1、12.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质【选题明细表】 知识点、方法 题号线面垂直性质的理解 3,4,10面面垂直性质的理解 1,2线面垂直性质的应用 4,6面面垂直性质的应用 5,7,8,9,11,121.已知两个平面垂直,下列说法:一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确说法个数是( C )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0解析:如图在正方体 ABCD A1B1C1D1中,对于AD
2、1平面 AA1D1D,BD平面 ABCD,AD1与 BD 是异面直线,成角 60,错误;正确.对于,AD 1平面 AA1D1D,AD1不垂直于平面 ABCD;对于,如果这点为交线上的点,可得到与交线垂直的直线与两平面都不垂直,错误.故选 C.2.(2018陕西西安一中月考)在空间四边形 ABCD 中,平面 ABD平面 BCD,且 DA平面 ABC,则ABC 是( A )(A)直角三角形 (B)等腰三角形(C)等边三角形 (D)等腰直角三角形解析:过点 A 作 AHBD 于点 H,由平面 ABD平面 BCD,得 AH平面 BCD,则 AHBC.又 DA平面 ABC,所以 BCAD,所以 BC平面
3、 ABD,所以 BCAB,即ABC 为直角三角形.故选 A.3.如果直线 l,m 与平面 , 之间满足:l=,l,m 和 m,那么( A )(A) 且 lm (B) 且 m(C)m 且 lm (D) 且 解析:由 m,m 得 ,由 l=,得 l,所以 ml.故选 A.4.已知 m,n 是两条不同直线, 是两个不同平面,则下列命题正确的是( D )(A)若 , 垂直于同一平面,则 与 平行(B)若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行(C)若 , 不平行,则在 内不存在与 平行的直线(D)若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面解析:若 , 垂直于同一个平面 ,则 , 可
4、以都过 的同一条垂线,即 , 可以相2交,故 A 错;若 m,n 平行于同一个平面,则 m 与 n 可能平行,也可能相交,还可能异面,故 B 错;若 , 不平行,则 , 相交,设 =l,在 内存在直线 a,使 al,则 a,故 C 错;从原命题的逆否命题进行判断,若 m 与 n 垂直于同一个平面,由线面垂直的性质定理知 mn,故 D 正确.5.(2018沈阳检测)如图,平行四边形 ABCD 中,ABBD.沿 BD 将ABD 折起,使平面 ABD平面 BCD,连接 AC,则在四面体 ABCD 的四个面所在平面中,互相垂直的平面的对数为( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:因为平面
5、 ABD平面 BCD,又 ABBD,所以 AB平面 BCD,AB平面 ABC,所以平面 ABC平面 BCD.同理,平面 ACD平面 ABD.故四面体 ABCD 中互相垂直的平面有 3 对.故选 C.6.(2018河北邢台调研)设 , 是两个不同的平面,l 是一条直线,给出四个命题:若 l,则 l;若 l,则 l;若 l,则 l;若 l,则 l.则正确命题的个数为 . 解析:错,可能有 l;错,可能有 l;正确;错,也可能有 l,或 l 或 l与 相交.答案:17.如图所示,三棱锥 P ABC 的底面在平面 上,且 ACPC,平面 PAC平面 PBC,P,A,B 是定点,则动点 C 运动形成的图
6、形是 .解析:因为平面 PAC平面 PBC,ACPC,AC平面 PAC,平面 PAC平面 PBC=PC.所以 AC平面 PBC.又 BC平面 PBC,所以 ACBC,所以ACB=90.所以动点 C 运动形成的图形是以 AB 为直径的圆(除去 A,B 两点).答案:以 AB 为直径的圆(除去 A,B 两点)8.(2018江苏启东中学月考)如图,在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中,已知平面 AA1C1C平面 ABCD,且AB=BC=CA= ,AD=CD=1.3(1)求证:BDAA 1;(2)若 E 为棱 BC 的中点,求证:AE平面 DCC1D1.证明:(1)在四边形 ABCD 中,因为 AB
7、=BC,AD=DC,所以 BDAC,又平面 AA1C1C平面 ABCD,且平面 AA1C1C平面 ABCD=AC,BD平面 ABCD,所以 BD平面 AA1C1C,又因为 AA1平面 AA1C1C,所以 BDAA 1.(2)在三角形 ABC 中,因为 AB=AC,且 E 为棱 BC 的中点,所以 AEBC,又因为在四边形 ABCD 中,AB=BC=CA= ,AD=CD=1.所以ACB=60,ACD=30,所以 DCBC,所以 AECD.因为 CD平面 DCC1D1,AE平面 DCC1D1,故得 AE平面 DCC1D1.9.(2018甘肃嘉峪关期末)如图,以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC
8、上的高 AD 为折痕,把ABD 和ACD 折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:BDAC;BAC 是等边三角形;三棱锥 D ABC 是正三棱锥;平面 ADC平面 ABC.其中正确的是( B )(A) (B)(C) (D)解析:设等腰直角ABC 的腰长为 a,则斜边 BC= a,因为 D 为 BC 的中点,所以 ADBC,又平面 ABD平面 ACD,平面 ABD平面 ACD=AD,BDAD,BD平面 ABD,所以 BD平面 ADC,又 AC平面 ADC,所以 BDAC,故正确;由 A 知,BD平面 ADC,CD平面 ADC,所以 BDCD,又 BD=CD= a,所以由勾股定理得 BC
9、= a=a,又 AB=AC=a,所以ABC 是等边三角形,故正确;因为ABC 是等边三角形,DA=DB=DC,所以三棱锥 D ABC 是正三棱锥,故正确.因为ADC 为等腰直角三角形,取斜边 AC 的中点 F,则 DFAC,又ABC 为等边三角形,连接 BF,则 BFAC,4所以BFD 为平面 ADC 与平面 ABC 的二面角的平面角,由 BD平面 ADC 可知,BDF 为直角,BFD 不是直角,故平面 ADC 与平面 ABC 不垂直,故错误.综上所述,正确的结论是.故选 B.10.(2018宿州市高二期中)设 m,n 为空间的两条直线, 为空间的两个平面,给出下列命题:若 m,m,则 ;若
10、m,m,则 ;若 m,n,则 mn;若 m,n,则 mn.上述命题中,其中假命题的序号是 . 解析:若 m,m,则 与 相交或平行都可能,故不正确;若 m,m,则 ,故正确;若 m,n,则 m 与 n 相交、平行或异面,故不正确;若 m,n,由线面垂直的性质定理知 mn,故正确.答案:11.如图 1,在直角梯形 ABCD 中,ADBC, BAD= ,AB=BC= AD=a,E 是 AD 的中点,O 是 AC 与BE 的交点.将ABE 沿 BE 折起到图 2 中A 1BE 的位置,得到四棱锥 A1 BCDE.(1)证明:CD平面 A1OC;(2)当平面 A1BE平面 BCDE 时,四棱锥 A1
11、BCDE 的体积为 36 ,求 a的值.(1)证明:在题图 1 中,因为 AB=BC= AD=a,E 是 AD 的中点,BAD= ,ADBC,所以 BEAC,BECD,即在题图 2 中,BEA 1O,BEOC,且 OA1OC=O,从而 BE平面 A1OC,又 CDBE,所以 CD平面 A1OC.(2)解:由已知,平面 A1BE平面 BCDE,且平面 A1BE平面 BCDE=BE,又由(1)知 A1OBE,所以 A1O平面 BCDE,即 A1O 是四棱锥 A1 BCDE 的高.由题图 1 知,A 1O= AB= a,平行四边形 BCDE 的面积 S=BCAB=a2.从而四棱锥 A1 BCDE 的
12、体积为 V= SA1O= a2 a= a3,由 a3=36 得 a=6.512.如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是DAB=60且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 为等边三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD.(1)求证:ADPB;(2)若 E 为 BC 的中点,能否在棱 PC 上找到一点 F,使平面 DEF平面 ABCD?并证明你的结论.(1)证明:设 G 为 AD 的中点,连接 PG,BG.因为PAD 为等边三角形,所以 PGAD.在菱形 ABCD 中,DAB=60,G 为 AD 的中点,所以 BGAD.又 BGPG=G,所以 AD平面 PGB.因为 PB平面 PGB,所以 ADPB.(2)解:当 F 为 PC 的中点时,满足平面 DEF平面 ABCD.证明:取 PC 的中点 F,连接 DE,EF,DF.则 EFPB,所以可得 EF平面 PGB.在菱形 ABCD 中,GBDE,所以可得 DE平面 PGB.而 EF平面 DEF,DE平面 DEF,EFDE=E,所以平面 DEF平面 PGB.由(1)得 PG平面 ABCD,而 PG平面 PGB,所以平面 PGB平面 ABCD,所以平面 DEF平面 ABCD.
