1、1高中数学空间向量之-平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量 1、定义：如果 ，那么向量 叫做平面 的法向量。平面 的法向量共有两大类（从方向上分） ，无aa数条。2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面 的法向量 或 ，或 ，(,1)nxy(,)nxz(1,)nyz在平面 内任找两个不共线的向量 。由 ，得 且 ，由此得到关于 的方程组，解此,abn0ab方程组即可得到 。n方法二：任何一个 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是 的一次方程。zyx, zyx,，称为平面的一般方程。其法向量 ;若平面与 3 个0DCByAx )0,(不 同 时
2、为CBA )(CBAn坐标轴的交点为 ,如图所示,则平面方程为: ,称此方程为平面的截(),321 cPbaP 1czba距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积 为一长度等于 ，（ 为sin|ba, 两者交角，且 ），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取右手定则，也就是右手四指由 0的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为 的方向, 。a:),(),(21则设 zyxbzyxa21yba,z21x,21y（注：1、二阶行列式: ；2、适合右手定则。 ）cMcd例 1、 已知， ，)1,(),012(ba试求（1）： （2
3、）：;.aKey: (1) ;)5,()5,2(例 2、如图 1-1,在棱长为 2 的正方体 中，1ABCD求平面 AEF 的一个法向量 。n 图 1-1 C1CB yFA DxA1 D1 z B1E)2,(:EFnkey法 向 量2二、平面法向量的应用1、 求空间角 (1)、求线面角：如图 2-1，设 是平面 的法向量，nAB 是平面 的一条斜线， ，则 AB 与平面A所成的角为：图 2-1-1: .|arcos2,2ABnBn图 2-1-2: 2|r, A(2)、求面面角:设向量 ， 分别是平面 、 的法向量，则二面角 的平面角为：mnl|arcos,n（图 2-2）;n(图 2-3)两个
4、平 面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面 角。约定，在图 2-2 中， 的方向对平面 而言向外，m的方n向对平面 而言向内；在图 2-3 中， 的方向对平面而言 向内， 的方向对平面 而言向内。我们只要用两个向n量的向量积（简称“外 积” ，满足“右手定则” ）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角 的平面角。l2、 求空间距离（1） 、异面直线之间距离:方法指导：如图 2-4,作直线 a、 b 的方向向量 、 ，ab求 a、 b 的法向量 ，即此异面直线 a、 b 的公垂线的方向向量；n在直线 a、 b 上各取一点 A、 B，作向量
5、 ；求向量 在 上的射影 d，则异面直线 a、 b 间的距离为AB,其中|ndbna,（2） 、点到平面的距离:图 2-4n abABn m图 2-2 图 2-3n图 2-5nAM BN O|,cos|inABAB 图 2-1-2Cn图 2-1-1 B nAC3方法指导：如图 2-5,若点 B 为平面 外一点，点 A为平面 内任一点，平面的法向量为 ，则点 P 到n平面 的距离公式为 |Ad（3） 、直线与平面间的距离:方法指导：如图 2-6,直线 与平面 之间的距离：a，其中 。 是平面 的法向量|ABndB,n（4） 、平面与平面间的距离:方法指导： 如 图 2-7,两 平 行 平 面 之
6、 间 的 距 离 ：,， 其 中 。 是 平 面 、 的 法 向 量 。|nABd,Bn3、 证明（1） 、证明线面垂直：在图 2-8 中, 向是平面 的法向量， 是直线 a 的方向向量，m证明平面的法向量与直线所在向量共线（ ） 。a（2） 、证明线面平行：在图 2-9 中, 向是平面 的法向量， 是直线 a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（ ） 。0am（3） 、证明面面垂直：在图 2-10 中， 是平面 的法向量， 是平mn面 的法向量，证明两平面的法向量垂直（ ） 0n（4） 、证明面面平行：在图 2-11 中, 向是平面 的法向量， 是平面 的法向量，证明两平面的法向
7、量共线（ ） 。m三、高考真题新解1、 （2005 全国 I，18） （本大题满分 12 分）已知如图 3-1,四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形，ABDC， PADB,90底面 ABCD，且 PA=AD=DC= AB=1，M 是 PB 的中点 奎 屯王 新 敞新 疆21图 2-11n图 2-10 mn图 2-9 a图 2-8am图 2-7 A BnAaBn图 2-6图 3-1 CDMAPB4（）证明：面 PAD面 PCD；（）求 AC 与 PB 所成的角；（）求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小 奎 屯王 新 敞新 疆解:以 A 点为原点,以分别以 AD，AB，AP 为 x 轴，
8、y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 A-xyz 如图所示.， ，设平面 PAD 的法向量为)1,0().(PI)0,(D)0,1(ADPm， ，设平面 PCD 的法向量为C又 1Cn， ，即平面 PAD 平面 PCD。nmn， ，).(I)0,1(A)1,2(PB 510arcos|arcos, PBAPBAC， ，设平在 AMC 的法向量为 ,CM0,C ),2(CMm又 ,设平面 PCD 的法向量为 .)01(B )1,2(Mn.)32arcos(|arcos,nmn面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小为 .3arcos或2、(2006 年云南省第一次统测 19 题) (本题满分 1
9、2 分)如图 3-2，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，已知 AB AA1 a， BC a， M 是 AD 的中点。2()求证： AD 平面 A1BC；()求证：平面 A1MC平面 A1BD1；()求点 A 到平面 A1MC 的距离。解:以 D 点为原点,分别以 DA,DC,DD1为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 D-xyz 如图所示., ,设平面 A1BC 的法向量为).(I)02(aBC),(aB )2,0(1aBACn又 , , ,即 AD/平面 A1BC.AADnn, ,设平面 A1MC 的法向量为: ).(I)02(aM)02(1a,),(21ACm 图3-25又
10、 , ,设平面 A1BD1的法向量为: ,),2(1aBD),0(1aBA )2,0(1aBADn, ,即平面 A1MC 平面 A1BD1.0nmn设点 A 到平面 A1MC 的距离为 d,).(I是平面 A1MC 的法向量,)2,(21aaMC又 , A 点到平面 A1MC 的距离为: .)0(AamMd21|四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2） 、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3） 、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形问题）
