1、3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示,高中数学选修2-1,第三章 空间向量与立体几何,引入课题,平面向量基本定理是什么？空间向量中有类似的结论吗？,如果 e1 ， e2 是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量 a ， 有且只有一对实数1，2，使 a = 1 e1 +2 e2 ( e1 ， e2 为平面内的一组基底).,平面向量基本定理又称为平面向量的分解定理 即：平面内任一向量可被此平面内两个不共线的向量所唯一分解.,三个不共面的向量 , , ,有且只有一组 有序实数x,y,z,知识点一：空间向量基本定理,如果三个向量 , , 不共面， 那么对空间任一向量 p ， 存
2、在唯一有序实数组x，y，z， 使得 p =x a +y b +z c . , , 为空间中的一个基底 , , 叫做基向量.,x a,y b,z c,(1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底. (2)基底不同，对于向量的分解形式不同.,设 e1 ， e2 ， e3 为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量 (称它们为单位正交基底)，以O为原点，分别 以 e1 ， e2 ， e3 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立 空间直角坐标系Oxyz. 对于空间任一向量 p ，可以把它平移到以原点O为起点， 得到 OP = p .由空间向量基本定理可知， 存在有序实数组x，y，z，使得 p = x e
3、1 + e2 +z e3 x，y，z称为向量 p 在单位正交基底下的坐标， 记作 p =(x，y，z) 此时向量 p 的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标.,知识点二：空间向量的坐标表示,x,y,z,Q,P,(x，y，z),(x，y，0),典例分析,以下四个命题中正确的是_ 空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示； 若 a ， b ， c 为空间的一个基底，则 a ， b ， c 全不是零向量； 如果向量 a ， b 与任何向量都不能构成空间的一个基底， 则一定有 a 与 b 共线； 任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底,典例分析,空间四边形OABC中，M，N是ABC，OBC的重心，设 a ， b ， c ，用向量 a ， b ， c 表示向量 ， ， .,A,C,B,O,P,N,M,a,c,b,利用线性运算，结合图形， 对向量进行分解,典例分析,在直三棱柱ABOA1B1O1中，AOB 2 ，AO4，BO2，AA14， D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求 、 1 的坐标,归纳小结,(1)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键， 解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用 (2)根据空间向量基本定理，任一向量都可表示为基向量的 线性关系式 三个基向量的对应系数即为向量在这个基底下的坐标 所以，求向量的坐标，关键是灵活应用基底表示该向量,
