1、1.强度（strength),构件抵抗破坏的能力,构件抵抗破坏的能力,2.刚度,3.稳定性（stability):,构件保持原有平衡状态的能力,在满足强度、刚度、稳定性的要求下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适宜的材料，而提供必要的理论基础和计算方法。,材料力学的任务,1-2 变形固体的基本假设 (The basic assumptions of deformable body ),一、连续性假设 (continuity assumption),物质密实地充满物体所在空间，毫无空隙。,二、均匀性假设（homogenization assumption),物体内，各处的力学性质
2、完全相同。,三、各向同性假设（isotropy assumption),组成物体的材料沿各方向的力学性质完全相同。,四、小变形假设（neglecting deformation assumption),材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形与原始尺寸 相比甚小，故对构件进行受力分析时可忽略其变形。,一、外力（external force),1. 按作用方式分,体积力 （body force),表面力 (surface force ),集中力(concentrated force),分布力(distributed force),2. 按随时间变化分,静载荷（static load),动载荷(dy
3、namic load),交变载荷（alternate load),冲击载荷（impact load),1-3 力、应力、应变和位移的基本概念 ( Basic concepts of force, stress, strain, and displacement),1.定义： 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间相互作用力（附加内力）。,二、内力（internal force),2. 内力的求法 截面法 (method of sections ),步骤 (procedures for analysis), 截开 在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二.,m,m,代替任取一部分，其弃去
4、部分对留下部分的作用，用作用在截 面上相应的内力（力或力偶）代替.,平衡,对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）.,m,m,三、应力（Stress),1.定义 (Definition)：由外力引起的内力的集度,2. 应力(Stress),平均应力,全应力（总应力）,全应力分解为,四 、变形和位移（deformation and displacement),1.变形（deformation）,在外力作用下物体形状和尺寸发生改变,2.位移（ displacement）,变形前后物体内一点位置的变化,3.应变 （strain
5、),度量构件一点处的变形程度,平均线应变 （mean normal strain),角应变 （shearing strain),线应变 (normal strain),C,O,D,C,D,轴向拉伸 (axial tension ),(b) 轴向压缩(axial compression),1.轴向拉伸和压缩(axial tension and compression),1-4 杆件变形的基本形式 (The basic forms of deformation),2.剪切(shear),3.扭转(torsion),4.弯曲 (bending),第二章 轴向拉伸和压缩,2-1 轴向拉压的概念及实例,
6、2-2 内力计算,2-3 应力及强度条件,2-4 材料在拉伸和压缩时的力学性能,2-5 拉压杆的变形计算,2-6 拉压超静定问题,2-7 剪切变形,三、变形特点(Character of deformation) 沿轴向伸长或缩短,二、受力特点(Character of external force)外力的合力作用线与杆的轴线重合,四、计算简图 (Simple diagram for calculating),轴向压缩 (axial compression),轴向拉伸 (axial tension),一、求内力 (Calculating internal force),设一等直杆在两端轴向拉力
7、 F 的作用下处于平衡,欲求杆件 横截面 m-m 上的内力.,22 内力计算 (Calculation of internal force),在求内力的截面m-m 处，假想地将杆截为两部分.,取左部分部分作为研究对象.弃去部分对研究对象的作用以截开面上的内力代替，合力为FN .,1.截面法(Method of sections),（1）截开,（2）代替,对研究对象列平衡方程,FN = F,式中：FN 为杆件任一横截面 m-m上的内力.与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心,称为轴力(axial force).,（3）平衡,若取 右侧为研究对象，则在截开面上的轴力与部分左侧上的轴力 数值相等
8、而指向相反.,m,m,F,F,2.轴力符号的规定 (Sign convention for axial force),m,F,F,（1）若轴力的指向背离截面， 则规定为正的，称为拉力 (tensile force).,（2）若轴力的指向指向截面， 则规定为负的，称为压力 (compressive force).,二、轴力图(Axial force diagram),用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置,用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值,从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线,称为轴力图 . 将正的轴力画在x轴上侧,负的画在x轴下侧.,例题 1 一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图
9、.,C,A,B,D,600,300,500,400,E,40kN,55kN,25kN,20kN,解: 求支座反力,求AB段内的轴力,FN1,求BC段内的轴力,20kN,求CD段内的轴力,C,A,B,D,E,求DE段内的轴力,FN1=10kN （拉力）FN2=50kN （拉力） FN3= - 5kN （压力）FN4=20kN （拉力）,发生在BC段内任一横截面上,2-3 应力及强度条件 (Stress and strength condition),一、横截面上的正应力(Normal stress on cross section),1.变形现象(Deformation phenomenon),
10、（1） 横向线ab和cd仍为直线,且仍然垂直于轴线;,（2） ab和cd分别平行移至ab和cd , 且伸长量相等.,结论：各纤维的伸长相同,所以它们所受的力也相同.,2.平面假设 (Plane assumption)变形前原为平面的横截面,在变形后仍保持为平面,且仍垂直于轴线.,3.内力的分布(The distribution of internal force),FN,均匀分布(uniform distribution),式中, FN 为轴力,A 为杆的横截面面积, 的符号与轴力 FN 的符号相同.,当轴力为正号时（拉伸）,正应力也为正号,称为拉应力;,当轴力为负号时（压缩）,正应力也为负号
11、,称为压应力 .,4.正应力公式(Formula for normal stress),二、 斜截面上的应力（Stress on an inclined plane),1. 斜截面上的应力（Stress on an inclined plane）,以 p表示斜截面 k-k上的 应力，于是有,沿截面法线方向的正应力 ,沿截面切线方向的切应力 ,将应力 p分解为两个分量：,p,（1）角,2.符号的规定(Sign convention),（3）切应力 对研究对象任一点取矩,p,（1）当 = 0 时，,（2）当 = 45时，,（3）当 = -45 时，,（4）当 = 90时，,讨 论,三、强度条件(S
12、trength condition)杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力,1.数学表达式(Mathematical formula),2.强度条件的应用(Application of strength condition),（2）设计截面,（1） 强度校核,（3）确定许可荷载,例题2 一横截面为正方形的砖柱分上、下 两段,其受力情况,各段长度及横截面面积 如图所示.已知F = 50kN， 试求荷载引起的最大工作应力.,解：（1）作轴力图,（2） 求应力,结论： 在柱的下段，其值为1.1MPa，是压应力.,例题3 简易起重设备中，AC杆由两根 80807等边角钢组 成，AB杆由两根 10号工字
13、钢组成. 材料为Q235钢，许用应 力=170MPa .求许可荷载 F.,解：（1） 取结点A为研究对象，受力分析如图所示.,结点A的平衡方程为,由型钢表查得,得到,（2） 许可轴力为,（3）各杆的许可荷载,（4） 结论：许可荷载 F=184.6kN,例题4 刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点,B端作用集中力F=25kN,已知CD杆的直径d=20mm,许用应力=160MPa，试校核CD杆的强度,并求： （1）结构的许可荷载F; （2）若F=50kN,设计CD杆的直径.,解： （1） 求CD杆的内力,FRAx,（2）结构的许可荷载F,由,得,（3） 若F=50kN，设计CD杆的直径,由,得,取d=
14、25mm,FRAx,1.试验条件 (Test conditions）,2-4 材料在拉伸和压缩时的力学性能 (Mechanical properties of materials in axial tension and compression),一、实验方法(Test method),（1） 常温: 室内温度 （2） 静载: 以缓慢平稳的方式加载 （3）标准试件：采用国家标准统一规定的试件,2.试验设备(Test instruments) （1）微机控制电子万能试验机 （2）游标卡尺,二、拉伸试验(Tensile tests),先在试样中间等直部分上划两条横线这一段杆称为标距 l (orig
15、inal gage length).,l = 10d 或 l =5d,1. 低碳钢拉伸时的力学性质 (Mechanical properties for a low-carbon steel in tension),（1）拉伸试样,（2） 拉伸图 ( F- l 曲线 ),拉伸图与试样的尺寸有关. 为了消除试样尺寸的影响，把 拉力F除以试样的原始面积A， 得正应力；同时把 l 除以标距 的原始长度l ，得到应变.,表示F和 l关系的曲线， 称为拉伸图 (tension diagram),（3）应力应变图表示应力和应变关系的曲线，称为应力-应变图(stress-strain diagram),（a
16、） 弹性阶段,试样的变形完全弹性的. 此阶段内的直线段材料满足 胡克定律 (Hookes law),b点是弹性阶段的最高点.,（b） 屈服阶段,当应力超过b点后，试样的荷载基本不变而变形却急剧增加，这种现象称为屈服(yielding).,c点为屈服低限,（c）强化阶段,过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力， 要使它继续变形必须增加拉力.这种现象称为材料的强化 (hardening),e点是强化阶段的最高点,（d） 局部变形阶段,过e点后，试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现 颈缩 (necking)现象，一直到试样被拉断.,试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由 l 变
17、为 l1，横截面积原为 A ，断口处的最小横截面积为 A1 .,断面收缩率(percent reduction in area ),伸长率 (percent elongation), 5%的材料，称作塑性材料 (ductile materials), 5%的材料，称作脆性材料 (brittle materials),（4）伸长率和端面收缩率,（5）卸载定律及冷作硬化,卸载定律 (unloading law),若加栽到强化阶段的某一点d 停止加载,并逐渐卸载,在卸载 过程中,荷载与试样伸长量之间 遵循直线关系的规律称为材料的 卸载定律 (unloading law).,a,b,c,e,f,O,g
18、,f,h,在常温下把材料预拉到强化阶段然后卸载,当再次加载时,试样在线弹性范围内所能承受的最大荷载将增大.这种现象称为冷作硬化,冷作硬化,e - 弹性应变(elastic strain),p - 塑性应变(plastic strain),d,Yield Strength and Ultimate Strength,2.无明显屈服极限的塑性材料 (Ductile materials without clearing defined yield point),3.铸铁拉伸时的机械性能,- 铸铁拉伸强度极限,(Mechanical properties for a cast iron in tens
19、ion),e,s,割线斜率,名义屈服应力用 表示.,Brittle vs. Ductile Behavior,三、材料压缩时的力学性能(Mechanical properties of materials in axial compression),1.实验试样 (Test specimen),2.低碳钢压缩时的s-e曲线(Stress- strain curve for a low-carbon steel in compression),压缩的实验结果表明,低碳钢压缩时的弹性 模量E屈服极限s都与拉 伸时大致相同.屈服阶段后,试样越 压越扁,横截面面积不 断增大,试样不可能被 压断,因此得
20、不到压缩 时的强度极限.,3.铸铁压缩时的s-e曲线 (Stress - strain curve for cast iron in compression),铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成45 55倾角,表明这类试样主要因剪切而破坏,铸铁的抗压强度极限是抗拉强度极限的45倍.,以大于1的因数除极限应力,并将所得结果称为许用应力, 用表示.,2. 许用应力(Allowable stress),1. 极限应力(Ultimate stress),四、安全因数和许用应力(Factor of safety & allowable stress),n 安全因数 (factor of safety),塑
21、性材料 (ductile materials),脆性材料 (brittle materials),材料的两个强度指标s 和 b 称作极限应力或危险应力, 并用 u 表示.,五、 应力集中(Stress concentrations),开有圆孔的板条,因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为 应力集中 (stress concentrations).,带有切口的板条,应力集中因数(stress- concentration factor),六、蠕变及松弛(creeping & relaxation),固体材料在保持应力不变的情况下，应变随时间缓慢增长的现象称为蠕变(creeping)
22、,粘弹性材料在总应变不变的条件下,变形恢复力（回弹应力）随时间逐渐降低的现象称为松弛 (relaxation),2-5 拉压杆的变形计算 (Calculation of axial deformation),一、纵向变形 (Axial deformation),2. 纵向应变 (Axial strain),1. 纵向变形 (Axial deformation),二、横向变形(Lateral deformation),三、泊松比 (Poissons ratio), 称为泊松比 (Poissons ratio),2. 横向应变(Lateral strain),1. 横向变形(Lateral def
23、ormation),四、胡克定律 (Hookes law),式中 E 称为弹性模量 (modulus of elasticity) ，EA称为抗拉（压）刚度(rigidity).,实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此弹性范围内，正应力与线应变成正比.,上式改写为,由,例题5 图示为一变截面圆杆ABCD.已知F1=20kN，F2=35kN F3=35kN. l1=l3=300mm，l2=400mm. d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm. 试求：,（1） -、-、III-III截面的轴力并作轴力图,（2） 杆的最大正应力max,（3） B截面的位移及AD杆的变形,解：求支座反
24、力 FRD = -50kN,（1）-、-、III-III 截面的轴力并作轴力图,（2） 杆的最大正应力max,AB段,DC段,BC段,max = 176.8MPa 发生在AB段.,（3） B截面的位移及AD杆的变形,例题6 图所示杆系由两根钢杆 1 和 2 组成. 已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成 =30 的角度, 长度均为 l = 2m,直径均为 d=25mm,钢的弹性模量为 E=210GPa.设在点处悬挂一重物 F=100 kN,试求 A点的位移 A.,解：（1） 列平衡方程,求杆的轴力,（2）两杆的变形为,变形的几何条件相容是变形后，两杆仍应铰结在一起.,（伸长）,以两杆伸长后的长度BA1
25、 和 CA2 为半径作圆弧相交于 A,即为A点的新位置.AA 就是A点的位移.,因变形很小,故可过 A1，A2 分别做两杆的垂线，相交于 A,可认为,例题7 图示三角形架AB和AC 杆的弹性模量 E=200GPa A1=2172mm2，A2=2548mm2. 求 当F=130kN时节点的位移.,解：(1)由平衡方程得两杆的轴力,1 杆受拉,2 杆受压,（2）两杆的变形,AA3 为所求A点的位移,一、静定与超静定问题 (Statically determinate & indeterminate problem),2-6 拉压超静定问题 (Statically indeterminate pro
26、blem of axially loaded members),1.静定问题 (Statically determinate problem)杆件的轴力可以用静力平衡条件求出,这种情况称作静定问题.,2.超静定问题(Statically indeterminate problem)只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题.,1.超静定的次数(Degrees of statically indeterminate problem )未知力数超过独立平衡方程数的数目,称作超静定的次数.,二、超静定问题求解方法 (Solution methods for statically i
27、ndeterminate problem）,2.求解超静定问题的步骤(Procedure for solving a statically indeterminate),（1）确定静不定次数；列静力平衡方程 （2）根据变形协调条件列变形几何方程 （3）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得补充方程 （4）联立补充方程与静力平衡方程求解,n = 未知力的个数 独立平衡方程的数目,例题8 设 1，2，3 三杆用绞链连结如图所示，l1 = l2 = l，A1 = A2 = A， E1 = E2 = E，3杆的长度 l3 ,横截面积 A3 ,弹性模量E3 。试求在沿铅垂方向的外力F作用下各
28、杆的轴力.,三、一般超静定问题举例 (Examples for general statically indeterminate problem),这是一次超静定问题,（2）变形几何方程,由于问题在几何,物理及 受力方面都是对称,所以变形后A点将沿铅垂方向下移.变形协调条件是变形后三杆仍绞结在一起,变形几何方程为,（3）补充方程,物理方程为,（4）联立平衡方程与补充方程求解,例题9 图示平行杆系1、2、3 悬吊着刚性横梁AB，在横梁上作用着荷载F。各杆的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A，l，E. 试求三杆的轴力 FN1, FN2, FN3.,F,解：（1） 平衡方程,这是一次超静定问题,
29、且假设均为拉杆.,（2） 变形几何方程,物理方程,（3） 补充方程,（4）联立平衡方程与补充方程求解,图示杆系,若3杆尺寸有微小误差,则在杆系装配好后,各杆将处于图中位置,因而产生轴力. 3杆的轴力为拉力,1. 2杆的轴力为压力. 这种附加的内力就称为装配内力. 与之相对应的应力称为装配应力 (initial stresses) .,四、装配应力 (Initial stresses),(Statically indeterminate structure with a misfit),代表杆3的伸长,代表杆1或杆2的缩短,代表装配后A点的位移,（1） 变形几何方程,（2） 物理方程,（3）补充
30、方程,（4） 平衡方程,FN1， FN2， FN3,（5）联立平衡方程与补充方程求解,例题10 两铸件用两根钢杆 1. 2 连接,其间距为 l =200mm. 现要将制造得过长了e=0.11mm的铜杆 3 装入铸件之间,并保持三根杆的轴线平行且等间距 a,试计算各杆内的装配应力. 已知：钢杆直径 d=10mm,铜杆横截面积为2030mm的矩形,钢的弹性模量E=210GPa,铜的弹性模量E3=100GPa. 铸件很厚,其变形可略去不计,故可看作刚体.,A,B,C,1,2,a,a,B1,A1,C1,l,3,C1,C,e,（1）变形几何方程为,C,（3）补充方程,（4）平衡方程,（2）物理方程,C,
31、A,B,FN3,FN1,FN2,联立平衡方程与补充方程求解,即可得装配内力，进而求出装配应力.,五、温度应力 (Thermal stresses or temperature stresses),例题11 图 示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结.设两支承 的距离（即杆长）为 l,杆的横截面面积为 A,材料的弹性模量 为 E,线膨胀系数为 .试求温度升高 T 时杆内的温度应力.,温度变化将引起物体的膨胀或收缩.静定结构可以自由变形, 不会引起构件的内力,但在超静定结构中变形将受到部分或 全部约束,温度变化时往往就要引起内力,与之相对应的应力 称为热应力 (thermal stresses)
32、或温度应力 (temperature stresses).,解: 这是一次超静定问题,变形相容条件是杆的总长度不变.,杆的变形为两部分,即由温度升高引起的变形 lT 以及与轴向压力FR相应的弹性变形 lF,（1）变形几何方程,（3）补充方程,（4）温度内力,（2）物理方程,由此得温度应力,一、基本概念和实例 (Basic concepts and examples),1.工程实例 (Engineering examples),（1） 螺栓连接 (Bolted connections),2-7 剪切变形 (Shear deformation),（2） 铆钉连接 (Riveted connecti
33、ons),（3） 键块联接 (Keyed connection),（4） 销轴联接(Pinned connection),2.受力特点(Character of external force),以铆钉为例,构件受两组大小相等、方向相反、作用线相互很近的平行力系作用.,3.变形特点(Character of deformation) 构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动.,4.连接处破坏三种形式: (Three types of failure in connections)（1）剪切破坏沿铆钉的剪切面剪断，如沿n-n面剪断 . （2）挤压破坏铆钉与钢板在相互接触面上因挤压而使溃压连接松动，发
34、生破坏. （3）拉伸破坏,钢板在受铆钉孔削弱的截面处， 应力增大，易在连接处拉断.,二、剪切的应力分析 (Analysis of shearing stress),1.内力计算(Calculation of internal force),FS - 剪力(shearing force),2.切应力（ Shearing stress）,式中， FS - 剪力(shearing force),A-剪切面的面积 (area in shear),3.强度条件(Strength condition), 为材料的许用切应力 (Allowable shearing stress of a material)
35、,(factor of safety),n - 安全因数,- 剪切极限应力,(ultimate shearing stress),螺栓与钢板相互接触的侧面上,发生的彼此间的局部承压现象,称为挤压 (bearing).,三、挤压的应力分析 (Analysis of bearing stress),在接触面上的压力,称为挤压力 (bearing force),并记为F,1.挤压力(Bearing force) F = FS,（1）螺栓压扁,（2）钢板在孔缘压成椭圆,2.挤压破坏的两种形式 (Two types of bearing failure),3.挤压应力(Bearing stress),F
36、 -挤压力 (bearing force),Abs -挤压面的面积 (area in bearing),4.强度条件(Strength condition),bs-许用挤压应力(allowable bearing stress),挤压现象的实际受力如图 所示.,（1）当接触面为圆柱面时, 挤压面积 Abs为实际接触面在直径平面上的投影面积,挤压面的面积计算,（2）当接触面为平面时, Abs 为实际接触面面积.,四、强度条件的应用(Application of strength conditions),4.破坏条件(failure condition),解：（1）键的受力分析如图,例题12 齿轮
37、与轴由平键连接,已知轴的直径d=70mm, 键的尺寸为bhL=20 12 100mm,传递的扭转力偶矩Me=2kNm,键的许用切应力为= 60MPa ,许用挤压应力为bs= 100MPa.试校核键的强度.,综上，键满足强度要求.,（2）校核剪切强度,（3）校核挤压强度,例题13 一销钉连接如图所示， 已知外力 F=18kN,被连接的构件 A 和 B 的厚度分别为 d=8mm 和 d1=5mm ,销钉直径 d=15mm , 销钉材料的许用切应力为 = 60MPa ,许用挤压应力为 bs= 200MPa .试校核销钉的强度.,解: （1）销钉受力如图b所示,（2）校核剪切强度,由截面法得两个面上的
38、剪力,剪切面积为,（3）挤压强度校核,这两部分的挤压力相等，故应取长度为d的中间段进行挤压强度校核.,故销钉是安全的.,（1）销钉的剪切面面积 A,（2）销钉的挤压面面积 Abs,思考题,例14 冲床的最大冲压力F=400kN,冲头材料的许用压应力 =440MPa,钢板的剪切强度极限u=360MPa,试求冲头能冲剪 的最小孔径d和最大的钢板厚度 .,F,解：（1）冲头为轴向压缩变形,d=34mm,F,解： （2）由钢板的剪切破坏条件,=10.4mm,例题15 一铆钉接头用四个铆钉连接两块钢板. 钢板与铆钉材 料相同. 铆钉直径 d =16mm,钢板的尺寸为 b =100mm, d =10mm,
39、F = 90kN,铆钉的许用应力是 =120MPa, bs =120MPa,钢板的许用拉应力 =160MPa. 试校核铆钉 接头的强度.,解：（1） 校核铆钉的剪切强度,每个铆钉受力为 F/4,每个铆钉受剪面上的剪力为,（2） 校核铆钉的挤压强度,每个铆钉受挤压力为F/4,（3）校核钢板的拉伸强度,整个接头是安全的,第三章 扭 转,3-1 扭转的概念和实例,3-2 扭转内力的计算,3-3 薄壁圆筒的扭转,3-4 圆轴扭转的应力分析及强度条件,3-5 圆杆在扭转时的变形 刚度条件,3-6 密圈螺旋弹簧的应力和变形,3-7 非圆截面杆的扭转,3-8 开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转,二、受力特点(C
40、haracter of external force),杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶.,三、变形特点(Character of deformation),杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.,3-2 扭转的内力的计算 (Calculating internal force of torsion),从动轮,主动轮,从动轮,一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment),Me作用在轴上的力偶矩( N m ),P轴传递的功率(kW),n轴的转速( r/min ),在n-n 截面处假想将轴截开取左侧为研究对象,二、内
41、力的计算 (Calculation of internal force),1.求内力(Calculating internal force),截面法 (Method of sections),采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的指向背离截面时扭矩为正,反之为负.,2.扭矩符号的规定 (Sign convention for torque),3.扭矩图(Torque diagram),用平行于杆轴线的坐标 x 表示 横截面的位置;用垂直于杆轴线的 坐标 T 表示横截面上的扭矩,正的 扭矩画在 x 轴上方,负的扭矩画在 x轴下方.,Me4,A,B,C,D,Me1,Me2,Me3,n,例题1 一传动轴如图
42、所示,其转速 n = 300 r/min ,主动轮A输入的功率为P1 = 500 kW . 若不计轴承摩擦所耗的功率,三个从动轮输出的功率分别为P2 = 150 kW ,P3 = 150 kW , P4 = 200 kW. 试做扭矩图.,解: 计算外力偶矩,Me4,A,B,C,D,Me1,Me2,Me3,n,计算 CA 段内任横一截面 2-2 截面上的扭矩.假设 T 2为正值.,结果为负号,说明T 2 应是负值扭矩,由平衡方程,A,B,C,D,Me1,Me3,Me2,同理,在 BC 段内,Me4,A,B,C,D,同理,在 BC 段内,在 AD 段内,注意：若假设扭矩为正值, 则扭矩的实际符号与
43、计算符号相同.,Me4,Me1,Me3,Me2,作出扭矩图,从图可见,最大扭矩在 CA段内.,3-3 薄壁圆筒的扭转(Torsion of thin-walled cylindrical Vessels),1.实验前,（1）画纵向线,圆周线; （2）施加一对外力偶.,一、应力分析 (Analysis of stress),2.实验后,（1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；,（2）各纵向线均倾斜了同一微小角度 ； （3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.,3.推论(Inference),（1）横截面上无正应力，只 有切应力；,（2）切应力方向垂直半径
44、或 与圆周相切.,圆周各点处切应力的方向于圆周相切, 且数值相等,近似的认为沿壁厚方向各点处 切应力的数值无变化.,此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式.,4.推导公式 (Derivation of formula),薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,与半径垂直, 指向与扭矩的转向一致.,二、切应力互等定理 (Shearing Stress Theorem),1.在单元体左、右面（杆的横截面）只有切应力, 其方向于 y 轴平行.,两侧面的内力元素 dy dz 大小相等,方向相反,将组成 一个力偶.,由平衡方程,其矩为( dy dz) dx,2. 要满足平衡方程,在单元体的上、下两平
45、面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素 它们组成力偶，其矩为,此力偶矩与前一力偶矩,数量相等而转向相反，从而可得,( dy dz) dx,3.切应力互等定理 (Shearing stress theorem),单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等,都指相（或背离）该两平面的交线.,4.纯剪切单元体 (Element in pure shear),单元体平面上只有切应力而无正应力,则称为纯剪切单元体.,式中, r 为薄壁圆筒的外半经.,三、剪切胡克定律 (Hookes law for shear),由图所示的几何关系得到,薄壁圆筒的扭转试验发现,当外力偶 Me 在某一范围内时,
46、与 Me （在数值上等于 T ）成正比.,三个弹性常数的关系,从 T 与 之间的线性关系,可推出 与 间 的线性关系.,该式称为材料的剪切胡克定律 (Hookes law for shear),G 剪切弹性模量,思考题：指出下面图形的切应变,2,0,变形几何关系,物理关系,静力关系,3-4 圆杆扭转的应力分析 强度条件(Analyzing stress of circular bars & strength condition),1.变形现象 (Deformation phenomenon),（1） 轴向线仍为直线,且长度不变；,（2） 横截面仍为平面且与轴线垂直；,一、变形几何关系(Geom
47、etrical Relationship of Deformation),（3） 径向线保持为直线,只是绕轴 线旋转.,2.平面假设(Plane assumption)变形前为平面的横截面 ,变形后仍保持为平面.,O1,O2,3.几何关系(Getrical relationship),倾角 是横截面圆周上任一点A 处的切应变, d 是 b-b截面相对于a-a 截面象刚性平面一样绕杆的轴线转动的一个角度.,经过半径 O2D 上任一点G的纵向线EG 也倾斜了一个角度 r ,也就是横截面半径上任一点E处的切应变,同一圆周上各点切应力 均相同,且其值与 成正比, 与半径垂直.,二、 物理关系(Phys
48、ical Relationship),由剪切胡克定律,三、静力关系 (Static Relationship),1.公式的建立(Establish the formula),结论,代入物理关系中得到,式中：T 横截面上的扭矩, 求应力的点到圆心的距离,Ip 横截面对圆心的 极惯性矩,Wt 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3.,2. 的计算(Calculation of max),r,O,T,dA,dA,（1）实心圆截面,3.极惯性矩和抗扭截面系数的计算 (calculating the polar moment of inertia §ion modulus under torsion),（2）空心圆截面,其中,例题2 图示空心圆轴外径D=100mm,内径d=80mm, M1=6kNm, M2=4kNm, 材料的切变模量 G=80GPa.,
