对任意的 ，都有xfxa(ii)当 时，问题即转化为 对所有 恒成立.0xea0令 ，由拉格朗日中值定理知 内至少存在一点0xfxfeG ,x（从而 ），使得 ，即 ，由于0 ffxGfe，故 在 上是增函数，让 得 0fee0,x0x，所以 的取值范围是 . min 2xffa(,2评注：第(2) 小题提供
15、的参考答案用的是初等数学的方法.即令 ，gxfax再分 和 两种情况讨论.其中， 又要去解方程 .但这有两个缺2a2a0点：首先，为什么 的取值范围要以 为分界展开.其次，方程 求解较为麻烦. 但a 用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦.二、证明 成立2(),bggab例：（2004年四川卷第 22题）已知函数 .ln(1),lnfxxgx（）求函数 的最大值；（）设 ，证明： .02ab2()ln2abgaga（）略； （）证明：依题意，有 ln1gx 222abababgabggga由拉格朗日中值定理得，存在 ，使得, ln2 22ab babaggag 4lnlnlnln2ba
16、评注：对于不等式中含有 的形式，我们往往可以把,2bgaa和 ，分别对 和 两2abg2bg2abg次运用拉格朗日中值定理.三、证明 成立1212fxfx例： (2OO6年四川卷理第22题)34已知函数 的导函数是 ，对任意两个不相等的2ln(0),fxaxfxfx正数 ，证明：12,（）当 时，0a1212fff（）当 时， .4 1212fxfx证明：（）不妨设 ，即证 由拉1212122 1xxffff格朗日中值定理知，存在 ，则 且12,x12， 又122xff21f1 111xxffxf， .当 时， .所以 是一个()ax 324ax00()单调递减函数，故 从而 成立， 12ff
17、12121xxffffx因此命题获证（）由 得， ，令 则由2lnfxax 2()afxgxf拉格朗日中值定理得： 121gg下面只要证明：当 时，任意 ,都有 ，则有40，即证 时， 恒成立.这等价于证明 的最 324gaxx24ax24x小值大于 .由于 ，当且仅当 时取到最小值，又2234xx32x，故 时， 恒成立.34aa321a所以由拉格朗日定理得： . 12121212()gxgxgxx评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.体现了高观点解题的优越性，说明了学习高等数
18、学的重要性.四、证明 或 成立1212fxfx1212fxfx例：（2008年全国卷 22题）设函数 .sin2coxf（）求 的单调区间；fx（）如果对任何 ，都有 ，求 的取值范围.0fxa（）略； （）证明：当 时，显然对任何 ，都有 ；当 时， xfxa0x0fxff由拉格朗日中值定理，知存在 ，使得 .由0,x0fxfff（）知 ，从而 .令 2cos1xf 22sincos1xf得， ；令 得， .所0fx,kfx,k以在 上， 的最大值 在 21,kfx ma 3f上， 的最大值 .从而函数 在,f ax123fkfx上的最大值是 .由 知，当 时， 的最大k m13fN0x值为
19、 .所以， 的最大值 .为了使 恒成立，应max13faxffa有 .所以 的取值范围是 .,评注：这道题的参考答案的解法是令 ,再去证明函数 的最小gxafxgx值 .这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数 ,要对参min0gx a数 进行分类讨论;其次为了判断 的单调性, 还要求 和 的解, 这a 0g个求解涉及到反余弦 ,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省arcos3去讨论. 再次体现了高观点解题的优越性.五、证明 成立，（其中 ）0,()fx0fa例：（2007年安徽卷 18题） 设 .2,1lnlafxx（）令 ，讨论 在 内的单调性并求极值；FfF0,
20、（）求证：当 时，恒有 .1x2lnl1xax（）略；（）证明：即证 ，由于 ，则 .由拉格朗日中值定0fx1x1fxff理得，存在 ，使得 .由（ ）的解题过程知1,fff，所以 .令 2lnafxx 22lnln1afxxxa得， .令 得， .故 在 上最01e01ef,小值 minaff.所以 .从而 .又 ，11220aaaeemin0ffx01fx则 成立，从而当 时， 成立.0fxx2lnl1a评注：这道题的参考答案是用（）中 在 内的极小值 得到Fx,2F.又 ，所以 .从而 在 上单调递增,故Ff10ff的最小值 ，所以 .但是如果没有（），fxminxf2lnl1ax很难想
21、到利用 来判断 的单调性.而用拉格朗日中值定理证明，就不 fx存在这个问题.六、证明 或 （其中 ）12fxf12ffx12x例：（2009年辽宁卷理 21题）已知函数 21()(1)ln,fxaxxa（）讨论函数 的单调性；()f（）证明：若 ，则对任意 ， ，有 .5a12,0,x12x12()1fxf（）略；（） .由（）得， .所以要证12()fxff 1afxx成立，即证 .下面即证之.12()f 1a令 ，则 .由于2(1)ga245a，所以 .从而 在 恒成立.也即 .又15a00gR21， ，故 .则 ，即2,x12,x2a，也即 .f12()1fxf评注：这道题（）小题存在两
22、个难点：首先有两个变量 ；其次 的值是变12,xa化的.参考答案的解法是考虑函数 .为什么考虑函数 ？gxfxgfx很多考生一下子不易想到.而且 的放缩也不易想到 .拉格朗日中值定理是数学分析的一个重要定理.是解决函数在某一点的导数的重要工具.近年来，不少高考压轴题以导数命题，往往可以用拉格朗日中值定理求解. 固然，这些压轴题用初等数学的方法也可以求解.但初等数学的方法往往计算量较大 .这时，用拉格朗日中值定理交易解决.充分体现了高等数学的优越性，有力反驳了 “高数无用论”的错误的想法.从而使学生感受到高等数学与初等数学的联系，增加学习的兴趣 .从以上六道题目与参考答案不同的解法中，我们可以感受到高等数学对初等数学具有居高临下的指导作用.近几年，高观点下的高考命题颇受命题者的青睐 .因此加强对高等数学的研究就显得很有必要.参考文献【1 】 中值定理“下嫁”高考（百度文库）【2 】 罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数的应用（百度文库）【3 】 拉格朗日中值定理的应用（百度文库）如有违规之处，请立即联系本人删除。
