1、第 2 节 矩形、菱形、正方形(建议答题时间：60 分钟)基础过关1. (2017 益阳) 下列性质中，菱形不一定具有的性质是( )A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直C. 对角线相等 D. 既是轴对称图形又是中心对称图形2. (2017 广安)下列说法：四边相等的四边形一定是菱形；顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形；对角线相等的四边形一定是矩形；经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，其中正确的有( ) 个A. 4 B. 3 C. 2 D. 13. (2017 上海)已知平行四边形 ABCD，AC、BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断
2、这个平行四边形为矩形的是( )A. BACDCA B. BACDACC. BACABD D. BACADB4(2017 重庆八中一模) 在菱形 ABCD 中，对角线 AC8，BD6，则菱形的高为( )A. B. 5 C. D. 485 245 1255. (2017 重庆南岸区期末模拟)矩形的两条对角线的一个夹角为 60，对角线长为10，则这个矩形的面积为( )A. 25 B. 25 C. 50 D. 1003 3 36. (2017 兰州) 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，ADB 30 ，AB4，则 OC( )A. 5 B. 4 C. 3.5 D. 3第 6 题
3、图 第 7 题图7(2017 海南) 如图，在菱形 ABCD 中，AC8，BD6，则ABC 的周长( )A. 14 B. 16 C. 18 D. 208. (2017 山西 )如图，将矩形纸片 ABCD 沿 BD 折叠，得到BC D，CD 与 AB交于点 E.若135，则2 的度数为( )A. 20 B. 30 C. 35 D. 55 第 8 题图 第 9 题图9. (2017 淮安) 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB 3，点 E 在边 BC 上，将ABE沿直线 AE 折叠，点 B 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处，若EACECA，则 AC 的长是( )A. 3 B. 6 C. 4 D
4、. 5310. (2017 河北)求证：菱形的两条对角线互相垂直注 重 阐 述 依 据已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O.求证：ACBD. 以下是排乱的证明过程：又 BODO，AO BD，即 ACBD . 四边形 ABCD 是菱形，ABAD. 证明步骤正确的顺序是( )A. B. C. D. 第 10 题图11. (2017 陕西) 如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC3.若点 E 是边 CD 的中点，连接 AE，过点 B 作 BFAE 交 AE 于点 F，则 BF 的长为( )A. B. C. D. 3102 3105 105 355第 11 题图 第
5、12 题图12. (2017 攀枝花)如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC、CD 上，AEF 是等边三角形，连接 AC 交 EF 于点 G，过点 G 作 GHCE 于点 H，若 SEGH3，则 SADF ( )A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 13(2017 兰州) 在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，要使四边形 ABCD 是正方形，还需添加一组条件下面给出了四组条件：ABAD，且 ABAD ；ABBD，且 ABBD；OBOC，且OBOC；AB AD，且 ACBD .其中正确的序号是： _(写出所有正确的序号)14. (2017 六盘水 )
6、如图，在正方形 ABCD 中，等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD 上，则AEB_度第 14 题图 第 15 题图 第 16 题图15. (2017 徐州)如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD3，点 Q 在对角线 AC 上，且 AQ AD，连接 DQ 并延长，与边 BC 交于点 P，则线段 AP_16. (2017 重庆巴蜀一模) 如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC、CD 上，且EAF CEF45.若 AD9，CD8，则 EF 的长为_17. (2017 陕西 )如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为边 AD 和 CD 上的点，且 AECF，连
7、接 AF、CE 交于点 G.求证：AG CG.第 17 题图18. (2017 邵阳)如图所示，已知平行四边形 ABCD，对角线 AC，BD 相交于点O，OBCOCB. (1)求证：平行四边形 ABCD 是矩形；(2)请添加一个条件使矩形 ABCD 为正方形第 18 题图19. (2017 张家界)如图，在平行四边形 ABCD 中，边 AB 的垂直平分线交 AD 于点 E，交 CB 的延长线于点 F，连接 AF，BE .(1)求证：AGEBGF；(2)试判断四边形 AFBE 的形状，并说明理由第 19 题图20. (2018 原创 )在ABC 中，点 D 在 BC 边上，点 E 是线段 AD
8、的中点，过点A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F，连接 CF，若 AFDC .(1)求证：BDCD；(2)当四边形 ADCF 为正方形时，线段 AB 与 BC 有何数量关系？请说明理由第 20 题图21. (2017 盐城 )如图，矩形 ABCD 中，ABD、 CDB 的平分线 BE、DF 分别交边 AD、BC 于点 E、F .(1)求证：四边形 BEDF 为平行四边形；(2)当ABE 为多少度时，四边形 BEDF 是菱形？请说明理由第 21 题图22. (2018 原创)如图，在菱形 ABCD 中，延长 BD 到 E 使得 BDDE，连接AE，延长 CD 交 AE 于点 F.(1
9、)求证：AD2DF；(2)如果 FD2，C60，求菱形 ABCD 的面积第 22 题图23. (2017 北京)如图，在四边形 ABCD 中，BD 为一条对角线，ADBC，AD 2BC ，ABD 90 ，E 为 AD 的中点，连接 BE.(1)求证：四边形 BCDE 为菱形；(2)连接 AC，若 AC 平分BAD ，BC 1，求 AC 的长第 23 题图满分冲关1(2017 广东) 如图，已知正方形 ABCD，点 E 是 BC 边的中点，DE 与 AC 相交于点 F，连接 BF，下列结论： S ABF S ADF ；S CDF 4S CEF ；S ADF 2SCEF ；S ADF 2S CDF
10、 ，其中正确的是( )A. B. C. D. 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 2. 如图，在菱形 ABCD 中，AB5，AC8，点 P 是 AC 上的一个动点，过点P 作 EF 垂直于 AC 交 AD 于点 E，交 AB 于点 F，将AEF 沿 EF 折叠，使点 A落在点 A处，当ACD 是直角三角形时，AP 的长为_3. (2017 重庆八中二模) 如图，正方形 ABCD 中，E ，F 分别在 AB，BC 边上，且 DE AF 于点 G，H 为线段 DG 上一点，连接 AH，BH，BH 交 AF 于点 I，若GAH 45，GI1，正方形 ABCD 边长为 4，则AHD 面积为_第
11、4 题图 第 5 题图4(2017 潍坊) 如图，将一张矩形纸片 ABCD 的边 BC 斜着向 AD 边对折，使点B 落在 AD 上，记为 B，折痕为 CE，再将 CD 边斜向下对折，使点 D 落在 BC上，记为 D，折痕为 CG，BD2，BE BC. 则矩形纸片 ABCD 的面积为13_5(2017 重庆西大附中月考)如图，正方形 ABCD 中，AB6，点 E 为边 BC 的中点，连接 AE，将ABE 沿 AE 翻折，点 B 落在点 F 处，点 O 为对角线 BD 的中点，连接 OF 交 CD 于点 G，连接 BF、BG，则BFG 的面积是_6. (2017 杭州)如图，在正方形 ABCD
12、中，点 G 在对角线 BD 上( 不与点 B，D 重合)，GEDC 于点 E，GF BC 于点 F，连接 AG.(1)写出线段 AG，GE，GF 长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形 ABCD 的边长为 1，AGF 105 ，求线段 BG 的长第 6 题图7(2017 重庆沙坪坝区校级一模)如图，在菱形 ABCD 中，BAD 60 ，M 为对角线 BD 延长线上一点，连接 AM 和 CM，E 为 CM 上一点，且满足CBCE，连接 BE，交 CD 于点 F.(1)若AMB 30，且 DM3，求 BE 的长；(2)证明：AMCFDM.第 7 题图答案基础过关1. C 【解析】菱形所具有
13、的性质包括：对角线互相平分，对角线互相垂直，既是中心对称图形又是轴对称图形，而对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有2. C 【解析】根据菱形的判定定理，四边相等的四边形一定是菱形，故正确；由于矩形的对角线相等，根据三角形的中位线定理，可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四边都相等，由此可判定所得四边形是菱形，故错误；对角线相等的平行四边形是矩形，故选项错误；平行四边形是中心对称图形，根据中心对称图形的性质，经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等图形，面积必然相等，所以经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，故正确；综上所述正确的说法有 2 个3. C
14、 【解析】要使平行四边形变成矩形，可证两对角线相等四个选项中只有BACABD 符合4. C 【解析】本题考查了菱形的有关性质和菱形的面积计算，因为四边形ABCD 为菱形，所以ACBD，AO AC，BO BD，AB 2AO 2BO 2，AC8，BD6，AB12 125，由公式 S 菱形 ABCD ACBDABDE，得12865 DE，DE ，12 245第 4 题解图5. B 【解析】如解图，四边形 ABCD 为矩形，ABC90 ，AOBOCODO，BOC60，ACBBOC60，AC10，BC AC5，AB5 ，S 矩形 ABCDAB CB5 525 .12 3 3 3第 5 题解图6. B 【
15、解析】矩形 ABCD 中，AB4，ADB 30 ，BAD 90 ，BD 8，矩形对角线相等且互相平分，OC AC BD4.12 127. C 【解析】在菱形 ABCD 中，AC8，BD6，ABBC，AOB 90，AO4，BO 3，BCAB 5，42 32ABC 的周长AB BC AC55818.8. A 【解析】四边形 ABCD 是矩形，C90 ，CDAB，DBA 135，CBD55，由折叠性质可知CBDCBD55 ， 2CBDDBA20.9. B 【解析】由折叠可知，BAE EAC，EACECA，BAC2BCA，四边形 ABCD 是矩形，B90，3ACB90，ACB 30，AB3AC2AB6
16、.【一题多解】由折叠性质得 AFAB3，AFE ABE90，EACECA，EF EF ，AFECFE90，EFAEFC，FCAF 3， AC6.10. B 【解析】要证明 ACBD ，所以是第四步；由 ABAD 可知ABD 是等腰三角形，又由 BODO 结合等腰三角形三线合一的性质可得到结论，故是第二步，是第三步；而 ABAD 是根据四边形 ABCD 是菱形得到的，故是第一步，所以证明步骤正确的顺序是.11. B 【解析】在矩形 ABCD 中，CDAB2，AD BC 3，BAD D90 ，点 E 是边 CD 的中点，DE CD1，在 RtADE 中，12AE ，BFAE ，AFB90，AD2
17、DE2 32 1 10FAB ABF 90，FAB EAD 90，ABFEAD ，ABF EAD， ，则 ，解得 BF .ABAE BFAD 210 BF3 310512. A 【解析】如解图，由题易知， EAF60，EFAF AE，ABE ADF，BEDF，BAEDAF，CECF，AC 垂直平分 EF，CGEF，即EGH 是等腰直角三角形， GHBC，EH EC，S EGH S12 12 12EGC SECF ，即 SECF 4S EGH ，将ADF 旋转至ABF ，作 FKAE 于点14K，易知 FAE30，FK FA EF，S ADF S12 12 12AEF AEFK EF2，又 SE
18、CF EFGC EF2，S ADF SECF ，S 14 18 12 14 12ADF 2SEGH 236. 第 12 题解图13. 【解析】四边形 ABCD 是平行四边形， ABAD，平行四边形ABCD 是矩形，又AB AD，矩形 ABCD 是正方形，故 正确；ABBD，ABD 90，正方形对角线将一组内角平分为两个 45的角，四边形 ABCD 不是正方形，故不正确；四边形 ABCD 是平行四边形，AO CO，BODO，又OBOC，AOCO BODO，四边形 ABCD是矩形，又OBOC，即对角线互相垂直，矩形 ABCD 是正方形，故正确；四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ADBC，若
19、 ABAD，则ABCDAD BC ，四边形 ABCD 为菱形，又AC BD，菱形 ABCD 是正方形，故正确综上所述，其中正确的序号是.14. 75 【解析】四边形 ABCD 是正方形，ABAD，BD BAD90，在 RtABE 和 RtADF 中， ABEADF，BAE DAF(9060)2 15，AB ADAE AF)AEB 75.15. 【解析】AC 5，AQAD3，CQ 2.又17 42 32AD AQ， ADQ AQD .CQPAQD，ADQ CQP.ADBC，ADQCPQ，CQPCPQ，CP CQ2，BP321，AP .AB2 BP2 42 12 1716. 5 【解析】如解图，将
20、ABE 绕点 A 逆时针方向旋转 90，得到2AEB ， EAFCEF45，BAD90，E AF45 ，AEF AEF( SAS)，EFEF ，过点 E作 EGCF ，交 CF 的延长线于 G，则 EGB D981，设 CEx ，则CFx，DG EBBE9x，DF8x，GF9x 8x172x，又EF2CE 2CF 2，E F 2E G2GF 2CE 2CF 2EG 2GF 2，即 2x2(172x)21，整理得 x234x 145 0，解得 x129(舍)，x25，CECF5，EF 25 25 250，EF5 .2第 16 题解图17. 证明：四边形 ABCD 是正方形，ADF CDE90，A
21、DCD.AECF，DE DF，ADF CDE(SAS)，DAF DCE，又AGE CGF，AECF ，AGE CGF(AAS)，AG CG.18. (1)证明： 四边形 ABCD 是平行四边形，AD BC，DAO OCB，ADOOBC，又OBCOCB，DAO ADO ，OBOC，OA OD.OB ODOA OC ，即 ACBD，平行四边形 ABCD 是矩形(2)解：使矩形 ABCD 为正方形的条件为： ABBC .(答案不唯一)19. (1)证明： 在平行四边形 ABCD 中，AD CF，则AEG BFG，AB 的垂直平分线交 AD 于点 E，AG BG，又AGE BGF ，AGE BGF(A
22、AS)；(2)解：四边形 AFBE 为菱形理由如下：由(1)得 AEBF，AEBF, 则四边形 AFBE 为平行四边形，EF 垂直平分 AB，AEBE，四边形 AFBE 为菱形20. (1)证明： E 是 AD 的中点，AEDE.AF BC，FAE BDE，AFEDBE.在AFE 和 DBE 中， ， FAE BDE AFE DBEAE DE )AFE DBE(AAS)AFBD.AFDC，BD DC .(2)解：AB BC，22理由如下：四边形 ADCF 为正方形，AD DC 且 ADDC，由(1)知 BDCD，AD BD， AB BD，2BD BC，AB BC.12 2221. (1)证明：
23、 四边形 ABCD 是矩形ABDC，AD BC ，ABD CDB，BE 平分ABD ，DF 平分CDB，EBD ABD ，12FDB CDB，12EBD FDB，DF EB，又AD BC，四边形 BEDF 是平行四边形；(2)解：当ABE30 时，四边形 BEDF 是菱形，理由如下：BE 平分ABD ，ABD2 ABE 60，EBD ABE30，四边形 ABCD 是矩形，A90，EDB EBD30 ，EBED，又四边形 BEDF 是平行四边形，四边形 BEDF 是菱形22. (1)证明： 四边形 ABCD 是菱形，AD AB，CDAB ，BD DE，EFFA，DF 是 EAB 的中位线，AB2
24、DF，AD 2DF；(2)解：如解图，过点 D 作 DMAB ，FD 2，AB4，C 60，DAB60，DAB 为等边三角形，ADM30，AM 2，DM ，可得 DM2 ，AMtan30 3S 菱形 ABCDABDM42 8 .3 3第 22 题解图23. (1)证明： 在 RtABD 中，ABD90，点 E 为 AD 的中点，AEDEBE AD，12又AD 2BC，DE BC，又AD BC，四边形 BCDE 为平行四边形，又BEDE, 四边形 BCDE 为菱形；(2)解：如解图，连接 AC.第 23 题解图AC 平分BAD，12，又AD BC，13，23，ABBC，又AEBEBC，ABAEB
25、E ，ABE 为等边三角形，BAE 60，在 RtABD 中，ADB90 BAE 30 ，12ADB 30，在菱形 BCDE 中，ADC2ADB60，ACD180 1 ADC 90 ，又BC1，在菱形 BCDE 中， CDBC1，在 RtACD 中，AC CDtanADC .3满分冲关1. C 【解析】序号 逐个分析正误如解图，过点 F 分别作 FMAB，FPAD ，延长 MF、PF ，分别交 CD、BC 于点 N、Q，四边形 ABCD 是正方形，AB BC CDAD，AC 分别平分BAD、BCD，FM FP，FNFQ.S ABF ABFM，S 12ADF ADFP，S ABF S ADF12
26、第 1 题解图S CDF CDFN，S 12CEF CEFQ BCFQ CDFN SCDF ，S 12 12 12 12 12 12CDF2S CEF 4S CEFADBC，S ADF S CEF, S ADF S CEF ( ADCE)241，S ADF 4S CEF 2S CEF S CDF 2S CEF ，S ADF 4S CEF , S ADF 2S CDF 综上所述，结论正确，故选 C.2. 2 或 【解析】如解图，连接 BD 交 AC 于 O；四边形 ABCD 是菱形，78ABBCCDAD5，DACBAC，AC BD，OAOC4，OBOD，OB OD 3，EFAA ， EPAFPA
27、90，AB2 OA2EAP AEP90 ， FAP AFP90，AEP AFP，AEAF，AEF 是由 AEF 翻折，AEEA，AF FA，AEEAA FFA，四边形 AEAF 是菱形，APPA，分两种情况：当DA C90时，A与 O 重合，此时AA4，AP2；当A DC90时，设 APPAx ，则OA4 2x，ACBD， AODDOC90，由角的互余关系得：ADO DCO，AODDOC， ，即 ，解得 xOAOD ODOC 4 2x3 34，即 AP .78 78第 2 题解图3. 1 【解析】如解图，延长 DE 到 M，使 GMGH，连接7AM，BM，DEAF，GAH45，AHG45，AM
28、AH，AMH 45，MAH 90 ，MABHAD，可证MABHAD(SAS )，则 HDBM，AMB AHD135，DMB90 ，GI MB，DHMB 2GI2，设 AGx，则DG2x， AG 2DG 2AD 2，x 2 4 2，解得 x11 (舍)，(2 x)2 7x21 ，S ADH DHAG 2 1.712 12 ( 7 1) 7第 3 题解图4. 15 【解析】设 CDx ，则 CDx ，BCx2，则BE ，AEAB BE ，在 RtBAE 和 RtBDC 中，由勾股定x 23 2x 23理得 AB ，BD ，又（x 23 ）2 （2x 23 ）2 （x 2）2 x2ABB DBCx
29、2，即 x2，化简得（x 23 ）2 （2x 23 ）2 （x 2）2 x2x2 x0，解得 x3 或 x0(舍)，则 CD3，BC5，故面积为 15.49 435. 2.4 【解析】如解图，延长 GO 交 AB 于点 H，过点 F 作 PQBC 于点 Q，交 AD 于点 P，交 BD 于点 M，易证APFFQE， 2，设APFQ PFEQ AFEFPFx，则 EQ x，FQ6x，又 EQ2QF 2EF 2，即( )2(6x )23 2，解12 x2得x6(舍) 或 x3.6，PF3.6, FQ 2.4, EQ1.8, BQ4.8, PDCQ1.2，DM ，OMODDM3 ，又625 2 62
30、5 925FMPFPM3.61.22.4，且 ， ，DG4，HG 过点OMOD MFDG 92532 2.4DGO 易得 BHDG4，又 ， ，S BFGS BHG FGHG PDADS BFG1246 1.26即 SBFG 2.4.第 5 题解图6. 解：(1)AG 2GE 2GF 2；理由如下：如解图，连接 CG，四边形 ABCD 是正方形，ADG CDG45，ADCD，DGDG，ADG CDG，AG CG，又GE DC，GFBC，ECF90，四边形 CEGF 是矩形，CFGE，在 RtGFC 中，由勾股定理得，CG 2GF 2CF 2，AG 2 GE2 GF2；(2)过点 A 作 AMB
31、D 于点 M，GF BC，ABG GBC45，BAMBGF 45 ，ABM，BGF 都是等腰直角三角形，AB1，AM BM ，22AGF105，AGM60，tan 60 ，GM ，AMGM 66BG BMGM .22 66 32 66第 6 题解图7. (1)解：四边形 ABCD 是菱形，BAD 60 ，ABD， BCD 是等边三角形，ABD CBDADBBAD60，BABC，AMB30，ADB AMB DAM，DAM DMA30，BAM90，DA DM AB BCCE3，在BMA 和BMC 中， ，BM BM MBA MBCBA BC )BMABMC(SAS )，BCMBAM90，在 RtBCE 中，BE 3 ；BC2 CE2 2(2)证明：如解图，在 BD 上取一点 G，使得 BGDF，连接 CG 交 BE 于 O，第 7 题解图BG DF， CBGBDF，BDBC，GBCFDB ，BGCBFD ，DBFBCG，MGCBFC，COFCBOOCBCBODBF60，在COE 中，ECOEOCCEO180，在BCF 中，BFCCBFBCF180，CBCE，CBECEO，BCFCOE60，ECOBFCMGC，MCMG .由(1)可知BMABMC，AMMC MG，MG DGDM ，BD CD，BGDF ，DGCF，AMCFDM .
