1、第一章 复数1 =-1 欧拉公式 z=x+iy 2i1i实部 Re z 虚部 Im z2 运算 2121Rez21Imz 2121 IeImRezzz 121212yxiyxii 212122221 yxiyiiz 共轭复数iyx共轭技巧2yxiz运算律 P1 页3 代数，几何表示z 与平面点 一一对应，与向量一一对应iyxzyx,辐角 当 z0 时，向量 z 和 x 轴正向之间的夹角 ，记作 =Arg z= k20k=123把位于- 的 叫做 Arg z 辐角主值 记作 =00 0argz4 如何寻找 arg z例：z=1-i 4z=i 2z=1+i z=-1 5 极坐标： ， cosrxs
2、inrysincoriyxz利用欧拉公式 iei可得到 irez21212121 iiiii erz6 高次幂及 n 次方 nirezznin sco凡是满足方程 的 值称为 z 的 n 次方根，记作 nnz即 kirez2rnr1k2 k2第二章解析函数1 极限2 函数极限 复变函数对于任一 都有 与其对应DZWzf注：与实际情况相比，定义域，值域变化例 zf 称 当 时以 A 为极限Az0lim0zzf0当 时，连续0f例 1 证明 在每一点都连续z证： 000zfz 0z所以 在每一点都连续3 导数000limzzdfzff 例 2 时有 Cf 证：对 有 所以z0limlim00 zC
3、zffz 0C例 3 证明 不可导f解：令 0z iyxzzf 000当 时，不存在，所以不可导。定理： 在 处可导 u，v 在 处可微，且满足 C-yxivuzf,iy,R 条件 且yxxizf例 4 证明 不可导zf解： 其中 u,v 关于 x,y 可微iyxxyu,yv,不满足 C-R 条件 所以在每一点都不可导1vxu例 5 zfRe解： xzxyu,0,yv不满足 C-R 条件 所以在每一点都不可导01yvxu例 6： 2zf解： 其中 yxz2,yxu0,xv根据 C-R 条件可得 02, 0所以该函数在 处可导0z4 解析若 在 的一个邻域内都可导，此时称 在 处解析。zf0 z
4、f0用 C-R 条件必须明确 u,v四则运算 gff zgfgfk 1nnzfff e2gff例：证明 zefze解： yixxsnco则 yexuxs,evxi, yevyexuxcoscos任一点 处满足 C-R 条件yxyxsinin iz所以 处处解析 ze zxxeyieviuzf snco练习：求下列函数的导数zf2解: 323232 yxiyxiyixiyx 所以 23,xyxu32,v 2u2v根据 C-R 方程可得 y xyv2233yxvxuy 0,所以当 时 存在导数且导数为 0，其它点不存在导数。0zzf初等函数常数指数函数 yiexzsnco 定义域 2121zz z
5、ziz eie2snco2 ze对数函数 称满足 的 叫做 的对数函数，记作e l分类：类比 的求法（经验）nz目标：寻找 幅角主值arg可用： eziivu过程： iiivi erer iviuer,kvu2,ln2,10所以 kzirgziiri 2arglnlnl A,10k例：求 的值Lni1iLarg12argl1kii2,04ari kikiiiLn 24ln21argl1 2,102argikikiiLn21argl 2,10幂函数 对于任意复数 ，当 时0zLnze例 1：求 的值i解： kikiiArgiLniii eeee 2121ln11ln12,0k例 2：求 kiii
6、iii ee24ln2131ln31ln33三角函数yieiysncoieyiyiii2sinco定义：对于任意复数 ，由关系式可得 的余弦函数和正弦函数ixzz2cosiizeiezii2sin例：求 i1ni5co解： iie112siii55co第三章复变函数的积分1 复积分定理 3.1 设 C 是复平面上的逐段光滑曲线 在 C 上连续，则yxivuzf,在 C 上可积，且有yxivuzf, CCC dxyvxidd ,注：C 是线 方式跟一元一样方法一：思路：复数实化把函数 与微分 相乘，可得ivuzfiyxz CCC dxyvudyxd ,方法二：参数方程法 核心：把 C 参数C：
7、tztdzdf例： 求 C：0 的直线段 ；i110 CiC 2解：C： ittzt1010didd tz:1tittzC1:2 10t 01 1221 iidtitdzdC 结果不一样2 柯西积分定理例： Cnidza0211nC：以 a 为圆心， 为半径的圆，方向：逆时针解：C： ieziyxz20 10112102012020 nideinidei zaninn inini积分与路径无关：单联通 处处解析例：求 ，其中 C 是连接 O 到点 的摆线：Cdzz82a2, cos1inayx解：已知，直线段 L 与 C 构成一条闭曲线。因 在全平面上解析，8zzf则 LCdzz0182即 L
8、dz182把函数沿曲线 C 的积分化为沿着直线段 L 上的积分。由于 La aaxxdzz 20 22 18318故 C 18322 关键：恰当参数 合适准确带入 z3 不定积分定义 3.2 设函数 在区域 D 内连续，若 D 内的一个函数 满足条件zf zz定理 3.7 若可用上式，则 z zdf0 0Dz0,例： 计算 deiz0解： 1iiziz练习：计算 eiz232解： 2143612212132122 izdezddiziiz4 柯西积分公式定理 处处解析 在简单闭曲线 C 所围成的区域内则zf Cdzafiaf例 1： zde解： 01011 zzzz ed例 2： 2sinz解
9、： 1sin2si21sin12dzdzdz zz 例 3： 279zz解： 222 599z izz idzidz Cfif1D注：C： Dz 一次分式找到 在 D 内处处解析zff例 4： 21sinzdz解： 22 012 1sin2sin2sin0sin1sinzz zzz dzdz 5 解析函数的高阶导数公式： n=1，2Cnndzfizf 12! Dz应用要点： D “1zn精准分离 1nzf例： 02sin!si2n011213zzZdz6 调和函数若 满足 则称 叫做 D 内的调和函数yxg, 022ygxyx,若 在 D 内解析ivuzf,所以 022yxyx把 称为共轭调和
10、函数vu,第四章 级数理论1 复数到 距离1nzzd,谈极限 对 若有 使得 D00,0zdnn n此时 为 的极限点 记作 或 0znzlim0推广：对一个度量空间 都可谈极限x,2 极限的性质0nz00zznnn0n3 iyxziyxznn00n4 级数问题 nz部分和数列nzS321 nS若 则 收敛，反之则发散。10limnnn性质：1 若 都收敛，则 收敛znnnzz2 若一个收敛，一个发散，可推出发散3 01Snn若 绝对收敛 nnaa若 但 收敛 ，为条件收敛等比级数 ： zzzSnnn 12时收敛，其他发散n1幂级数 00nnzC则0z0n求收敛域 0lim1nC0R0例：求
11、的收敛半径及收敛圆1nz解：因为 所以级数的收敛半径为 R=1，收敛圆为1limlinCn 1z泰勒级数泰勒定理：设函数 在圆 K： 内解析，则 在 K 内可以展成幂级数zf Rz0zf其中， ， （n=0,1,2） ，且展式还是唯一的。00nnCzf !nfC例 1：求 在 处的泰勒展式zef解 ： 在全平面上解析， ，z znef10nf所以在 处的泰勒展式为0!21nzzez z例 2： 将函数 展成 的幂级数21zfi解： 122 111 niziziizzzfi罗朗级数罗朗定理 若函数 在圆环 D： 内解析，zf Rrzr0则当 时，有DznnCf0其中 dzfiCnn1021 2,
12、1例：将函数 在圆环（1） （2）2zf zz内展成罗朗级数。解：（1）在 内，由于 ，所以z,z 0000112121nnnnzzz zzf（2）在 内，由于 ，所以, 001212 121nnnzzz zzzzf孤立奇点定义：若函数 在 的去心邻域 内解析，在 点不zf0 Rz00z解析，则称 为 的孤立奇点。0例 ： 为可去奇点!12!531sin42nzzz 0z为一级极点!i 312n为本性奇点1213!1sinnnzzz 0z第 5 章 留数理论（残数）定义： 设函数 以有限项点 为孤立奇点，即 在 的去心邻域zf0zzf0内解析，则称积分 的值为函数 在点 处的留数Rz0 Cdf
13、i21记作： zfifs,e0其中， ，C 的方向是逆时针。zC:例 1：求函数 在 处的留数。1sin4fz解：因为 以 为一级零点，而 ，因此 以 为一级极点。4z01sinzf14i1sin,Re 134zzfs例 2：求函数 在 处的留数zef0解： 是 的本性奇点，因为0z nnzz zzzzef 1!21!1!2110所以 !1!3211 nC可得 !1!3210,Re nzfs第 7 章 傅里叶变换 通过一种途径使复杂问题简单化，以便于研究。定义：对满足某些条件的函数 在 上有定义，则称tf ,dtetfFi为傅里叶变换。同时 为傅里叶逆变换tftfti注：傅里叶变换是把函数 变
14、为函数tfF傅里叶逆变换是把函数 变为函数 tf求傅里叶变换或傅里叶逆变换，关键是计算积分两种常见的积分方法：凑微分、分部积分复习积分： xxx ede10 71cos17sin7sin xd 63621 323233 2222 xxxx eeedexxxxxxxeedeed633222233xxdxxdcos2siniiiisni2222注： udvvdxu例 1：求 的01tfstF解：seitidei dtedtetfFsiististi sisistitin201 例 2：求 的tetf00tF解：200001iedtdtfFtii ittiti-函数定义：如果对于任意一个在区间 上连续的函数 ，恒有,tf，则称 为 -函数。000tfdtftt例 1：求 -函数的F解： 100 tititi ete例 2：求正弦函数 的傅氏变换ttf0sin解： 000221si00i dteiiettdFittiiiti Ft 11 F第 8 章 拉普拉斯变换设 在 时有定义tf0
