1、针对演练1. (2017 葫芦岛 )如图，ABC 内接于O ，AC 是直径，BCBA，在 ACB 的内部作ACF 30，且 CFCA，过点 F 作FH AC 于点 H，连接 BF.(1)若 CF 交 O 于点 G，O 的半径是 4，求 的长；AG (2)请判断直线 BF 与 O 的位置关系，并说明理由第 1 题图2. (2017 山西)如图，ABC 内接于O，且 AB 为O 的直径ODAB ，与 AC 交于点 E，与过点 C 的O 的切线交于点 D.(1)若 AC 4，BC2，求 OE 的长；(2)试判断 A 与CDE 的数量关系，并说明理由第 2 题图3. (2017 大连 )如图，AB 是
2、O 的直径，点 C 在O 上，AD 平分CAB ，BD 是O 的切线，AD 与 BC 相交于点 E.(1)求证： BDBE；(2)若 DE2，BD ，求 CE 的长. 5第 3 题图4. 如图，CD 为O 的直径，弦 AB 垂直于 CD，垂足为H，EAD HAD .(1)求证： AE 为O 的切线；(2)延长 AE 与 CD 的延长线交于点 P，过 D 作 DEAP ，垂足为 E，已知 PA2，PD 1，求O 的半径和 DE 的长第 4 题图5. (2017 绵阳) 如图，已知 AB 是O 的直径，弦 CDAB ，垂足为 H，与 AC 平行的O 的一条切线交 CD 的延长线于点 M，交 AB的
3、延长线于点 E，切点为 F，连接 AF 交 CD 于点 N.(1)求证： CACN；(2)连接 DF，若 cos DFA ，AN2 ，求O 的直径45 10第 5 题图6. 如图， O 的直径 AB4，BAC 30，AC 交O 于点D，D 是 AC 的中点(1)过点 D 作 DEBC，垂足为 E，求证：直线 DE 是O 的切线；(2)求 与线段 DE，BE 围成的阴影部分的面积BD 第 6 题图7. 如图，过正方形 ABCD 顶点 B，C 的O 与 AD 相切于点E，与 CD 相交于点 F，连接 EF.(1)求证： EF 平分BFD；(2)若 tanFBC ，DF ，求 EF 的长34 5第
4、7 题图8. (2017 北京 )如图，AB 是O 的一条弦，点 E 是 AB 的中点，过点 E 作 ECOA 于点 C，过点 B 作O 的切线交 CE 的延长线于点 D.(1)求证： DBDE; (2)若 AB12，BD 5，求O 的半径第 8 题图9. 如图，在 ABC 中，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 D，点E 在 O 上，且 ，连接 BD，CBD CAB.AE BE (1)求证： BC 是O 的切线；(2)若 sinAED ，AE3 ，求 BC 的长及图中阴影部分的面12 2积第 9 题图10. (2017 青海) 如图，在ABC 中，ABC 90 ，以 AB 为直径作O 交
5、AC 于点 D，点 E 在 BC 边上，且满足 EBED.(1)求证： DE 是O 的切线；(2)连接 AE，若C 45，AB 10 ，求 sinCAE 的值2第 10 题图11. (2017 泉州三模) 如图，已知点 D 在O 的直径 AB 延长线上，点 C 在 O 上，过 D 作 EDAD，与 AC 的延长线相交于 E，且CD DE.(1)求证： CD 为O 的切线；(2)若 AB12，且 BCCE 时，求 BD 的长第 11 题图12. (2017 聊城) 如图，O 是ABC 的外接圆，点 O 在 BC 边上，BAC 的平分线交O 于点 D，连接 BD，CD.过点 D 作 BC 的平行线
6、，与 AB 的延长线相交于点 P.(1)求证： PD 是O 的切线；(2)求证： PBDDCA；(3)当 AB6，AC8 时，求线段 PB 的长第 12 题图答案1.解：(1) 如解图，连接 OG，第 1 题解图ACF30，AOG2ACF 60，O 的半径是 4，l ；AG nr180 604180 43(2)直线 BF 与O 相切，理由如下：如解图，连接 OB，AC 是O 的直径，ABC90，BCBA，OCOA，BO AC，BO AC，12BOC90，FH AC，FHCBOC90，BO FH，在 RtFHC 中，ACF 30，FH CF，12BO AC，CFCA，12BO FH，BO FH，
7、四边形 BOHF 是平行四边形FHC90，平行四边形 BOHF 是矩形，FBO 90，OB BF，OB 是O 的半径，直线 BF 与O 相切2.解：(1) AB 是O 的直径，ACB90，AC4，BC2，在 RtABC 中，AB 2 ，AC2 BC2 42 22 5AO AB 2 ，12 12 5 5ODAB，AOE ACB90，又A A ，AOE ACB， ，OECB AOACOE ；CBAOAC 254 52(2)CDE 2A，理由如下：如解图，连接 OC，第 2 题解图OA OC，1A，CD 是O 的切线，OCD90，2CDE90，ODAB，2390，3CDE，3A12A，CDE2A.3
8、. (1)证明：BD 是O 的切线，ABD 90，DAB D90.AB 是O 的直径，ACB90，CAECEA90，AD 平分CAB ，CAEDAB，CEAD.CEADEB，DDEB ，BD BE；(2)解： 如解图，设 AD 与O 交于点 F，连接 BF，第 3 题解图AB 是O 的直径，AFB90，BD BE，BF AD ，DF EF DE 21.12 12在 RtBDF 中，由勾股定理得 BF2.DFB 90，DDBF 90，DDAB 90，DBF DAB ，DD，DBF DAB， ，DBDF DADBDB 2DFDA，即( )21 DA，解得 DA5，5AEDADE3.CBFE，AEC
9、 BEF，AECBEF， ，即 ，AEBE ECEF 35 CE1解得 CE .3554. (1)证明：如解图，连接 OA，第 4 题解图ABCD，AHD90，HADODA 90.OA OD ，OADODA .又EAD HAD ，EAD OAD HADODA90，OA AE.又OA 是O 的半径，AE 为O 的切线；(2)解： 设 O 的半径为 x，在 RtAOP 中，OA2 AP2OP 2，即 x22 2 (x1) 2，解得：x ，32O 的半径为 .32DE AP，OAAP，OA DE，PED PAO， ，DPOP DEOA即 ， .DPOD DP DEOA 152 DE32解得 DE .
10、355. (1)证明：如解图，连接 OF，第 5 题解图ME 与 O 相切于点 F，OF ME，即OFNMFN90，OFNOAN，OANANH90，MFN ANH，又MEAC ，MFN NAC，ANHNAC，CACN；(2)解： cosDFA ，45cos ACD .45在 RtAHC 中，设 AC5a，HC4a，则 AH3a，由(1)知 CACN，NH a，在 RtANH 中，AH 2NH 2AN 2，即(3 a)2a 2(2 )2，解得 a2，10AC10，HC8，AH6，如解图，连接 OC，在 RtOHC 中，由勾股定理得 OH2HC 2OC 2，设O 的半径为 R，则(R6) 28 2
11、R 2，解得 R ，253O 的直径为 .5036. (1)证明：如解图，连接 OD，D 是 AC 的中点，O 是 AB 的中点，DO 是ABC 的中位线，ODBC，则EDOCED，又DE BC，CED90，EDOCED90，ODDE，OD 是O 的半径，DE 是O 的切线；(2)解： 如解图，连接 BD，AB 是O 的直径，ADB 90，BAC30，AB4，BOD2BAC 60，OB OD ，OBD 是等边三角形，ODBBOD 60，OB OD BD2，EDO90，BDE 30，在 RtBDE 中，BE1，DE ，3S 阴影 S 四边形 ODEBS 扇形 OBD （ 1 2） 32 6022
12、360 .332 237. (1)证明：如解图，连接 OE，第 7 题解图C90 ，BF 是O 的直径，O 与 AD 相切于点 E，OE AD，四边形 ABCD 是正方形，CD AD，OE CD，EFD OEF ，OE OF，OEF OFE ，OFE EFD ，EF 平分 BFD；(2)解： 如解图，设 AB 交O 于点 P，连接 PF，BF 是O 的直径，BPF90，四边形 BCFP 是矩形，PFBC，tanFBC ，34设 CF3x， BC4x，3x 4x，解得 x ，5 5AD BC4 ，5AE 是O 的切线，OE AD，DF OEAB ，DE AEOFOB11，DE AD2 ，12 5
13、EF 5.DE2 DF28. (1)证明：CD OA，1390.BD 为O 的切线，OBBD ，2590.OA OB, 12，53，又34，45，DB DE；(2)解： 如解图，过点 D 作 DFBE 于点 F，延长 AC 交O 于点 G，连接 BG.第 8 题解图AB12， E 为 AB 中点，AEBE AB6.12在BDE 中，DEBD , DFBE，BFEF BE3.12在 RtDEF 中，EF3，DE BD5，DF 4，DE2 EF2cos EDF .45在 RtAEC 与 RtDEF 中，34, AECDEF，1EDF ，cos 1cos EDF .45在ABG 中，AG 为直径，A
14、BG 90，在 RtABG 中，AB12，cos 1 ，45 ABAGAG 15，OA AG ，12 152O 的半径为 .1529. (1)证明：AB 是 O 的直径，ADB 90，CABABD90，又CBDCAB，CBDABD 90，即ABC90，又AB 为 O 的直径，BC 是O 的切线；(2)解： 如解图，连接 OE，OD，第 9 题解图 ，且 AB 为O 的直径，AE BE AOE 90，AE3 ，2OA OE3 sin453 3，AB6，2 222又sin AED ，12AED 30ABD 30，BAC60，BOD2BAC 120，BCABtan606 6 ，3 3AD ABsin
15、306 3，12BD ABcos306 3 ，32 3S ABC ABBC 66 18 ，12 12 3 3SABD ADBD 33 ，12 12 3 932如解图，过点 O 作 OFBD 交 BD 于点 F，则 OFOBsin303 ，12 32S 弓形 BDS 扇形 BODS OBD 3 12032360 12 3 323 ，934S 阴影 S ABC S ABD S 弓形 BD18 (3 )3932 934 3.633410. (1)证明： 如解图，连接 OD，OE.第 10 题解图在ODE 和OBE 中，OD OBDE BEOE OE)ODEOBE (SSS)，又OBE 90 ，ODE
16、90，ODDE，OD 为O 的半径，DE 是O 的切线；(2)解： 如解图 ，过点 E 作 EFAC 于点 F，连接 BD.第 10 题解图在 RtABC 中，C 45，CAB45，AB10 ，2BC10 .2AB 为O 的直径，ADB BDC90.又在CBD 中，C45，DBC904545，DBCC，DC DB，EBED，EDB EBD 45 ，DEB 90，DE BC，EBEC BC5 .12 2在 RtABE 中，AE 5 ，AB2 EB2 （ 102） 2 （ 52） 2 10EF EC5，22在 RtAFE 中，sin CAE .EFAE 5510 101011. (1)证明： 如解
17、图，连接 OC，第 11 题解图AB 为O 的直径，ACB90.BCDECD90.在 RtADE 和 RtABC 中，E 90A，ABC90A，E ABC .OB OC，ABCOCB，E OCB.又CD DE，E ECD，OCBECD，OCBBCD90.即 OCCD，OC 为O 的半径，CD 为O 的切线；(2)解： 由(1)知：OCB DCE，OB OC，CDDE，OBCOCBDCEE，在OBC 和DCE 中， OBC DCEBC CE OCB E)OBCDCE(ASA) ，OB CD6；在 RtOCD 中，OD 6 ，62 62 2BD OD OB 6 6.212. (1)证明： 如解图，
18、连接 OD，第 12 题解图圆心 O 在 BC 上，BC 是O 的直径，BAC90，AD 平分BAC ，BAC2DAC.DOC2DAC，DOCBAC90，即 ODBC.PD BC，ODPD.又OD 是O 的半径，PD 是O 的切线；(2)证明： PDBC，P ABC .又ABCADC，P ADC.PBD ABD 180 ，ACDABD180，PBD ACD，PBD DCA；(3)解： ABC 是直角三角形，BC 2AB 2AC 26 28 2100，BC10.OD 垂直平分 BC，DB DC.BC 是O 的直径，BDC90.在 RtDBC 中，DB 2DC 2BC 2，即 2DC2BC 2100，DC DB5 .2PBD DCA， ，PBDC BDCAPB .DCBDCA 52528 254
