1、类型四 与直角三角形有关的问题1. (2017 重庆南开一模)如图，抛物线 y x2 x3 与 x 轴交于点 A，点 B，12 52与 y 轴交于点 C，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m ，0)，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q.(1)求直线 BD 的解析式；(2)当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 交 BD 于点 M，当DQB 面积最大时，在 x 轴上找一点 E，使 QE EB 的值最小，求 E 的坐标和最小值；55(3)在点 P 的运动过程中，是否存在点 Q，使BDQ 是以 BD 为直角边的直角三角形？若存在，
2、求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由第 1 题图2. (2016 重庆 B 卷) 如图，二次函数 y x22x 1 的图象与一次函数12ykxb(k0) 的图象交于 A，B 两点，点 A 的坐标为(0，1)，点 B 在第一象限内，点 C 是二次函数图象的顶点，点 M 是一次函数 ykxb(k0)的图象与 x轴的交点，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 N，且 SAMO S 四边形 AONB148.(1)求直线 AB 和直线 BC 的解析式；(2)点 P 是线段 AB 上一点，点 D 是线段 BC 上一点，PDx 轴，射线 PD 与抛物线交于点 G，过点 P 作 PEx 轴于点 E，PFBC
3、 于点 F.当 PF 与 PE 的乘积最大时，在线段 AB 上找一点 H(不与点 A，点 B 重合)，使 GH BH 的值最22小求点 H 的坐标和 GH BH 的最小值；22(3)如图，直线 AB 上有一点 K(3，4)，将二次函数 y x22x 1 沿直线 BC12平移，平移的距离是 t(t0)，平移后抛物线上点 A，点 C 的对应点分别为 A，点 C；当 ACK 是直角三角形时，求 t 的值第 2 题图答案1. 解：(1)令 y0，即 x2 x30，解得 x1 6，x 21，12 52A(1，0)，B(6，0) ，当 x0 时， y3，则 C(0，3)，点 D 与点 C 关于 x 轴对称
4、，点 D 为(0 ，3) ，设直线 BD 的解析式为 y kxb，将 D(0，3)和 B(6，0)分别代入得，b 36k b 0)解得：k ， b3，12直线 BD 的解析式为 y x3；12(2)设点 P 的坐标为(m，0)，则点 Q(m， m2 m3) ，M(m， m3)12 52 12S QBD OBQM 6( m2 m3 m3) (m2) 224，12 12 12 52 12 32当 m2 时，QBD 的面积有最大值，此时 Q(2，6)，如解图所示，过点 E 作 EFBD ，垂足为点 F，第 1 题解图在 RtOBD 中，OB6， OD3，则 BD3 ，5sin EBFsinOBD ，
5、ODBD 55EF BE，55QE EBQEEF ，55当点 Q、E、F 在同一条直线上时， QE EB 有最小值55过点 Q 作 QFBD ，垂足为点 F，QF 交 OB 于点 E.设 QF的的解析式为 y 2xc，将点 Q 的坐标代入得4c6，解得c10，QF 的解析式为 y 2x10.当 y0 时， 2x100 ，解得 x5，点 E的坐标为(5 ，0)，即点 E 的坐标为(5，0)时 QE EB 有最小值，55QE EB 的最小值为 3 ；55 （5 2）2 （6 0）2 55 5 55 1655(3)当QDB90，DQ 的解析式为 y2x3，将 y2x3 与 y x2 x3 联立解得
6、x 或 x ，12 52 9 1292 9 1292点 Q 的坐标为( ，12 )或( ，12 )9 1292 129 9 1292 129当QBD 90时，QB 的解析式为 y2x 12，将 y2x12 与 y x2 x3 联立解得 x3 或 x6(舍去) ，12 52点 Q 的坐标为(3，6) 综上所述，点 Q 的坐标为( ，12 )或( ，12 )或9 1292 129 9 1292 129(3，6)2. 解：(1)由题易知 BN OA，OAM NBM， ( )2，S AMOS BMN AOBN ，S AMOS四 边 形 AONB 148 ，S AMOS BMN 149 ( )2，即 (
7、 )2，149 AOBN 149 1BNBN7，令 y7，则 x22x17，12解得 x16， x22，则 B(6，7)，N(6，0)，把 A(0，1)，B(6，7) 代入 ykx b 中，得 ，解得 ，b 16k b 7) k 1b 1)直线 AB 的解析式为 yx1; 抛物线 y x22x1 (x2) 21，12 12C(2，1) ，设直线 BC 的解析式为 yax c，把 B(6，7)，C(2，1)代入得，解得 ，6k b 72k c 1) k 2c 5)直线 BC 的解析式为 y2x 5.(2)设 P 点坐标为(m，m1)，则 D( ，m1)，PEm 1，PD ，m 62 6 m2设
8、BC 与 x 轴的交点为 Q，则 Q( ，0) ，52NQ ，BQ ，72 752PD ON，PDF BQN，又PFD BNQ90，PDF BQN， ，即 ，PDBQ PFBN6 m2752 PF7PF ，5（6 m）5PFPE (m1) m2 m ，5（6 m）5 55 5 655当 m 时，PE PF 的值最大，b2a 52此时 P( ， )，BP ，E( ，0)与 Q 点重合，52 72 722 52m 时，G(5， )，52 72如解图，以直线 AB 为对称轴，作点 G 的对称点 G，GG与 AB 交于点 R，过 G作 GHx 轴，交 BN 于点 S，交 AB 于点 H，此时点 H 就
9、是使 GH BH22的值最小的点在 RtPRG 中， PG ，RPGRGP45，52RPRG ，PG2 524易证RHG BHS HBS45，RH RG RG ，524GH ，PH ，52 522BH BPPH ，2HS BH1，22H(5， 6)，此时 GH BH 的最小值为 GSGHHS 1 .22 52 72第 2 题解图(3)如解图，过点 C 作 CDy 轴于 D，过 C作 CECD 于点 E，设 BC 与 y轴的交点为 F，则 F(0，5) ，C (2，1)，D(0，1)CCt，CD2，DF4，CF2 ，5易证C ECFDC， ，即 ，CEFD CECD CCCF CE4 CE2 t
10、25C E t，CE t，255 55C ( t2， t1)，A( t， t1)，55 255 55 255K(3，4) ，AC 2AC 22 22 28，AK 2( t3) 2( t3) 2t 2 t18，55 255 1855CK 2( t 1)2( t5) 2t 2 t26，55 255 2255第 2 题解图当C AK90 时，A C 2AK 2C K2，8t 2 t18t 2 t26，1855 2255解得 t0；当ACK90 时，A C 2C K2AK 2，8t 2 t26t 2 t18，2255 1855解得 t4 ；5当AKC90 时，A K2C K2AC 2，t2 t26t 2 t188，2255 1855解得 t2 或 t2 ；5 2 5 2故当ACK 为直角三角形时，t0 或 4 或 2 或 2 .5 5 2 5 2
