1、针对演练1. (2018 原创)如图，已知抛物线 yax 2bx 4(a0)的对称轴为直线 x 3，抛物线与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点C，已知 B 点的坐标为(8，0)(1)求抛物线的解析式；(2)点 M 为线段 BC 上方抛物线上的一点，点 N 为线段 BC 上的一点，若 MNy 轴，求 MN 的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使 ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由第 1 题图2. (2018 原创) 如图，抛物线 y x2bxc 与 x 轴交于 A(3，0)，13B( 1，0)两点，过点 B 作直线 BCx
2、轴，交直线 y2x 于点 C.(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点 D 的坐标，并判断顶点 D 是否在直线y2x 上；(3)点 P 是抛物线上一动点，是否存在这样的点 P(点 A 除外)，使PBC 是以 BC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 2 题图3. 如图，抛物线 yax 2bx 过 A(4，0) ，B(1，3)两点，点C， B 关于抛物线的对称轴对称，过点 B 作直线 BHx 轴，交 x 轴于点 H.(1)求抛物线的表达式；(2)点 P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当ABP 的面积为 6 时，求出点 P 的坐标；(
3、3)若点 M 在直线 BH 上运动，点 N 在 x 轴上运动，是否存在以C， M，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出 M 的坐标第 3 题图4. (2017 重庆 A 卷) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2 x 与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ，与 y 轴33 233 3交于点 C，对称轴与 x 轴交于点 D，点 E(4，n)在抛物线上(1)求直线 AE 的解析式；(2)如图 ，点 P 为直线 CE 下方抛物线上的一点，连接PC，PE.当 PCE 的面积最大时，连接 CD，CB，点 K 是线段 CB的中点，点 M 是 CP
4、 上的一点，点 N 是 CD 上的一点，求KMMNNK 的最小值；(3)点 G 是线段 CE 的中点将抛物线 y x2 x 沿 x 轴33 233 3正方向平移得到新抛物线 y，y经过点 D， y的顶点为点 F.在新抛物线 y的对称轴上，是否存在点 Q，使得FGQ 为等腰三角形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由第 4 题图答案针对演练1.解：(1) 根据题意得， 3，b2a即 b6a，则抛物线的解析式为 yax 26ax4，将 B(8，0) 代入得，064a48a4，解得 a ，b ，14 32抛物线的解析式为 y x2 x4；14 32(2)设直线 BC 的解析式为 yk
5、x d，由抛物线解析式可知：当 x0 时，y 4，即点 C(0，4)，将 B(8，0)，C(0，4)代入得：则 84kd，解得 ，k 12d 4)直线 BC 的解析式为 y x4，12设点 M 的横坐标为 x(0x8)，则点 M 的纵坐标为 x2 x4，点 N 的纵坐标为 x4，14 32 12点 M 在抛物线上，点 N 在线段 BC 上，MNy 轴，MN x2 x4 ( x4)14 32 12 x2 x4 x414 32 12 x22 x14 (x4) 24，14当 x4 时， MN 的值最大，最大值为 4；(3)存在理由如下：令 x2 x40，14 32解得 x1 2，x 28，A(2，0
6、)，又C(0，4)，由勾股定理得，AC 2 ，22 42 5如解图，过点 C 作 CD对称轴于点 D，连接 AC.第 1 题解图抛物线对称轴为直线 x3，则 CD3，D(3，4)当 ACCQ 时，DQ ，CQ2 CD2 （ 25） 2 32 11当点 Q 在点 D 的上方时，点 Q 到 x 轴的距离为 4 ，11此时，点 Q1(3，4 )，11当点 Q 在点 D 的下方时，点 Q 到 x 轴的距离为 4 ，11此时点 Q2(3，4 )；11当 AQCQ 时，点 Q 为对称轴与 x 轴的交点， AQ5，CQ5，32 42此时，点 Q3(3，0) ；当 ACAQ 时，AC2 ，点 A 到对称轴的距
7、离为 5，2 5，5 5不可能在对称轴上存在 Q 点使 ACAQ，综上所述，当点 Q 的坐标为(3，4 )或 (3，4 )或(3，0)11 11时，ACQ 为等腰三角形2.解：(1) y x2bxc 与 x 轴交于 A(3，0)，B( 1，0)两点，13 ，1332 3b c 013（ 1） 2 b c 0)解得 ，b 23c 1)抛物线的解析式为 y x2 x1；13 23(2)a ， b ，c 1，13 23抛物线的顶点 D 的坐标为( ， )，b2a 4ac b24ax D 1， 23213yD ，413（ 1） （ 23） 2413 43D(1， )43把 x1 代入 y2x 中得 y
8、2， 2，43顶点 D 不在直线 y2x 上；(3)存在理由如下：如解图，过点 C 作 x 轴的平行线，与该抛物线交于点 P1，P 2，连接 BP1， BP2.第 2 题解图直线 BCx 轴，P 1BC、P 2BC 都是直角三角形把 x1 代入 y2 x 中得：y2(1)2，C (1，2)把 y2 代入 y x2 x1 中得 x2 x12，13 23 13 23解得 x1 1，x 2 1.10 10P 1( 1，2) ，P 2( 1，2)10 103.解：(1) 把点 A(4，0)，B(1，3)代入抛物线 yax 2bx 中，=64.3ab=-得 ， 解 得抛物线表达式为 y x24x；(2)
9、如解图 ，过点 P 作 PDBH 交 BH 于点 D，连接BP，AP，第 3 题解图设点 P(m， m24m )，根据题意，得：BHAH3，HD m 24m ，PDm1，S ABP S ABH S 四边形 HAPDS BPD ，即 6 33 (3m1)( m24m) (m1)(3m 24m )，12 12 123m 215m0，解得 m10(舍去) ，m 25，点 P 坐标为(5 ，5) ；(3)存在以点 C，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：当CMN90时，(i)以点 M 为直角顶点且 M 在 x 轴上方时，如解图，CMMN，CMN90，第 3 题解图易得CBMMH
10、N，抛物线的对称轴为 x2，点 C、B 关于抛物线对称轴对称，C (3，3)，MHBC2，M (1，2)；(ii)以点 M 为直角顶点且 M 在 x 轴下方时，如解图，作辅助线，构建如解图所示的 RtNEM，RtCBM，第 3 题解图易得 RtNEMRt CBM，ENCB2，M (1， 2)；当CNM90时，(i)以点 N 为直角顶点且 N 在 y 轴左侧时，如解图，CN MN ，MNC 90，作辅助线，构建如解图所示的 RtNEM， RtCDN ，第 3 题解图易得 RtNEMRt CDN ，BD EMDNBH3，ENCD 235，M (1， 5)；(ii)以点 N 为直角顶点且 N 在 y
11、 轴右侧时，如解图 ，作辅助线，构建如解图所示的 RtNEM，RtCDN ，第 3 题解图易得 RtNEMRt CDN ，EMDNBH 3，ENCD 321，M (1， 1)；以 C 为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；综上所述：存在点 M，使以 C，M，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形，且点 M 的坐标为(1，2) 或(1， 2)或(1，5) 或(1，1) 4.解：(1) 当 y0 时，即 x2 x 0，33 233 3解得 x1 1，x 23，A(1，0)，B(3 ，0)，当 x4 时， n 42 4 ，33 233 3 533点 E(4， )，533设直线 AE 的解析式为
12、 ykx b(k 0)，把 A(1， 0)，E(4 ， )代入得，533， k b 04k b 533)解得 ，k 33b 33)直线 AE 的解析式为 y x ；33 33(2)在 y x2 x 中，令 x0，得 y ，33 233 3 3点 C(0， )，3点 E(4， )，533直线 CE 的解析式为 y x ，233 3如解图，过点 P 作 PHy 轴，交 CE 于点 H，第 4 题解图设点 P 的坐标为 P(t， t2 t )，则 H(t， t )，33 233 3 233 3PH t ( t2 t ) t2 t，233 3 33 233 3 33 433S PCE |xEx C|P
13、H 12 124( t2 t) t2 t，33 433 233 833 0，233抛物线开口向下，0t4，当 t 2 时，S PCE 取得最大值，8332（ 233）此时，点 P 为(2 ， )，3点 C(0， )，B(3，0)，K 是线段 CB 的中点，3K ( ， )，32 32yCy P ，3PCx 轴，如解图，作 K 关于 CP 的对称点 K1，则 K1( ， )，32 332第 4 题解图tanOCB ，33 3OCB60，抛物线 y x2 x 的对称轴为 x 1，33 233 3 1 32D(1，0)，tanOCD ，13 33OCD30，DCBOCBOCD30，OCDDCB30，
14、CD 平分OCB，点 K 关于 CD 的对称点 K2 在 y 轴上，又CK OC ，3K 2 与点 O 重合，连接 OK1，交 CD 于点 N，交 CP 于点 M，KMMNNKK 1MMNON，根据“两点之间，线段最短”可得，此时 KMMNNK 的值最小，K 1K2OK 13，（ 32） 2 （ 332） 2KMMNNK 的最小值为 3；(3)存在点 Q，使得FGQ 为等腰三角形，且点 Q 的坐标为(3， )或(3 ， )或(3 ， )或(3，2 )235 43 2213 43 2213 3【解法提示】C(0， )，E(4， )，G(2 ， )，新抛3533 33物线 y是原抛物线 y x2
15、x (x1) 2 沿 x 轴正方33 233 3 33 433向平移得到的，且 y经过点 D，抛物线向右平移了 AD1(1)2 个单位，y (x12) 2 (x3) 2 ，新抛物33 433 33 433线的顶点坐标为 F(3， )，对称轴为 x 3，若在新抛物线的对433称轴上存在点 Q，使得FGQ 为等腰三角形，设 Q 点坐标为Q(3，m)，则 FQ2( m )2m 2 m ，GQ 21(m )433 833 163 332m 2 m ，FG 21( )2 ，当 FQGQ 时，233 43 33 433 283m2 m m 2 m ，解得 m ，此时 Q1(3， )；833 163 233 43 235 235当 FQFG 时，m 2 m ，解得 m ，此833 163 283 432213时 Q2(3， )，Q 3(3， )；当 GQFG 时， 43 2213 43 2213m2 m ，解得 m12 ，m 2 ，此时 Q4(3，2 )，233 43 283 3 433 3Q5(3， )(与 F 点重合，舍去)综上所述，存在点 Q，使得433FGQ 为等腰三角形，且点 Q 的坐标为(3， )或(3，235)或(3， )或(3，2 ) 43 2213 43 2213 3
