1、类型三 与等腰三角形有关的问题1. (2017 重庆 A 卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2 x 与 x33 233 3轴交于 A，B 两点( 点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，对称轴与 x 轴交于点D，点 E(4， n)在抛物线上(1)求直线 AE 的解析式；(2)点 P 为直线 CE 下方抛物线上的一点，连接 PC，PE.当PCE 的面积最大时，连接 CD，CB，点 K 是线段 CB 的中点，点 M 是 CP 上的一点，点 N 是 CD 上的一点，求 KMMNNK 的最小值；(3)点 G 是线段 CE 的中点将抛物线 y x2 x 沿 x 轴正方向平移得33 2
2、33 3到新抛物线 y，y 经过点 D，y的顶点为点 F.在新抛物线 y的对称轴上，是否存在点 Q，使得FGQ 为等腰三角形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由第 1 题图2. (2016 重庆 A 卷)如图 ，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2 x313 233与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 左侧)，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为点E.(1)判断ABC 的形状，并说明理由；(2)经过 B，C 两点的直线交抛物线的对称轴于点 D，点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一动点，当PCD 的面积最大时，点 Q 从点 P 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称
3、轴上点 M 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 y 轴上的点 N 处，最后沿适当的路径运动到点 A 处停止当点 Q 的运动路径最短时，求点 N 的坐标及点 Q 经过的最短路径的长；(3)如图，平移抛物线，使抛物线的顶点 E 在射线 AE 上移动，点 E 平移后的对应点为点 E，点 A 的对应点为点 A.将AOC 绕点 O 顺时针旋转至A 1OC1的位置，点 A，C 的对应点分别为点 A1，C 1，且点 A1恰好落在 AC 上，连接C1A，C 1E.AC 1E是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点 E的坐标；若不能，请说明理由第 2 题图3. (2018 原创) 如图，在平面直角坐
4、标系中，抛物线 yx 22x3 交 x 轴于A，B 两点(点 A 在点 B 左侧 )，与 y 轴交于点 C，顶点为 D，对称轴与 x 轴交于点 E.(1)判断直线 AC 与 CD 的位置关系，并说明理由；(2)点 P 是直线 AC 上方的抛物线上的一点，当PAC 面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得PAQ 的周长最小，若存在，求点 Q 的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图，设 DE 与 AC 相交于 F，将AEF 绕点 E 顺时针旋转 60.再向右平移(3 )个单位长度，得到A 1E1F1，其中点 F 的对应点为 F1，在抛物线的对3称轴上是否存在点 M，使得CMF 1是等腰三
5、角形，若存在，求点 M 的坐标；若不存在，说明理由第 3 题图4. (2017 重庆沙坪坝区一模)如图，抛物线 y x2 x3 与 x 轴相交于 A、B12 12两点(点 A 在点 B 的右侧)，已知 C(0， )，连接 AC.32(1)求直线 AC 的解析式(2)点 P 是 x 轴下方的抛物线上一动点，过点 P 作 PEx 轴交直线 AC 于点 E，交 x 轴于点 F，过点 P 作 PGAE 于点 G，线段 PG 交 x 轴于点 H.设lEP FH，求 l 的最大值23(3)如图，在 (2)的条件下，点 M 是 x 轴上一动点，连接 EM、PM ，将EPM沿直线 EM 折叠为 EP 1M，连
6、接 AP，AP 1，当APP 1是等腰三角形时，试求出点 M 的坐标第 4 题图5. 如图，抛物线 y x2 x 与 y 轴交于点 A，点 B 在第一象限抛物39 1139 3线上，直线 y xb 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 A，点 D 在 x 轴上，33BD6 ，ODB120，连接 OB、CB.(1)求点 A、C 两点的坐标；(2)设点 E 是第一象限 OB 上方抛线线上一动点，过点 E 作 EFy 轴交 OB 于点F，过 E 在 EF 的右侧作FEG BOD，交 OB 于点 G，求EFG 周长的最大值；(3)将直线 AC 沿 x 轴向右平移，平移过程中直线 AC 交直线 BC
7、于点 H，交 x 轴于点 K，在平移过程中，是否存在某一时刻，使KDH 为等腰三角形？若存在，求出平移后 C 的对应点 K 的坐标；若不存在，请说明理由第 5 题图 备用图6. (2018 原创)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2 x3 分别34 3 3交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴交于 C 点，顶点为 D.(1)如图，连接 AD，R 是抛物线对称轴上的一点，当 ARAD 时，求点 R 的坐标；(2)在(1)的条件下在直线 AR 上方，对称轴左侧的抛物线上找一点 P，过 P 作PQx 轴，交直线 AR 于点 Q，点 M 是线段 PQ 的中点，过点 M 作 MNAR 交抛物线对称
8、轴于点 N，当平行四边形 MNRQ 周长最大时，在抛物线对称轴上找一点 E，y 轴上找一点 F，使得 PEEFFA 最小，并求此时点 E、F 的坐标(3)如图，过抛物线顶点 D 作 DHAB 于点 H，将 DBH 绕着 H 点顺时针旋转得到DBH且 B落在线段 BD 上，将线段 AC 沿直线 AC 平移后，点 A、C对应的点分别为 A、C，连接 DC，DA，D C A能否为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点 A的坐标；若不能，请说明理由第 6 题图答案1. 解：(1)当 y0 时，即 x2 x 0，解得 x11，x 23，33 233 3A(1，0)，B(3，0) ，当 x4 时， n
9、42 4 ，33 233 3 533点 E(4， )，533设直线 AE 的解析式为：y kxb(k0) ，把 A(1，0)，E(4， )代入得， ，解得 ，533 k b 04k b 533) k 33b 33)直线 AE 的解析式为 y x ；33 33(2)在 y x2 x 中，令 x0，得 y ，33 233 3 3点 C(0， )，3点 E(4， )，533易求直线 CE 的解析式为 y x ，233 3过点 P 作 PHy 轴，交 CE 于点 H，如解图，第 1 题解图设点 P 的坐标为 P(t， t2 t )，则 H(t， t )，33 233 3 233 3PH t ( t2
10、t ) t2 t，233 3 33 233 3 33 433S PCE |xEx C|PH 4( t2 t) t2 t，(0t 4)12 12 33 433 233 833 0，233抛物线开口向下，当 t 2 时，S PCE 取得最大值此时，点 P 为(2， )，8332（ 233） 3点 C(0， )，B(3 ，0) ，由中点坐标公式得 K( ， )，332 32y C yP ，3PCx 轴，作点 K 关于 CP 的对称点 K1，如解图，则 K1( ， )，32 332tanOCB ，33 3OCB60 ，第 1 题解图抛物线 y x2 x 的对称轴为 x 1，33 233 3 23323
11、3D(1， 0)，tanOCD ，13 33OCD30 ，OCDDCB30 ，CD 平分OCB，点 K 关于 CD 的对称点 K2在 y 轴上，又CKOC ，3K 2与点 O 重合，连接 OK1，交 CD 于点 N，交 CP 于点 M，如解图，KMMNNK K 1MMNON，根据“两点之间，线段最短”可得，此时 KMMNNK 的值最小，K 1K2OK 1 3，（32）2 （ 332）2KMMNNK 的最小值为 3；(3)存在点 Q，使得 FGQ 为等腰三角形，且点 Q 的坐标为(3， )或(3，235)或(3， )或(3，2 ) 43 2213 43 2213 3【解法提示】C(0， )，E(
12、4， )，G(2 ， )，3533 33新抛物线 y是原抛物线 y x2 x (x1) 2 沿 x 轴正方向平33 233 3 33 433移得到的，且 y经过点 D，抛物线向右平移了 AD1(1)2 个单位，y (x12) 2 (x3) 2 .33 433 33 433新抛物线的顶点坐标为 F(3， )，对称轴为 x3，433若在新抛物线的对称轴上存在点 Q，使得FGQ 为等腰三角形，设 Q 点坐标为Q(3，m )，则 FQ2( m )2m 2 m ，GQ 21( m )2m 2 m ，433 833 163 33 233 43FG21 ( )2 ，33 433 283当 FQGQ 时，m
13、2 m m 2 m ，解得 m ，此时833 163 233 43 235Q1(3， )；235当 FQFG 时，m 2 m ，解得 m ，此时 Q2(3，833 163 283 432213)，Q 3(3， )； 43 2213 43 2213当 GQFG 时，m 2 m ，解得 m12 ，m 2 ，此时233 43 283 3 433Q4(3， 2 )，Q 5(3， )(舍去)3433综上所述，存在点 Q，使得FGQ 为等腰三角形，且点 Q 的坐标为(3， )235或(3， )或(3， )或(3，2 ) 43 2213 43 2213 32. 解：(1) ABC 为直角三角形，理由如下：在
14、抛物线 y x2 x3 中，令 y0，得 x2 x30，13 233 13 233解得，x 1 ，x 23 ，A( ，0)，B(3 ，0)3 3 3 3令 x0，得 y3，C(0，3)，AC 212，BC 236，AB 248，AC2BC 2AB 2，ABC 为直角三角形(2)设直线 BC 的解析式为 ykx b，将 B(3 ，0)，C(0，3)代入，得3， ，33k b 0b 3 ) k 33b 3 )直线 BC 的解析式为 y x3，33如解图，过点 P 作 PRy 轴交 BC 于点 R，设 P(t， t2 t3)，则 R(t， t3) ，13 233 33PR t2 t3( t3) t2
15、 t，13 233 33 13 3SPCD S PRC S PRD PRxR( xRx D) t2 t (t )212 36 32 36 3329380t3 ，3当 t 时，S PCD 取得最大值，此时 P( ， )，332 332 154将 P( ， )向左平移 个单位，得 P( ， )，连接 AP交 y 轴于点 N，过点332 154 3 32 154N 做 NM抛物线的对称轴于点 M，连接 PM，点 Q 沿 PMNA 运动，所走的路经最短，即最短路径的长为 PMMNAN.设直线 AP的解析式为 ymxn，将 A( ，0)，P ( ， )代入，得：332 154， ， 3m n 032m
16、n 154) m 536n 52)直线 AP的解析式为 y x ，536 52令 x0，得 y ，故 N(0， )，52 52点 Q 经过的最短路径等于 PMMNANAP MN .3374 3第 2 题解图(3)tanCAO ，3CAO60 ，OA OA1，AA 1O 为等边三角形，C 1OB30 ，C 1( ， )，332 32E( ，4) ， A( ，0)，3 3直线 AE 的解析式为 y x2，233设 A (t， t2) ，则 E (t2 ， t6)，233 3 233AE 228，A C 12 t2 t7，EC 12 t2 7 t21，73 733 73 3当 AC1EC 1时， t
17、2 t7 t27 t21，73 733 73 3解得，t ，故 E( ，5)，32 332当 AEA C1时 28 t2 t7，73 733解得 t ，3392t ，3t ，3 392E( ，7 )，53 392 13当 AEE C1时， t27 t2128，73 3解得 t ， 33 392t ，3t ， 33 392E( ，3 )，3 392 13综上所述，所有符合条件的点 E的坐标为( ，5)或( ，7 )或(332 53 392 13，3 )3 392 133. 解：(1)AC CD ，理由如下：对于抛物线 yx 22x3，令 y0 得 x22x30，解得 x13 ，x 21，点 A
18、的坐标为( 3，0) ，点 B 的坐标为(1，0)令 x0，得 y3，点 C 的坐标为(0 ，3)，化为顶点式得 y(x 1) 24，点 D 的坐标为(1，4)，AC 23 23 218，AD2(1 3)24 220，CD21 2(43) 22，AC 2CD 2AD 2，ACCD .(2)设直线 AC 的解析式为 ykx t，将点 A(3， 0)，C(0，3)代入得 ，解得 ， 3k t 0t 3 ) k 1t 3)直线 AC 的解析式为 yx 3.设过点 P 且平行 AC 的直线的解析式为 yx t 1，与抛物线联立得 ，y x2 2x 3y x t1 )整理得 x23 xt 130，PAC
19、 的面积最大，点 P 到 AC 的距离最大，直线 yxt 1与抛物线只有一个交点，一元二次方程 x23x t130 有两个相等的实数根，3 241(t 13) 0，解得 t1 ，214此时一元二次方程为 x2 3x 30，214解得 x ，32点 P 的坐标为( ， )，32 154点 B 的坐标为(1 ，0)，点 A 与点 B 关于直线 x 1 对称，点 Q 在直线 x1 上，QA QB，第 3 题解图当点 Q 为直线 BP 与直线 x1 的交点时，满足题意，设直线 PB 的解析式为 yk 2xb 2，将点 B、P 代入得 ，解得 ， 32k2 b2 154k2 b2 0 ) k2 32b2
20、 32)直线 BP 的解析式为 y x ，32 32令 x1，得 y3，点 Q 的坐标为(1，3)(3)对于直线 AC：y x3，当 x1 时，y2，点 F(1， 2)，设AEF 绕点 E 顺时针旋转 60得到AEF ，则AEA 60，AEF90，FEO 30，如解图，过 F作 FG x 轴于 G，第 3 题解图则 EFEF2，在 RtF EG 中，易得 EG ，F G1，3点 F的坐标为( 1，1)，3将AEF的向右平移 (3 )个单位，得到A 1E1F1，3则点 F1的坐标为(2 ，1)，CF 122 2(31) 28，设点 M 的坐标为( 1，m )，则 MC21(m3) 2，MF 12
21、3 2(m1) 2.若MCF 1是等腰三角形，则可按以下情况分类，()MCMF 1，即 1(m 3) 23 2(m1) 2，解得 m0，此时点 M 的坐标为( 1，0)；()MCCF 1，即 1(m3) 28，解得 m3 ，7此时点 M 的坐标为( 1，3 )，7(1， 3 )；7()MF 1CF 1，即 32(m1) 28，此时方程无解，即此时不存在这样的点 M.综上可知，存在点 M 使得MCF 1是等腰三角形，这样的点 M 有 3 个，坐标分别为( 1，0)，(1，3 )，( 1，3 )7 74. 解：(1)当 y0 时， x2 x30，解得 x1 3，x 22，12 12点 A 在点 B
22、 的右侧，A(2，0)、B(3，0) ；设直线 AC 的解析式为 ykx b，把 A(2，0)、C(0， )代入得 ，解得 ，32 2k b 0b 32 ) k 34b 32)直线 AC 的解析式为：y x ；34 32(2)在 RtACO 中，tanOAC ，COAO 34FPH PHF90 ， OACAHG90，PHF AHG，FPH OAC，tanFPHtanOAC ，34tanFPH ，FHFP FH FP FP，23 23 34 12设点 P(m， m2 m3)，12 12则 E(m， m )，34 32EP m2 m ，FP m2 m3，12 54 92 12 12于是 lEP F
23、HEP FP m2m3，23 12 14 0，14l m2m3 开口向下，对称轴 x 2，14 1 2（ 14）点 P 是 x 轴下方的抛物线上一动点，联立 得 ，y 12x2 12x 3y 34x 32， ) x1 92x2 2)3m2，当 m2 时，l 最大 4；(3)如解图，m 2 时，E (2，3)，P(2，2)，A(2，0)，EPEA 5，42 32当 P1PP 1A 时，AP 的中点为 K(0，1)，于是直线 EK 为 y2x 1，直线 EK 交 x 轴于 I( ，0)，EI ，IF ，12 352 32过点 M1作 M1JEK 于 J，则 EJEF3，IJ 3 ，352IEFIM
24、 1J， ，IM 1 3 .IEIM1 IFIJ 152 5M 1(3 8，0) ，5当 APAP 2时，AEPAEP 2，AEP AEP2，点 M2与点 A 重合，点 M2(2，0)当 P3PP 3A 时，由EFM 3M 1FE，得到 EF2FM 3FM1，FM 33 6，5点 M3(3 8，0) ，5当 P4PPA 时，作 M4QEP 4，设 M4QM 4Fx，在 RtP 4QM4中，P 4Q2QM 42P 4M42，2 2x 2(4x )2，x ，32OM 4 2 ，32 72点 M4( ， 0)72综上所述点 M1(3 8，0)，M 2(2，0)，M 3(3 8，0) ，M 4( ，0
25、)5 572第 4 题解图5. 解：(1)当 x0 时，y ，3A(0， )，3将 A(0， )代入 y xb 中，得 b ，333 3y x ，33 3当 y0 时， x3，C(3，0)；(2)延长 EF 交 x 轴于点 M，过点 B 作 BQx 轴于点 Q，如解图，第 5 题解图ODB 120，BDQ 60，BD 6，BQ 3 ，DQ3，3B 点的纵坐标为 3 ，3代入抛物线解析式可求得 B 点的横坐标为 9，B(9，3 )，3直线 OB 的解析式为 y x，33BOD 30，EFy 轴，EMx 轴，FEG BOD，EFG OFM，EG EF，FG EF，32 12C EFG EFEGFG
26、 EF，3 32设 E(m， m2 m )，F(m， m)，39 1139 3 33EFy Ey F m2 m m (m4) 2 ，39 1139 3 33 39 2539当 m4 时，C EFG 最大 ( ) .2539 3 32 25（1 3）6(3)设 DKa，AO ，OC3，3ACOHKO30.当 DHDKa 时，如解图，作 HNCD 于 N，第 5 题解图DHKDKH30 ，HDN60 ，ND a，HN a，CN3 a，12 32 12 ，解得 a2，HNCN32a3 a2 336K(8，0) ；当 KHKDa 时，如解图，作 HRDK 于 R，则 HR a，KR a，DRa a，1
27、2 32 32 ，解得 a ，HRCR12a3 a 32a 336 36 30313K( ，0)；114 30313当点 K 在点 D 左边时，设 DKKHa，同理可得 ，2a3 a 3a 336解得 a ，k( ，0)，213 946 1053 4546第 5 题解图HDKHKD，HDHK 不存在综上所述，满足要求的 K 点坐标为：(8，0)，( ，0)114 303136. 解：(1) 对于抛物线 y x2 x3 ，令 y0，得34 3 3 x2 x 3 0，解得 x2 或 6，34 3 3B(2，0)，A(6，0) ，y x2 x3 (x2) 24 ，34 3 3 34 3抛物线顶点 D
28、 坐标为(2，4 )，对称轴 x2，3设直线 AD 的解析式为 y kxb 则有 ，解得 ，2k b 436k b 0) k 3b 63)直线 AD 的解析式为 y x6 ，3 3ARAD，直线 AR 的解析式为 y x2 ，33 3点 R 坐标(2 ， )433(2)如解图中，设 P(m， m2 m3 )，则 Q(m， m2 )，34 3 3 33 3M(m， m2 m )，38 233 32由(1)可知 tanDAB ，434 3DAB60，DAQ 90，BAQ30，平行四边形 MNRQ 周长2( m2 m m2 )2(2m)cos 38 233 32 33 330 m2 m7 (m )2
29、 ，34 33 3 34 23 6439m 时，平行四边形 MNRQ 周长最大，此时 P( ， )，23 23 2039第 6 题解图如解图，作点 P 关于对称轴的对称点 M，点 M 关于 y 轴的对称点 N，连接AN 交 y 轴于 F，连接 FM 交对称轴于 E，此时 PEEFAF 最小第 6 题解图理由：PEEFAF EMFEAFFM AFFN AF AN，根据两点之间线段最短，可知此时 PEEFAF 最小M( ， )，N ( ， )，143 2039 143 2039直线 AN 的解析式为 y x ，点 F 坐标(0， )，5324 534 534直线 FM 的解析式为 y x ，532
30、4 534点 E 的坐标(2 ， )533(3)能如解图，由题意可知，DBH60，HB HB，BHB是等边三角形，BBBHHBDB 4，DBHBHB60，BD x 轴，D(8， 2 )，AC 3 OC2 OA2 （33）2 623 ，7C(0，3 )，A(6 ，0)，3直线 AC 的解析式为 y x3 ，32 3第 6 题解图当 CDAC3 时，设 C(m， m3 )，732 3(8 m)2(2 m3 )2(3 )2，332 3 7解得 m 或 ，38 23337 38 23337C ( ， )或( ， )，38 23337 23 31117 38 23337 23 31117把点 C向下平移
31、 3 个单位，向右平移 6 个单位得到 A，3此时 A的坐标为( ， )或80 23337 193 31117( ， )80 23337 193 31117当 ADAC 3 时，设 A(n， n3 )，732 3则(8 n)2(2 n3 )2(3 )2，332 3 7解得 n 或 ，38 23337 38 23337A( ， )或( ， )，38 23337 23 31117 38 23337 23 31117当 DCDA时，作 DMAC于 M，则直线 DM 的解析式为 y x233，1033由 解得 ，y 233x 1033y 32x 33) x 387y 237)点 M 的坐标( ， )，387 237把点 M 向下平移 ，向右平移 3 个单位即可得到 A( ， )332 597 17314综上所述，满足条件的点 A的坐标为( ， )或(80 23337 193 31117， )或( ， )或( ，80 23337 193 31117 38 23337 23 31117 38 23337)或( ， )23 31117 387 237
