1、1,第7章 图 论,离 散 数 学,济南大学,信息科学与工程学院,第2页,第7章 图,7.1 图的基本概念 7.2 路与回路 7.3 图的矩阵表示 7.4 汉密尔顿图和欧拉图 7.5 平面图 7.6 对偶图和着色 7.7 树 7.8 根树,第3页,本章学习要求,第4页,引例1 哥尼斯堡七桥问题,1736年瑞士数学家列昂哈德欧拉(leonhard Euler)发表了图论的第一篇论文“哥尼斯堡七桥问题”。这个问题是这样的： 哥尼斯堡(Knigsberg)城市有一条横贯全城的普雷格尔(PreGel)河，城的各部分用七座桥连接，每逢假日，城中的居民进行环城的逛游，这样就产生一个问题，能不能设计一次“逛
2、游”，使得从某地出发对每座跨河桥走一次，而在遍历了七桥之后却又能回到原地。,第5页,g,f,a,b,c,d,e,引例1 哥尼斯堡七桥问题,现实问题抽象成图 若想完成逛游，需要添加几座桥，如何建？,第6页,引例2 周游世界问题,1859年威廉汉密尔顿爵士在给他的朋友的一封信中，首先谈到关于十二面体的一个数学游戏，能不能在图中找到一条回路，使它含有这个图的全部结点？ 他把结点看作是一座城市，联结两个结点的边看成是交通线，于是它的问题是能不能找到旅行路线，沿着交通线经过每一个城市恰好一次，再回到原来的出发地？他把这个问题称为周游世界问题。,第7页,引例3 四色问题(Four Color Proble
3、m),1852, Francis Guthrie（格色里）, 注意到英格兰地图可以用4种颜色染色, 使得相邻面(有一段公共边界,不只是有一个公共点)有不同颜色;他问其弟 Frederick 是否任意地图都有此性质?,第8页,韦尔奇.鲍威尔法,第9页,知识点： 图的基本概念 点与边的关联、点（边）相邻 完全图、补图，子图、生成子图 点度数 握手定理 图的同构,7-1 图的基本概念,第10页,一、图的基本概念,现实世界中许多现象能用某种图形表示,这种图形是由一些点和一些连接两点间的连线所组成。 例：A、B、C、D四个队举行篮球比赛，为了表示个队之间比赛的情况， 我们作出下图。 在图中个小圆圈分别表
4、示这个篮球队， 称之为结点。 如果两队进行过比赛， 则在表示该队的两个结点之间用一条线连接起来， 称之为边。 这样利用一个图形使各队之间的比赛情况一目了然。,A,B,D,C,第11页,一、图的基本概念,定义7-1.1 图的定义： 一个图G是一个二元组，其中 V(G) =v1,v2, ,vn，是一个有限非空集合，vi称为结点，V(G)称为结点集合，简记为V。 E(G(=e1,e2,em，是一个有限集合，ei称为边，ei用结点的偶对表示，E(G)称为边集合，简记为E。,第12页,二、关于图的一些术语,若边e与无序结点对 (vi,vj)对应，则称e为无向边，vi，vj为ek的端点。 若边e与有序结点
5、对 对应，则称e为有向边，vi称作e的起始结点，vj称作e的终止结点，但统称为e的端点。 ek与vi或ek与vj是彼此相关联的。 邻接点：关联于同一边的结点称为邻接点。邻接边：关联于同一结点的边称为邻接边。 关联于同一结点的边称为环或自回路。 注意：环的方向没有意义，可以看作无向边也可看作有向边 无论在无向图中还是在有向图中，无边关联的结点均称孤立点。,第13页,三、 图的表示,对于一个图G，如果将其记为G = ，并写出V和E的集合表示，这称为图的集合表示。 而为了描述简便起见，在一般情况下，往往只画出它的图形：用小圆圈表示V中的结点，用由u指向v的有向线段或曲线表示有向边，无向线段或曲线表示
6、无向边(u, v)，这称为图的图形表示。,第14页,例7-1.1,设图G = ，这里V = v1, v2, v3, v4, v5，E = e1, e2, e3, e4, e5, e6，其中e1 = (v1, v2)，e2 = ，e3 = (v1, v4)，e4 = (v2, v3)，e5 = ，e6 = (v3, v3)。试画出图G的图形，并指出哪些是有向边，哪些是无向边？ 解：G的图形如下图所示。,G中的e1、e3、e4、e6是无向边，e2、e5是有向边。,第15页,例7-1.2,设图G = 的图形如下图所示，试写出G的集合表示。,1,2,3,4,5,解 图G的集合表示为G = =，(1,
7、4)，(1, 5)，(2, 3)，。,第16页,两种描述方法的优缺点,用集合描述图的优点是精确，但抽象不易理解； 用图形表示图的优点是形象直观，但当图中的结点和边的数目较大时，使用这种方法是很不方便的，甚至是不可能的。,第17页,四、图的分类,边方向,平行边,第18页,每一条边都是无向边的图称作无向图。 每一条边都是有向边的图称作有向图。 若图中既有无向边也有有向边，称为混合图。 例7-1.3：判断下面图是无向图、有向图或混合图 分析：判断无向图、有向图和混合图，仅看边有无方向。,有向图,无向图,混合图,第19页,定义7-1.2 含有平行边的图称为多重图。 不允许有环和平行边的图称为简单图 。
8、 注意：不是多重图，不一定是简单图。,连接于同一对结点间的多条边称为是平行边。,多重图,简单图,非多重图，非简单图,第20页,没有任何边的图称为零图； 只有一个点的图称为平凡图； 含有n个结点，m条边的图，称为(n,m)图。,(a) 4阶零图 N4,(b) 平凡图,特殊图,V1,V2,V3,(c) (3,5)图,第21页,五、完全图,定义7-1.4 设G为n阶无向简单图，若G中每个结点均与其余的n-1个结点相邻，则称G为n阶无向完全图，简称n阶完全图，记做Kn(n1)。 设D为n阶有向简单图，若D中每个结点都邻接到其余的n-1个结点，又邻接于其余的n-1个结点，则称D是n阶有向完全图。 设D为
9、n阶有向简单图，若D的基图为n阶无向完全图Kn，则称D是n阶竞赛图。 基图：将有向图各有向边去掉方向后的无向图称为原来图的基图。,第22页,例7-1.4 下图分别给出了一个结点、二个结点、三个结点、四个结点和五个结点的无向完全图。,完全图例,第23页,定理7-1.1 n阶无向完全图，n阶有向完全图，n阶有向竞赛图的边数分别为 n(n-1)/2，n(n-1) ， n(n-1)/2,完全图边数,第24页,六、子图、母图、生成子图、补图,定义7-1.5 设G，H是图，若G，H满足 (1)若V(H)V(G)，E(H)E(G),则称H是G的子图，G是H的母图。(2)若H是G的子图，并且V(H)V(G)，
10、则称H是G的生成子图。,（a)母图,(c)生成子图,(b) 子图,注意，孤立结点一定不要漏了，否则结点集就不同。,第25页,v3,v2,v4,v1,v5,v6,删除v1,删除边(v4,v6),(1)删除结点v，是将v以及与v关联的边都删去。 (2)删除边e，是仅将边e删去。,删除图中的点、边,第26页,注意，孤立结点一定不要漏了，否则结点集就不同。,补图,(a)原图,(b)补图,定义7-1.6 图G相对于完全图的补图：设G为具有n个结点的图，从完全图Kn中删去G中的所有边而得到的图，称为G的补图，表示为 。 例7-1.5，求图(a)的补图,第27页,定义7-1.7 设G=是图G=的子图，从G中
11、删去G的边，且删去孤立结点后得到的图G(即G中仅包含G的边所关联的结点），则称G是子图G的相对于图G的补图。 例7-1.6：,子图相对于母图的补图,母图,a,b,c,d,a1,b1,子图,注意，孤立结点一定要删掉。,第28页,七、结点的度数,定义7-1.8：在图G=， viE，与vi关联的边的条数称为该结点的度数，记为deg(vi)。 （约定：每个环在其对应结点度数上增加2） 图G最大度数记为(G)，最小度数记为(G)。 定义7-1.9：在有向图G=中，vV, 以v为起始结点的边的条数称为该点的出度，记作deg+(v); 以v为终止结点的边的条数称为该点的入度，记作deg-(v)。 每个环在其
12、对应结点的出度增加1，给入度增加1. 显然有deg(v)=deg+(v)+deg-(v),第29页,求出下图的最大度和最小度，求出图中每个结点的出，入度。,v1,v2,v3,v4,= 12,(G)=5，(G)=2,例7-1.7,第30页,度数列设V=v1,v2,v3, ,vn是图G的结点集，称(deg(v1), deg(v2), deg(v3), , deg(vn)为G的度数列。,度数列为：(4,4,2,1,3),= 14,第31页,握手定理,定理7-1.2 设G=为任意图(无向的或有向的) ，V=v1,v2,vn，|E|=m，则,所有结点的度数之和=边数的两倍,证明： G中每条边(包括环)均
13、有两个端点，所以在计算G中各结点度数之和时，每条边均提供2度，当然，m条边，共提供2m度。,= 2|E|= 2m,第32页,这个结果是图论的第一个定理，它是由欧拉于1736年最先给出的。欧拉曾对此定理给出了这样一个形象论断：如果许多人在见面时握了手，两只手握在一起，被握过手的总次数为偶数。故此定理称为图论的基本定理或握手定理。,今后常称度数为奇数的结点为奇度数结点(Odd Degree Point)，度数为偶数的结点为偶度数结点(Even Degree Point)。,第33页,握手定理的推论,定理7-1.3 任何图(无向的或有向的)中，奇度数结点的个数是偶数。证明： 设G=为任意一图，令V1
14、是偶度数结点的集合，V2是奇度数结点的集合，V1V2=V，V1V2= ，由握手定理可知,由于2m， 均为偶数，所以 为偶数，但因V2中deg(v)为奇数，所以V2中元素的个数必为偶数，即奇度数结点的个数是偶数。,2m= = +,第34页,握手定理的推论,定理7-1.4 任何有向图中，所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和。证明：因为每一条边必给结点的入度之和增加1，给结点的出度之和增加1，所以，有向图中所有结点的入度之和等于边数，所有结点的出度之和等于边数。因此，所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和。,第35页,握手定理的应用,V=v1, v2, , vn为无向图G的结点集，称deg(v
15、1), deg(v2), , deg(vn)为G的度数列。 下面整数列是否可图化？ (1) (5, 3, 3, 2, 1); (2) (2, 2, 3, 1, 5)。 解：(1) deg(i) = 偶数， 所以(1)可图化，或奇数度结点为偶数，则其图化解可有多个。(2) 中有3个奇度结点, 由握手定理, 图G中奇度结点必为偶数个, 所以(2)不可图化。 下面整数列是否可简单图化？ (2, 3, 2, 4, 6, 5); 解:是阶为6的简单图, (G)5, 所以不可简单图化。,第36页,握手定理的应用,练习题1：设简单连通无向图G有12条边，G中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结
16、点度数为3求G中有多少个结点。 解：设图G有x个结点，有握手定理21+22+34+3(x-2-2-3)122x9图G有9个结点。,第37页,证明： 方法一：穷举法设G有x个5度结点， 则G有9-x个6度结点，由握手定理推论可知： x只能取 0，2，4，6，8； 9-x只能取9，7，5，3，1。 于是(x,9-x)为(0,9)，(2,7)，(4,5)时均至少有5个6度结点，而在(6,3)，(8,1)时满足至少有6个5度结点。,练习题2：9阶图G中，每个结点的度数不是5就是6，证明G中至少有5个6度结点或至少有6个5度结点。,第38页,练习题2： 9阶图G中，每个结点的度数不是5就是6，证明G中至
17、少有5个6度结点或至少有6个5度结点。,证明： 方法二：反证法 G至多有4个6度结点且至多有5个5度结点。由握手定理推论可知： G至多有4个6度结点且至多有4个5度结点。这样G至多有8个结点，与G为9阶图矛盾。,第39页,八、图的同构(isomorphism),图是表达事物之间关系的工具，因此，图的最本质的内容是结点和边的关联关系。而在实际画图时，由于结点的位置不同，边的长短曲直不同，同一事物间的关系可能画出不同形状的图来。 形象地说，若图的结点可以任意挪动位置，而边是完全弹性的，只要在不拉断的条件下，这个图可以变形为另一个图，那么这两个图是一样的，称为同构。可以用几种不同形状的图形表示同一个
18、图。,第40页,图的同构例,第41页,定义7-1.9 图的同构(isomorphism),图G=和G=是同构的。 若存在V(G)到V(G)的双射（一一对应映射）g：vivi ，且e=(vi,vj)(或)是G的一条边，当且仅当e=(g(vi),g(vj)(或) 是G的一条边，则称图G=和G =是同构的。记做G G。 定义的实质： 两个图的结点和边分别存在着一一对应， 且关联关系也必须保持对应关系。 可以把同构的图看成是一个图。,第42页,已知V1=v1,v2,v3,v4,v5,V2=a,b,c,d,e， 试证明图中，G1G2 分析 证明两个图同构，关键是找到满足要求的结点集之间的双射函数。现在还
19、没有好的办法，只有凭经验去试。 证明： 构造结点之间的映射g ：V1V2： g(v1)=a；g(v2)=b；g(v3)=d；g(v4)=e；g(v5)=c 且在该映射下：(v1,v2)(a,b) (v1,v5)(a,c) (v2,v3)(b,d) (v3,v4)(d,e) (v5,v4)(c,e) 显然g双射。,图的同构例,G1,G2,第43页,图之间的同构关系是等价关系,图之间的同构关系 可看成全体图集合上的二元关系 该二元关系具有自反性，对称性和传递性，因而是等价关系。 在这个等价关系的每一等价类中均取一个图作为一个代表，凡与它同构的图，在同构的意义之下都可以看成一个图。,第44页,两图同
20、构的必要条件：可用于判定不同构,若G1、G2同构，则 1.结点数目相同， 2.边数相同， 3.度数相同的结点数目相同。 需要注意的是： 破坏这些必要条件的任何一个，两个图就不会同构， 不要将两个图同构的必要条件当成充分条件。但以上列出的条件都满足，两个图也不一定同构。 目前，还没有找到判断两个图是否同构的好的算法，还只能根据定义看是否能找到满足条件的双射函数，显然这是困难的。,第45页,x,y,判断下面的图是否同构。,分析 证明两个图不同构，通常用反证法。 证明 假设GG，双射函数为f。由定义，v与f(v)的度数一定相同，因此有f(x)=y。G中x与两个度数为1的结点邻接，而G中y与一个度数为
21、1的结点邻接，矛盾。,G,G,w,w,第46页,生成子图,试问K4的所有非同构的i(i=0，1，2，4，5，6)条边的生成子图各有几个？,m=0,m=1,m=2,第47页,试问K4的所有非同构的i(i=0，1，2，4，5，6)条边的生成子图各有几个？,m=3,m=4,m=5,m=6,第48页,小结,主要内容： 1、无向图与有向图 2、简单图与多重图 3、结点的度数与握手定理 4、图的同构 5、子图与补图 理解： 掌握图的同构概念。 重点： 熟练掌握握手定理及其应用以及生成子图的概念。,第49页,7-2 路与回路,右图是中国铁路交通图的一部分，如果一个旅客要从成都乘火车到北京，那么他一定会经过其
22、它车站；而旅客不可能从成都乘火车到达台北。这就引出了图的通路与连通的概念。,第50页,7-2 路与回路,知识点： 路、回路定义及相关定理 连通图、连通分支 割点、点割集 割边、边割集 点连通度、边连通度 有向图的连通性、各种分图,通路与回路是图论中两个重要的基本概念。本小节所述定义一般来说既适合有向图，也适合无向图，否则，将加以说明或分开定义。,第51页,一、相关概念,定义7-2.1 路(walk) ： 结点与边的交替序列其中,路长度 ：边的数目。 结点数=边数+1,第52页,回路(closed walk),回路：,结点数=边数,第53页,特殊路：迹、通路、圈的定义,迹：没有重复边的路。 通路
23、： 没有重复结点的路。 （当然此时所有边也不相同） 圈： 封闭的通路。,第54页,第55页,说明,回路是路的特殊情况。因而，我们说某条路，它可能是回路。但当我们说一路时，一般是指它不是回路的情况。 通路一定是迹，但反之不真。因为没有重复的结点肯定没有重复的边，但没有重复的边不能保证一定没有重复的结点。 路的表示：结点与边的交替序列，如v0e1v1e2v2envn在不会引起误解的情况下， 路也可以用边的序列e1e2en表示，这种表示方法对于有向图来说较为方便。 路也可以用结点的序列v0v1v2vn来表示。 混合表示：当只用结点序列表示不出某些路(回路)时，可在结点序列中加入一些边。,第56页,v
24、3,v5,e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8,v4,v2,v1,v1 e2 v3 e3 v2 e6 v5 e7 v3 e4 v2 e3 v3 e4 v2 是从v1到v2的路， v1是起点，v2是终点，长度为7。e2 e3 e6 e7 e4 e3 e4,从v1到v2的路,特殊路：迹、通路、圈,第57页,v3,v5,e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8,v4,v2,v1,v1 e2 v3 e3 v2 e6 v5 e7 v3 e4 v2 是从v1到v2的迹， v1是起点，v2是终点，长度为5。e2 e3 e6 e7 e4,从v1到v2的迹,特殊路：迹、通路、圈,第58页,v3,
25、v5,e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8,v4,v2,v1,v1 e2 v3 e3 v2 是从v1到v2的通路， v1是起点，v2是终点，长度为2。e2 e3,从v1到v2的通路,特殊路：迹、通路、圈,第59页,v2 e1 v1 e2 v3 e7 v5 e6 v2 是从v2到v2的一条圈，长度为4。 e1 e2 e7 e6,从v2到v2的一条圈,特殊路：迹、通路、圈,第60页,圈(cycles),C1,长为1的圈只由环生成。 长为2的圈只由平行边生成。 在简单无向图中，圈的长度至少为3。 将长度为奇数的圈称为奇圈。 长度为偶数的圈称为偶圈。 画出的长度为n的圈，若不指定起点和终点，
26、则在同构意义下是唯一的，若指定起点，终点，则是n个不同构的圈。,第61页,路相关定理,定理7-2.1 在n阶图G中，若从不同结点vj到vk存在路，则从vj到vk存在长度小于等于n-1的路。 分析： 路的长度等于路中的结点数减1，如果结点不重复，最多n个，因此路长度最多n-1； 如果结点有重复，则在重复的结点间构成一条回路，删除这条回路，剩下的仍然是从结点vi到结点vj的路。一直删下去，直到无重复结点为止，定理得证。,路：v1 v2 v3 v4 v2 v5 ，长度5,路：v1 v2 v5，长度2,v1 v2 v3 v2 v3 v4,v1 v2 v3 v4,第62页,证明： 设该路=vj vi v
27、k为G中一条长度为p的路，显然该路上的结点数为p+1。 若pn-1，则该路满足要求， 否则必有pn-1，对应的结点数p+1n-1+1=n，即该路上的结点数p+1大于G中的结点数n，于是必存在结点vs ，在该路中重复出现，即必有结点序列vj vi vs vs vk，即在该路上存在vs到自身的回路，在路上删除vs 到vs 的一切边及除vs外的一切结点， 仍为vj到vk的路，且长度减少。重复上述过程，由于G是有限图，经过有限步后，必然使该路中所有点均不相同，必得到vj到vk长度小于或等于n-1的路。,定理7-2.1 在n阶图G中，若从不同结点vj到vk存在路，则从vj到vk存在长度小于等于n-1的路
28、。,第63页,定理7-2.1推论,推论1： 在n阶图G中，若从不同结点vj到vk有路，则从vj到vk有长度小于等于n-1的通路。 证明： 若路不是通路， 则路上有重复结点， 删除所有重复结点之间的回路， 得到的是通路， 其长度小于等于n-1。 推论2：在一个具有n个结点的图中，如果存在经过结点vi回路（圈），则存在一条经过vi的长度小于等于n的回路（圈）。,第64页,图的连通性,无向图的连通性 有向图的连通性,第65页,二、无向图的连通(connected),定义7-2.2 连通(connected)： 无向图G=中，若结点u和v间有路，则称u和v是连通的。 对于所有vV，规定结点到自身是连通
29、的。 说明： 1、由定义不难看出，无向图中结点之间的连通关系是自反的，对称的，传递的，因而结点间的连通关系是V上的等价关系。,第66页,说明2：由连通性是等价关系可以划分等价类,设无向图G=，结点之间连通关系R是结点集V上的等价关系，在此等价关系下，集合V(G)必分成一些等价类，由每个等价类导出的子图都称为G的一个连通分支，用W(G)表示G中的连通分支个数。,W(G)=3,每一个连通分支中任何两个结点是连通的，而位于不同连通分支中的任何两个结点是不连通的。每个结点和边仅能位于一个连通分支中。,第67页,定义7-2.3 若图G只有一个连通分支，则称G为连通图，否则称G是非连通图或分离图。 实质：
30、若无向图G是平凡图或G中任何两个结点都是连通的，则称G为连通图，否则称G是非连通图或分离图。 易知，G为连通图充要条件W(G)=1，G为非连通图充要条件W(G)2， 平凡图是连通图，完全图Kn(n1)都是连通图， 而零图Nn(n2)都是分离图。 在所有的n阶无向图中，n阶零图是连通分支最多的，W(Nn)=n。,连通图定义,第68页,判断下图中图G1和G2的连通性，并求其连通分支个数。,分析 本题中图很简单，并且给出了图形，很容易看出G1是连通图，G2是非连通图。容易看出，G2中可达关系的等价类为v1,v2，v3,v4，它们导出的子图即为G2的2个连通分支。 解 在上图中，G1是连通图，所以w(
31、G1) = 1。G2是非连通图，且w(G2) = 2。,v1,v2,v3,v4,e1,e2,e3,v2,v3,v4,e1,e2,v1,G1,G2,第69页,割集,例如：一份地图记载了n座城市的分布图和联络图，某些城市之间修筑了公路，任意两个城市都可以通过公路直接或间接到达，发现有些公路被损坏之后会造成某些城市之间无法通过公路相互达到，只要破坏这样的公路，就可以破坏整个城市之间的交通。 例如：城市间的通信问题，破坏某些城市就会造成通信的瘫痪。,割集在图论中是个重要概念, 在图论的理论和应用中, 都具有重要地位。割集就是使得原来连通的图, 变成不连通，需要删去的结点集合或边的集合。,第70页,（一
32、）点割集和割点,定义7-2.4 设无向图G=为连通图，若存在 （1）结点集V的非空结点真子集V1，即V1 V，且V1， （2）使得图G删除了V1的所有结点后，得到的子图是非连通图， （3）而删除了V1的任何真子集后，所得到的子图仍为连通图，则称V1是G的点割集。 若V1是单元素集，即V1 =v，则称v为割点。,第71页,点割集： v3 v5 v2，v4 割点： v3，v5,点割集举例,v1,v2,v3,v4,v5,v6,e1,e2,e3,e5,e4,e6,点割集和割点,第72页,点连通度(vertex-connectivity),为了破坏连通性,至少需要删除多少个结点? 点连通度： G是无向连
33、通非完全图, (G) = min |V| | V是G的点割集 即产生一个不连通图需删去的结点的最小数目。规定： (Kn) = n-1, 非连通图G： (G)=0 (G)|V(G)|-1,第73页,点连通度例,(G)=1 (H)=2 (F)=3 (K5)=4,由图知：点连通度越大，点连通程度越高。,第74页,（二）边割集和割边,定义7-2.5 设无向图G=为连通图， （1）若存在边集E的非空边真子集E1，即边集E1E，且E1， （2）使得图G删除了E1的所有边后，得到的子图是不连通图， （3）而删除了E1的任何真子集后，所得到的子图仍为连通图，则称E1是G的边割集。 若E1是单元素集，即E1 =
34、e，则称e为割边（或桥）。,第75页,边割集举例,e6,e5,e2,e3,e1,e2,e3,e4,e1,e4,e1,e3,e2,e4都是边割集。,e6,e5都是割边,e6,e2,e3,e1,e2,e3,e4,e1,e4,e1,e3,e2,e4,e5,第76页,边连通度(edge-connectivity),为了破坏连通性，至少需要删除多少条边? 边连通度： G是无向连通图, (G) = min |E| | E是G的边割集 即产生一个不连通图需删去的边的最小数目。 规定： G非连通： (G)=0(Kn) = n-1,第77页,边连通度例,(G)=1 (H)=2 (F)=3 (K5)=4,边连通度
35、越大，边连通程度越高。,第78页,下图的无向连通图中，,最小度(G)=3,点连通度(G)=1,边连通度(G)=2,k(G)(G) (G)。,Whitney定理,定理7-2.2 对于任何无向图G，有(G)(G)(G)。 （最小点割集=最小边割集=最小点度数）,k(G)，(G)， (G)的关系,第79页,Whitney定理的证明,证明：设G中有n个结点m条边。 (1)若G不连通，则(G)=(G)=0成立，(G)0。 (2)若G连通 1)证明(G)(G) 若G是平凡图，则(G)=0(G)； 若G是非平凡图，由于每一结点上关联的所有边显然包含一个边割集，因而删除最小度数(G)对应结点所关联的边，则使G
36、不连通，从而这(G)条边或这(G)条边中的几条边组成一个边割集，即存在一个边割集的基数小于等于(G) ，即(G)(G)。,第80页,Whitney定理的证明,2)证明(G) (G) 设(G)=1，即G中有一割边，显然有(G)=1。依据：删除与割边关联的结点，图不连通。 若(G)=2，不妨设e1,e2,，e是G中具最小边割集。这时G-e2，e是连通图且e1是它的一条割边。记e1的两个端点为u和v，在e2,e3,e 上各取一个不同于u和v的端点(重复不计)，这样最多选取-1个结点，记它们构成的子集为V1。 |V1| -1 当G-V1不连通时，(G)|V1|-1(G); 当G-V1连通时，e1是G-
37、V1的一条割边，因而e1的至少一个端点是G-V1的割点，将这个点增加到V1中得到V2，于是G-V2不连通。所以(G)|V2|=(G)。 即(G)(G),第81页,(G) =(G) =(G)的例,Kn ： (G) =(G) =(G)=n-1 Nn ： (G) =(G) =(G)=0 即n阶无向完全图Kn和n阶零图Nn都满足要求。,(G) =(G) =(G)=2,第82页,定理7-2.3 一个连通无向图G=V,E的某一点v是图G的割点的充分必要条件是存在两个结点u,w，使它们的每一条路都通过v。,割点的充要条件,第83页,定理7-2.3 一个连通无向图G=V,E的某一点v是图G的割点的充分必要条件
38、是存在两个结点u,w，使它们的每一条路都通过v。,割点的充要条件,证明： 充分性：即存在两个结点u,w，它们的每一条路都通过v ？ v是图G的割点 G中存在结点u和w，它们的每个条路均通过v，删除v后的子图G中，u到w必不连通，故v是图G的割点。 必要性： v是图G的割点 ？存在两个结点u,w，它们的每一条路都通过v。 若结点v是G的割点，则删去v后得G，必然有两个以上的连通分支G1,G2。取uV1，wV2，因G连通，所以u,w间有路C。但在G中，u,w分属不同的连通分支，故u,w不连通，因此C必经过v。即u,w间的任何一条路都要经过v。,第84页,三、有向图的连通性,可达性 两点间距离 强连
39、通、弱连通、单侧连通,第85页,（一）可达性,可达：在图G = 中，如果从u到v存在路，则称u到v是可达的，否则称u到v是不可达。 规定：任何结点到自己都是可达的。 可达关系是自反的，传递的。 双向可达：如果从u到v存在路，从v到u存在路，则称u到v是双向可达的。否则称u到v不是双向不可达。 双向可达关系是V上的等价关系, 其等价类的导出子图称为强连通分支。,第86页,（二）有向图中两点间距离,设G=为有向图， u,vV，若u可达v，则u到v长度最短的路称为u到v的距离（也称为短程线），记作d。 d满足 d=0 d0,非负性 d + dd，三角不等式 u和v不可达，则d= d不具有对称性：d=
40、1, d=2,第87页,可达性举例,baedc ced ced：双向可达性,a,b,强连通分支： Ga Gb Gc,e,d,c,d,e,第88页,（三）有向图的连通性,强连通图 简单有向图的任意一对结点之间都是可达的。 单侧连通图 简单有向图G=V,E中，任意一对结点间，至少有一个结点到另一个结点是可达的。 弱连通图 如果将图G略去方向得到的无向图是连通的。,强连通,单侧连通,弱连通,强连通图必是单侧连通、弱连通的； 单侧连通必是弱连通的； 它们的逆命题都不真。,第89页,判断下图的连通性,双向连通图,单侧连通图,弱连通图,弱连通图,单侧连通图,第90页,（四）强分图、单侧分图、弱分图,在简单
41、有向图中， 强分图：具有强连通性质的最大子图称为强分图。 单侧分图：具有单侧连通性质的最大子图称为单侧分图。 弱分图：具有弱连通性质的最大子图称为弱分图。,强分图：v1,v2,v3,v4,单侧分图：v1,v2,v3,v1,v3,v4,弱分图：v1,v2,v3,v4,注意把握（强、单侧、弱）连通分支的极大性特点，即任意增加一个结点或一条边就不是（强、单侧、弱）连通的了。,第91页,强分图性质定理,定理7-2.4 有向图G是强连通的G中有一个回路，它至少包含每个结点一次。P285 定理7-2.5 在有向图G=中，它的每一个结点位于且只位于一个强分图中。,第92页,六、通路、回路与连通性的应用,1、
42、渡河问题 例 一个摆渡人要把一只狼、一只羊和一捆菜运过河去。由于船很小，每次摆渡人至多只能带一样东西。另外，如果人不在旁时，狼就要吃羊，羊就要吃菜。问这人怎样才能将它们运过河去？ 解 用F表示摆渡人，W表示狼，S表示羊，C表示菜。若用FWSC表示人和其它三样东西在河的原岸的状态，这样原岸全部可能出现的状态为以下16种：,第93页,解(续1),FWSC FWS FWC FSC FW FS FC WSC WS WC SC F W S C 这里表示原岸什么也没有，即人、狼、羊、菜都已运到对岸去了。 根据题意我们知道，这16种情况中有6种是不允许的，它们是：WSC、FW、FC、WS、SC、F。如FC表
43、示人和菜在原岸，而狼和羊在对岸，这当然是不行的。因此，允许出现的情况只有10种。,第94页,解(续2),以这10种状态为结点，以摆渡前原岸的一种状态与摆渡一次后仍在原岸的状态所对应的结点之间的联线为边做有向图G，如图,图中给出了两种方案，方案为图中的从FWSC到的不同的基本通路，它们的长度均为7，按图中所指的方案，摆渡人只要摆渡7次就能将它们全部运到对岸，并且羊和菜完好无损。,第95页,本节小结,1.深刻理解通路与回路的定义。 2.能正确地使用不同的表示法表示通路与回路。 3. 深刻理解无向图中两个结点之间的连通关系、图的连通性等概念。 4.深刻理解点割集、边割集、点连通度、边连通度等概念。
44、5.理解有向图中，结点之间的可达、相互可达关系、等概念。 6.深刻理解有向图的连通性及分类，以及判别定理。,第96页,除用图形表示图外，还可用矩阵表示图，它的优点：(1)将图的问题变为数学计算问题，从而可借助计算机来研究图，进行相关的计算。(2)表示更清楚。 知识点： 1.邻接矩阵邻接矩阵求两点间不同长度的路的条数 2.可达性矩阵 3.完全关联矩阵 由于矩阵的行和列有固定的次序，因此在用矩阵表示图时，先要将图的结点进行排序，若不具体说明排序，则默认为书写集合V时结点的顺序。,7-3 图的矩阵表示,第97页,预备知识,第98页,预备知识,第99页,一、图的邻接矩阵,以结点与结点之间的邻接关系确定
45、的矩阵。 定义7-3.1 设简单图G=，其中V=v1,v2,vn，则n阶方阵A(G)=(aij)nn ，称为图G的邻接矩阵。其中第i行j列的元素。,第100页,图的邻接矩阵例,例7-3.1 (1) 写出下面无向图的邻接矩阵,0 1 1 0 0,1 0 1 0 0,0 0 0 0 1,1 1 0 0 0,0 0 0 1 0,第101页,例7-3.1(2)：写出下面有向图的邻接矩阵,图的邻接矩阵例,0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0,第102页,(1)邻接矩阵的主对角线元素aii=0。 (2)主对角线以外的元素aij aij=1 (ij)，说明图G是完全图； aij=0
46、 (ij)，说明图G是零图。 (3)无向图的邻接矩阵是对称的；而有向图的邻接矩阵不一定对称；因为在无向图中一条无向边应看成方向相反的两条有向边，因此无向图的邻接矩阵关于主对角线对称。,图的邻接矩阵说明：,第103页,(4)结点的度数 无向图： 每行1的个数=每列1的个数=对应结点的度有向图: 每行1的个数=对应结点的出度 每列1的个数=对应结点的入度,图的邻接矩阵说明：,第104页,图的邻接矩阵的应用,(1)由邻接矩阵可计算出从vi到vj的长度为L的路的数目，可计算从vi出发的长度为L的回路数。 (2)计算结点vi与vj之间的距离。 (3)判断G是否是连通图，及G中任意两个结点是否连通。,第1
47、05页,图的邻接矩阵的应用,(1)由邻接矩阵可计算出从vi到vj的长度为L的路的数目，可计算从vi出发的长度为L的回路数。 定理7-3.1 设G是具有结点集v1，v2，vn和邻接矩阵A的图，则矩阵AL（l=1，2，）的第i行第j列的元素aij(L)=m，表示图G中从结点vi到vj长度为L的路有m条（即路的数目）。,第106页,定理7-3.1 设G是具有结点集v1，v2，vn和邻接矩阵A的图，则矩阵AL（l=1，2，）的第i行第j列的元素aij(L)=m，表示图G中从结点vi到vj长度为L的路有m条（即路的数目）。,证明： （从vi到vj的长度为l的路可看作从vi到vk的长度为1的路，再联结vk到vj的长度为l-1的路。） 用数学归纳法：1）当l=2时，成立。2）设l=p时命题对l成立，,
