1、,空间向量的正交分解及其坐标表示,共线向量定理:,复习：,共面向量定理:,平面向量基本定理：,平面向量的正交分解及坐标表示,问题：,我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？,一、空间向量的坐标分解,给定一个空间坐标系和向量 且设 为空间两两垂直的向量，设点Q为点P在 所确定平面上的正投影.,一、空间向量的坐标分解,由此可知,如果 是空间两两垂直的向量,那么,对空间任一向量 , 存在一个有序实数组 x,y,z使得 我们称 为向量 在 上的分向量.,空间向量基本定理：,都叫做基向量,探究：在空间中,如果用任意三
2、个不共面向量 代替两两垂直的向量 ,你能得出类似的 结论吗？,如果三个向量 不共面,那么对空间任一向量 ,存在有序实数组 ,使, 叫做空间的一个基底,（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.,特别提示：对于基底 ,除了应知道不共面，还应明确：,（2 ） 由于可视 为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是 .,（3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念.,二、空间直角坐标系,以 建立空间直角坐标系Oxyz,若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则,练习1 如图在边长为2的正方体
3、ABCD-A1B1C1D1中， 取D点为原点建立空间直角坐标系，O、M、P、Q 分别是AC、DD1、CC1、A1B1的中点，写出下列向 量的坐标.,（-2,0,1）,（1,1,2）,（2，-1,1）,【新知探究】,平面向量运算的坐标表示：,类 比推 广,空间向量运算的坐标表示：,例1已知,解:,【应用举例】,【新知探究】,平面向量运算的坐标表示：,类 比推 广,空间向量运算的坐标表示：,则,空间两点间的距离公式,【新知探究】,例1 设 且 是空间的一个基底,给出下列向量组 ,其中可以作为空间的基底的向量组有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个,分析:能否作为空间的基底,即是判断
4、给出的向量组中的三个下向量是否共面,由于 是不共面的向量,所以可以构造一个平行六面体直观判断,设 ,易判断出答案,C,例题讲解：,例题讲解,18,练习3,练习一：,2.求下列两个向量的夹角的余弦：,1.求下列两点间的距离：,例题：,例1 已知 、 ，求：（1）线段 的中点坐标和长度；,解：设 是 的中点，则,点 的坐标是 .,例2.正方体ABCDA1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、C1D1的一个四等分点，求：BE1与DF1所成角的余弦值.,【应用举例】,(1) 建立直角坐标系，,(2)把点、向量坐标化，,(3)对向量计算或证明。,例2.正方体ABCDA1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、C1D1的一个四等分点，,【应用举例】,变式1: E是A1B1的一个四等分点，求证：AEDF1.,E,所以AEDF1.,变式2: F是AA1的一个四等分点，求证：BFDF1.,F,即BFDF1.,例2.正方体ABCDA1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、C1D1的一个四等分点，,【应用举例】,G,变式3: G是BB1的一个四等分点，H为AA1上的一点，若GHDF1，试确定H点的位置.,H,即当H为AA1 的中点时，能使GHDF1.,证明:,设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系,
