1、11.1 导数1理解函数在某点的平均变化率的概念，并会求此平均变化率2理解运动物体在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)3理解导数的几何意义，并会求曲线在某点处的切线方程1函数的平均变化率一般地，已知函数 y f(x)， x0， x1是其定义域内不同的两点，记 x x1 x0， y y1 y0 f(x1) f(x0) f(x0 x) f(x0)，则当 x0 时，商_称作函数 y f(x)在区间 x0， x0 x(或 x0 x， x0)的平均变化率 x， y 的值可正、可负，但 x 的值不能为 0， y 的值可以为 0.若函数 f(x)为常数函数，则 y0.【做一做 11】已知函数 y f(x) x2
2、1，则在 x2， x0.1 时， y 的值为( )A0.40 B0.41C0.43 D0.44【做一做 12】在 x1 附近，取 x0.3，在四个函数： y x； y x2； y x3； y 中，平均变化率最大的是( )1xA B C D2瞬时变化率与导数(1)设函数 y f(x)在 x0及其附近有定义，当自变量在 x x0附近改变量为 x 时，函数值相应地改变 y f(x0 x) f(x0)如果当 x 趋近于 0 时，平均变化率 趋近于一个常数 l，那 y x f(x0 x) f(x0) x么常数 l 称为函数 f(x)在点 x0的_(2)“当 x 趋近于 0 时， 趋近于常数 l”可以用符
3、号“”记作f(x0 x) f(x0) x“当 x0 时， l”，或记作“ 0limx l”，符号f(x0 x) f(x0) x f(x0 x) f(x0) x“”读作“趋近于” 函数 y f(x)在点 x0的瞬时变化率，通常称为 f(x)在点 x0处的_，并记作 f (x0)这时又称 f(x)在点 x0处是可导的于是上述变化过程，可以记作“当 x0 时，_”或“ 0lix_” f(x0 x) f(x0) x f(x0 x) f(x0) x(3)如果 f(x)在开区间( a， b)内每一点 x 都是可导的，则称 f(x)在区间( a， b)_这样，对开区间( a， b)内每个值 x，都对应一个确
4、定的导数 f (x)于是，在区间( a， b)内， f (x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数 y f(x)的_，记为 f (x)或 y (或 yx )导函数通常简称为_(1) x 是自变量 x 在 x0处的改变量， x0，而 y 是函数值的改变量，可以是零(2)对于导函数的定义的几种形式表示如下：2y 0limx；f(x x) f(x) xy lix；f(x) f(x x) xy 0lix；f(x x) f(x) xy limx.f(x) f(x0)x x0【做一做 21】若质点按规律 s3 t2运动，则在 t3 时的瞬时速度为( )A6 B18 C54 D81【做一做 22】已知函
5、数 f(x)在 x x0处可导，则 ( lim x 0f(x0 x) f(x0) x)A与 x， x0都有关B仅与 x0有关而与 x 无关C仅与 x 有关而与 x0无关D与 x0， x 均无关3导数的几何意义设函数 y=f(x)的图象如图所示 AB 是过点 A(x0， f(x0)与点 B(x0+ x， f(x0+ x)的一条割线由此割线的斜率是 0fyx，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率当点 B 沿曲线趋近于点 A 时，割线 AB 绕点 A 转动，它的最终位置为直线AD，这条直线 AD 叫做此曲线在点 A 的切线于是，当 x0 时，割线 AB 的斜率趋近于在点 A 的切线 AD 的斜率，
6、即 0limx切线 AD 的斜率f(x0 x) f(x0) x由导数意义可知，曲线 y f(x)在点( x0， f(x0)的切线的斜率等于_【做一做 31】曲线 y3 x22 在点(0,2)处的切线的斜率为( )A6 B6 C0 D不存在【做一做 32】下面说法正确的是( )A若 f (x0)不存在，则曲线 y f(x)在点( x0， f(x0)处没有切线B若曲线 y f(x)在点( x0， f(x0)处有切线，则 f (x0)必存在C若 f (x0)不存在，则曲线 y f(x)在点( x0， f(x0)处的切线斜率不存在D若曲线 y f(x)在点( x0， f(x0)处没有切线，则 f (x
7、0)有可能存在1 “函数 f(x)在点 x x0处的导数” “导函数” “导数”三者有何关系？剖析：(1)函数在点 x x0处的导数 f (x0)是一个数值，不是变量(2)导函数也简称导数，所以3(3)函数 y f(x)在点 x x0处的导数 f (x0)就是导函数 f (x)在点 x x0处的函数值所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算导函数在这点的函数值2曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？剖析：回答是否定的这就是我们为什么要用割线的极值位置来定义切线，而不说与曲线只有一个公共点的直线叫切线，其理由如下：在初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，
8、这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的定义推广为一般曲线的切线的定义：直线和曲线有唯一公共点时，该直线叫做曲线在该点的切线，显然这种推广是不妥当的观察图中的曲线 C，直线 l1虽然与曲线 C 有唯一的公共点 M，但我们不能说直线 l1与曲线 C 相切；而直线 l2尽管与曲线 C 有不止一个公共点，我们还是说直线 l2是曲线 C 在点N 处的切线因此，对于一般的曲线，必须重新寻求曲线切线的定义一般地，过曲线 y f(x)上一点 P(x0， y0)作曲线的割线 PQ，当点 Q 沿着曲线无限趋近于点 P 时，若割线 PQ 趋近于某一确定的位置，则称这一确定位
9、置的直线为曲线 y f(x)在点 P 处的切线在这里，要注意，曲线 y f(x)在点 P 处的切线：(1)与点 P 的位置有关；(2)要依据割线 PQ 是否存在极限位置来判定与求解如有极限，则在此点处有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线题型一 求瞬时速度【例题 1】已知物体的运动方程如下： 2231 (3), tts求此物体在 t1和 t3 时的瞬时速度(位移的单位： m，时间的单位： s)分析：先求平均变化率，即平均速度，再取极限(注意定义域的限制)反思：质点运动的瞬时速度不同于质点在某段时间内运动的平均速度题型二 导数定义的应用【例题 2】过曲线 y f(x) x3上两点 P
10、(1,1)和 Q(1 x,1 y)作曲线的割线，求出当 x0.1 时割线的斜率分析：割线 PQ 的斜率即为函数 f(x)在 x1 到 x1 x 之间的平均变化率 . y x反思：一般地，设曲线 C 是函数 y f(x)的图象， P(x0， y0)是曲线上的定点，点Q(x0 x， y0 y)是 C 上与点 P 邻近的点，有y0 f(x0)， y0 y f(x0 x)， y f(x0 x) f(x0)，割线 PQ 的斜率为4tan ， y x f(x0 x) f(x0) x曲线 C 在点 P 处的斜率为tan 0limx 00()(lixff.题型三 求切线方程【例题 3】已知曲线 C： y x3
11、.(1)求曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线方程；(2)第(1)问中的切线与曲线 C 是否还有其他公共点？分析：求切线方程可先求出切线的斜率，再应用点斜式写出切线方程；判断直线与曲线的交点个数，可联立方程组求其解的个数反思：(1)求曲线的切线的斜率的步骤：求函数值的增量 y f(x0 x) f(x0)；求割线的斜率 tan ； y x求极限 0limx 0li0ff；若极限存在，则切线的斜率 0limxyk.(2)由导数的几何意义得出求切线方程的步骤：先求出函数 y f(x)在点 x0处的导数 f (x0)；根据点斜式得切线方程为 y y0 f (x0)(x x0)题型四 易错辨析易错点：
12、在求曲线过某点的切线方程时，不注意判断该点是否在曲线上，而直接把点当成在曲线上求切线方程，导致方程求错，避免错误的方法是看到此类题目先判断该点是否在曲线上，然后根据不同情况求解【例题 4】试求过点 M(1,1)且与曲线 y x31 相切的直线方程错解： 3 x x3 x2( x) y x (x x)3 1 x3 1 x 3x( x)2 3x2 x ( x)3 x2， 0limx3 x2，因此 y3 x2，所以切线在 x1 处的斜率 k3.故切线方程为 y xy13( x1)，即 3x y20.1 一质点运动的方程为 s53 t2，则在时间1,1 t内的平均速度为( )A3 t6 B3 t6C3
13、 t6 D3 t62 设函数 f(x) ax32，若 f (1)3，则 a( )A1 B C1 D12 133 设 f(x)为可导函数且满足 0)2lim=xfx,则过曲线 y f(x)上的点(1， f(1)的切线的斜率为( )A2 B1C1 D24 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离 s(m)与时间 t(s)之间的函数关系为 s t2，则 t2 s 时，此木块在水平方向的瞬时速度为_ m/s.1855 已知函数 f(x) x ，则它与 x 轴交点处的切线方程为_1x答案：基础知识梳理【做一做 11】B x2， x0.1， y f(x x) f(x) f(2.1) f(2)0.41.
14、【做一做 12】B 根据平均变化率的定义可求得四个函数的平均变化率依次为1,2.3,3.99， .10132(1)瞬时变化率 (2)导数 f (x0) f (x0)(3)可导 导函数 导数【做一做 21】B 瞬时速度v (3 t18)18.lim t 0 s t lim t 0s 3 t s 3 t lim t 0【做一做 22】B 由导数的定义，对给定的可导函数 f(x)有 0li f (x0)显然， f (x0)仅与 x0有关而与 x 无关f x0 x f x0 x3 f (x0)【做一做 31】C f (0) 0limx 0limx(3 x) 3 0 x 2 2 0 2 x0.【做一做
15、32】C 函数 f(x)在一点 x x0处的导数 f (x0)的几何意义是 y f(x)在这一点处切线的斜率，但 f (x0)不存在，并不能说明这一点处不存在切线，而是说明在这一点处的切线的斜率不存在，即若在这一点处的切线的斜率不存在，曲线在该点处也可能有切线所以函数 f(x)在某点可导，是相应曲线上过该点存在切线的充分不必要条件典型例题领悟【例题 1】解：当 t1 时， s3 t21，v 0limt 0lit s t s t t s t t 0lit3 1 t 2 1 312 1 t 0lit6(m/s)6 t 3 t 2 t当 t3 时， s23( t3) 2，v 0limt 0limts
16、 t t s t t 2 3 3 t 3 2 2 3 3 3 2 t 0lit 0lit3 t0 (m/s)3 t 2 t6物体在 t1 和 t3 时的瞬时速度分别为 6 m/s 和 0 m/s.【例题 2】解： y f(1 x) f(1)(1 x)313 x3( x)2( x)3.割线 PQ 的斜率 ( x)23 x3. y x x 3 3 x 2 3 x x当 x0.1 时，设割线 PQ 的斜率为 k，则 k (0.1) 230.133.31. y x【例题 3】解：(1)将 x1 代入曲线 C 的方程，得 y1，所以切点为 P(1,1)因为 y 0limx 0lix 0limx y x
17、x x 3 x3 x 0lix3x23 x x( x)23 x2，3x2 x 3x x 2 x 3 x所以 1|xy.所以过点 P 的切线方程为 y13( x1)，即 3x y20.(2)由Error! 可得( x1) 2(x2)0，解得 x1 x21， x32.从而求得公共点为 P(1,1)或 P(2，8)，说明切线与曲线C 有除切点外的公共点【例题 4】错因分析：错解中将点 M(1,1)当成了曲线 y x31 上的点因此在求过某点的切线时，一定要先判断点是否在曲线上，再根据不同情况求解正解：由错解可知 y 3 x2，因为点 M(1,1)不在曲线 y x21 上，所以设过点 M(1,1)的切
18、线与 y x31 相切于点 P(x0， x 1)，依据导数的几何意义，函数在点 P 处的切线的斜30率为 k3 x ，过点 M(1,1)的切线的斜率 k ，由得，3 x ，20x30 1 1x0 1 20 x30x0 1解之得 x00 或 x0 ，所以 k0 或 k ，因此曲线 y x31 过点 M(1,1)的切线方程有32 274两条，分别为 y1 (x1)和 y1，即 27x4 y230 和 y1.274随堂练习巩固1D 3 t6.v5 3 1 t 2 5 312 t2C f (1) 0limx 0limxa( x)23 a x3 af 1 x f 1 x3 a3， a1.3B 0lix 0lix 20lixf 1 f 1 2x2x f 1 2x f 1 2x f (1)1.f1 2x f 1 2x74 t2 s 时瞬时速度为 (4 t) .12 lim t 018 2 t 2 1822 t lim t 018 1252 x y20 和 2x y20 令 x 0，得 x1，曲线与 x 轴的交点坐标1x为(1,0)，又 f (x)1 ， f (1)2，所求切线方程为 y2( x1)，即1x22x y20.
