1、第九章 双因素和多因素方差分析,学习目标,掌握：两因素交叉分组（有重复观察值、无重复观察值）资料的方差分析方法。 熟悉：多因素试验线性模型和不同变异来源期望均方构成。 了解：缺失数据的估计原理及方差分析方法。,讲授内容,第一节 双因素方差分析概述 第二节 不同实验类型的双因素方差分析 第三节 多因素试验的方差分析 第四节 缺失数据的估计 第五节 数据变换,第一节 双因素方差分析概述,一、双因素试验汇中的几个基本概念 1、主效应（main effect）：各实验因素相对独立的效应，该效应水平的改变会造成因素效应的改变，如包装方式对果汁销售量的影响。 2、互作效应（interaction）：两个或
2、多个实验因素的相互作用而产生的效应。,3、无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方差分析(Two-factor without replication)：两个因素对试验结果的影响是相互独立的，分别判断两个因素对试验数据的影响。 4、有交互作用的双因素方差分析或可重复双因素方差分析 (Two-factor with replication)：如果两个因素对试验数据的单独影响外，两个因素的搭配还会对结果产生一种新的影响。,二、双因素交叉分组试验设计的描述,（一）双因素试验的数据描述 （二）观测值的描述 （三）平方和与自由度的分解 （四）平方和的简便计算公式 （五）各项均方的计算,（一）试验数据的
3、描述,（二）观测值的描述,对于上表中的每一个观测值可用线性统计模型描述,（三）平方和与自由度的分解,1、平方和的分解总平方和SST被分解为A因素所引起的平方和SSA、B因素所引起的平方和SSB、AB交互作用所引起的平方和SSAB、误差平方和SSe,A因素误差平方和 B因素误差平方和 AB交互作用误差平方和随机误差项平方和,2、平方和的分解 与平方和相应的自由度分别为： 总自由度：dfT=abn-1 A因素处理间自由度：dfA=a-1 B因素处理间自由度：dfB=b-1 交互作用自由度：dfAB=(a-1)(b-1) 处理内自由度：dfe=ab(n-1) dfT=dfA+dfB+dfAB+dfe
4、,（四）平方和的简便计算方式,（五）各项均方的计算,第二节 不同实验类型的双因素方差分析,一、固定模型 （一）重复试验时的双因素方差分析 1、观察值的线性统计模型 2、提出假设,3、检验统计量的计算在F检验时，A因素、B因素和互作效应的检验统计量均以MSe做分母：FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe FAB=MSAB/MSe用F分布的上尾检验，拒绝域为FF 4、均方期望,（二）无重复实验时的双因素方差分析 1、观测值的描述2、提出假设,3、检验统计量的计算在F检验时，A因素、B因素的检验统计量均以MSe做分母FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe 用F分布的上尾检验，拒绝域为FF,（
5、三）交互作用的判断,Tukey提供的方法进行因素间是否存在交互作用的判断 P171,二、随机模型 1、观察值的线性统计模型 2、提出假设,3、检验统计量的计算在F检验时，A因素、B因素主效应的检验统计量是以MSAB做分母；互作效应的检验统计量以MSe做分母FA=MSA/MSAB FB=MSB/MAB FAB=MSAB/MSe用F分布的上尾检验，拒绝域为FF注意：检验统计量的分母与统计量的第二自由度与固定效应不同,4、均方期望,三、混合模型（以A为固定因素、B为随机因素为例） 在混合模型中，A、B因素的效应为非可加性， 为固定效应， 为随机效应 对A做检验时用随机模型，对B及AB交互效应做检验时
6、用固定模型。P177,例1：随机选择4个小麦品种，施以三种肥料，小区产量列于下表，该问题属于哪种模型？从方差分析的结果可得出什么结论？,题解,解：本题影响产量的因素包括肥料种类和小麦品种。该问题属于混合模型中无重复的两因素分组交叉分析。,小麦品种间差异极显著，肥料间无显著差异。,例2：用两种不同的饲料添加剂A和B，以不同比例搭配饲养大白鼠，每一种饲料添加剂取4个水平，每一处理设两个重复。大白鼠增重结果列于下表。请进行统计分析，并回答下列问题。,该实验有可能属于哪几种模型？前提是什么？ 如果认为是随机模型，设置重复与不设重复对分析结果有无影响？ 若实验本身是固定模型，但分析时误认为随机模型，对结
7、论有何影响？若不设重复，又有何影响？,题解：（1）该实验可能属于固定模型、随机模型、混合模型。取决于添加剂本身的性质，即添加剂的效果能否严格重复。 （2）分析：固定模型下：,查F分布表：,所以FA、FB、FC均达极显著，所以大白鼠增重与添加剂A、B及其交互作用都有显著关系。,随机模型下：查F分布表： FA显著但未达极显著，FB不显著，FAB极显著。 所以大白鼠增重与A、AB的交互作用有显著关系。 综合上面可知，随机模型和固定模型对主效应的认识不同；若不设重复，对固定模型，统计检验无法进行。,第三节 多因素试验的方差分析,一、观测值的描述假设在一个试验中，A因素有a个水平，B因素有b个水平，C因
8、素有c个水平，每个因素有n次重复，那么观测值的线性统计模型为,A3,B1,A3,B1,(a) 无交互效应 (b) 有交互效应,图中每条曲线代表B因素的一个水平。若各曲线平行或近似平行，可认为无交互效应，否则为有交互效应。以上只是一种直观的判断，在多因素方差分析的过程中，我们对交互作用的有无也可进行统计检验。,交互效应,H01: i =0, i=1, 2, aH02:j=0, j=1, 2, bH03:()ij=0, i=1, 2, a, j=1, 2, b备择假设为:HA: 上述各参数中至少有一个不为0。(这实际上是三个备择假设。),零假设,方差分析的基本思想仍是总变差分解：即： SST =
9、SSA + SSB + SSAB + SSe自由度：abn-1 a-1 b-1 (a-1) (b-1) ab(n-1),总变差分解,均方数学期望,检验两个主效应及一个交互效应的下述三个统计量中，分母全部采用MSe即可。 检验H01，H02，H03的统计量分别为：,检验H01，H02，H03的统计量,从前述的各均方期望可知，只有当各H0成立时，上述三个分子才是2的无偏估计量，此时各统计量均服从F分布；若某个H0不成立，则相应的分子将有偏大的趋势，从而使对应的统计量也有偏大的趋势，因此可用F分布上单尾分位数进行检验。,各效应的估计值,其中i=1, 2 a, j=1, 2, b。,计算公式,计算排列
10、如下表： 表中最下一行是各列的平均，最右一列是各行的平均,计算步骤,方差分析表,把计算所得结果填入上表后，再根据各F统计量的自由度查出其F0.95及F0.99分位数，并将F计算值与相应分位数相比，大于F0.95则在统计量F右上角标一个“*”号；大于F0.99则再加一个“*”号。最后用一句话对上述方差分析的结果加以总结，即哪些主效应或交互效应达到显著或极显著水平，哪些不显著,F测验,如果MSAB小于或约等于MSe，即FAB小于或约等于1，说明此时交互作用不存在，在这种情况下也可把MSAB和MSe合并在一起(即把平方和和自由度都合并)作为2的估计量，这样可以提高检验的精确度。具体计算公式如下,交互
11、作用不存在,然后可用作统计量FA和FB的分母，对两个主效应进行统计检验。注意查表时分母自由度要相应改变。,例3 选择最适发酵条件,本题中显然温度是一个因素，原料种类是另一个因素。这两个因素各有三个水平。由于它们的影响都是可控制、可重复的，因此都是固定因素。在同样温度、原料下所做的几次实验应视为重复，它们之间的差异是由随机误差所造成的 。,固定因素,各处理平均数,发酵实验方差分析表,查F分布表，得：F0.95(2,27)F0.95(2,30)=3.316, F0.99(2,27)F0.99(2,30)=5.390, F0.95(4,27)F0.95(4,30)=2.690, F0.99(4,27
12、)F0.99(4,30)=4.018, FA,FB均达极显著，标上“* *”，FAB只达显著，标上“*”。因此酒精产量不仅与原料和温度的关系极显著，与它们的交互作用也有显著关系。即对不同原料应选用不同的发酵温度。,F测验,在固定效应模型中，若各F统计量有达到显著或极显著水平时，常常还需要在各处理间进行多重比较，以选出所需要的条件组合。,各处理间进行多重比较,如果有交互作用存在，则一般需要把所有ab个水平组合放在一起比。比较的方法仍与单因素方差分析相同，最常用Duncan法。,当交互作用存在时，对固定模型若不设置重复，则无法把SSAB与SSe分开，这样将无法进行任何统计检验。因此在固定模型中有交
13、互作用时，不设置重复的试验是无意义时。对固定模型来说，结论只能适用于参加实验的几个水平，不能任意推广到其他水平上去。,几点注意事项：,二、平方和与自由度的分解（P179） 三、检验统计量的计算在各种模型中，要特别注意统计量F的计算一定要根据因素的性质来决定。对于固定因素主效应做检验时用随机模型，对随机因素主效应做检验时用固定模型。 四、各均方的数学期望,由于FAB1，为提高检验精度，可将SSAB与SSe合并：,查表，得：F0.95(2, 22) = 3.44, F0.99(2, 22) = 5.72, 由于FA = 12.77 F0.99(2, 22), FB = 14.21 F0.99(2,
14、 22), 因此两因素（饮料与窝别）的主效应均达极显著水平。交互效应显然不显著。,四、方差分析的规律总结 一、假设 (1) 对于固定效应A的假设： (2) 对于随机效应B的假设： 二、平方和与自由度的分解 平方和的分解根据线性统计模型计算 自由度的分解规律如下：每一组因素主效应的自由度为该因素的水平减1，每一交互作用的自由度是产生交互作用各因素的自由度的乘积，误差自由度是各因素水平与重复数减1的乘积,三、均方期望的推演方法 （一）对均方期望做规律性规定方差分析中均方数学期望的推导是选择合适检验统计量的前提。以多因素实验为例，均方期望的规律性做如下规定：,1、下标： 中的下标写为 ，括号中的ij
15、k为不同处理水平组合的下标，称为 “活下标”；括号外的l和其他方差分量中的下标均称为“活下标”。 2、固定模型中各因素的效应分别改模型分量的平方和除以自由度表示，如A因素的效用 表示，,3、随机模型中各因素的效应分别以希腊字母为下标的方差表示，如A因素的效应记为 ；B因素的效应记为 ，AB交互作用的效应记为 ，以上各量分别称为各因素的方差分量。 4、混合模型中，交互作用的两个因素只要有一个是随机的，则交互作用即被认为是随机的，两因素的交互效应记为 5、不论哪一种模型，误差的方差均记为,四、检验统计量的计算 检验统计量F要根据各均方期望的构成来决定，它的规律是为了得到检验的某个效应的统计量。 在计算F时，分子均方的组成比分母均方的组成多出了欲检验的效应（固定因素）或方差（随机因素）分量，除此之外，其他成分完全相同。 对固定因素主效应做检验时用随机模型，对随机因素主效应做检验时用固定模型,
