1、高考数学圆锥曲线重要结论1、定义：第一定义:平面内到两定点 F1（-c ，0），F 2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F 1F2|）2a 的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。第二定义：平面内到一个定点 F 的距离与到定直线 1 的距离比为常数 e（0b）作垂直于 x 轴的直线炮大圆于第一象限办点 A，OA 交小圆于点 B,设直线 BF 是小圆的切线。证明：c 2=ab，并求直线 BF 与 y 轴的交点 M 的坐标；解：由题设条件知：Rt OFARt OBF直线 BF 与 y 轴的交点. 直线 BF 与 y 轴交点为（0，a ）点为 M
2、（0,a）（b 2+a2k2）x 2 +2a3kx+a4-a2b2=0 由消去 x 整理得：（b 2+a2k2）y 2-2ab2y+a2b2-a2b2k2=0 注意到：a 2-ab+b2=a2-c2+b2=2b2例已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,斜率为 1,且过右焦点 F 交椭圆于 A,B 两点， + 与 =（3，-1) 共线。求椭圆的离心率：设 M 为椭圆上任意一点，且 = + （， R） 由 + =（x 1+x2，y 1+y2）, =（3，1）且 + 与 共线得： 3（y 1+y2-2c）+（x 1+x2）=0 ，又 y1=x1-c，y 2=x2-c。由知 a2=3b2 椭
3、圆方程为：x 2+3y2=3b2，设 =（x，y）由已知（x，y）=（x 1，y 1）+（x 2，y 2）又 x21+3y21=3b2 x22+3y22=3b2 代入得 2+2=1 故所求为定值。双曲线:一、概念：第一定义：到两定点 F1（-c ，0）、F 2（c，0）的距离差为定值 2a（小于两定点的距离）的点的轨迹 叫做双曲线。两定点叫做双曲线的焦点，两点间的距离叫做焦距。引申定义：与两个相离的非等定圆均外切的圆的圆心的轨迹为以这两定型圆圆心连线为实轴的 双曲线的一支;过两定点且相交的两条直线的斜率之积为正常数的点的轨迹（两定点除外）为双曲线。圆外一定点与圆上任意一点连线的垂直平分线和圆心
4、与圆上动点连线的交点的轨迹为双曲线。圆半径为双曲线的实轴长，圆心与定点(为焦点 )间的距离为焦距长。二、标准方程：(略)三、相关运算：注意直线是交在双曲线的同一支上还是交在两支上，特别是焦点弦交在同一支上，最短弦是垂直于过焦点焦半径公式：P（x 0，y 0）为双曲线右支上一点，与左右焦点之间的线段为焦半径。|PF 1|=ex0+a，|PF 2|=ex0-a若点 P 在左支上时 ,|PF1|=-ex0-a,|PF2|=-ex0+a.A.内切 B.外切 C.内切或外切 D.外切或相交在证明或解答相关双曲线的问题时，要注意运用设而不求的点差法。如直线 y=kx+m，若焦点在 x 轴上的 如果在进行直
5、线与双曲线的相关求解时，若直线斜率需要考虑不存在时，可设直线为x=my+c 的形式，只不过这样求出的直线的斜率与所求的直线的斜率呈负倒数关系，若是求的范围，a0)的左右顶点分别是 A,B,双曲线在第一象限的图象上有一点P, PAB=,PBA=,APB=,试确定三个角之间的关系.双曲线上任一点到焦点的距离大于等于焦点到对应顶点的距离.即 dc-a.若在双曲线外部有一点 P,要在双曲线上求作一点 M,使该点到 P 点与到对应焦点的距离之和最小.其主要方法:过点 P 作准线的垂线与双曲线的交点就是所求作的点.小题题例:A,F 分别是双曲线 9x2-3y2=1 的左顶点和右焦点,P 是双曲线右支上任一
6、点,若PFA= PAF,则 = 2 .(特值检验通径)A. B.2 C. D. C设 e1,e2 分别为有公共焦点 F1,F2 的椭圆和双曲线的离心率,p 为两曲线的一个公共点且右准线 l:x=1/2,|AF|=3,过 F 作直线交双曲线右支于 P,Q 两点,延长 PB 交右准线 l 于 M 点。求双曲线的方程； 若 =-17，求PBQ 的面积 S；若 = ，（0,-1), 问是否存在实数 =f（）的左右焦点，使得 = ,若存在，求出 =f（ ）表达式，否则说明理由（题中 = 及所求 =f（）其实都是两点 P，Q 之间的关系，故首当其冲就是求出两点的坐标之间的关系）注：在求解与证明与圆锥曲线相
7、关的问题时，如果是直线与圆锥曲线相交的问题时一定要注意该直线斜率是否存在的问题，应分斜率存在与不存在两种情况进行讨论，当然有时也将该直线设成 x=my+n 的形式，但要注意求解后对相关斜率的对应处理，即式中的 m 与所求的斜率为负倒数关系；同时也要注意对图中相关面积的处理，尽量用较简化的方式处理，如利用题中相关线段的互相垂直关系，这时常常要利用某个三角形是由两个三角形组成的公共底来处理以简化运算。对相关点的处理：主要有两种，利用向量的关系；利用点差法处理。例（成都市 07 第二次毕业诊断性测试 22）如图,与抛物线 x2=-4y 相切于 A（-4,-4）的（理）求中切点 T 到直线 PQ 的距
8、离的最小值；抛物线一、概念：平面内与定点 F 的距离和一定直线的距离相等的点的轨迹。定点为焦点,定直线为准线;与圆锥曲线的第二定义:到一定点与一定直线的距离比为定值(1)的点的轨迹.即 离心率为 1.注意:不能把抛物线看成双曲线的一支,它们是有本质区别的:当抛物线上的点趋于无穷大时,曲线 上点的切线趋近于和对称轴平行;而双曲线上的切线趋近于与渐近线平行.e:设 AB 的中点为 M,过 M 作 MMl,连结 AM,BM,MF.则 AM平分AAB,BM平分ABB,AMB=90,MFAMB(MBBMFB).故以 AB 为直径的圆必与准线相切。f:焦点在 x 轴上的抛物线 y2=2px(p0)时,设
9、A(x1,y1),B(x2,y2),设过 AB 的直线为 l;其斜率为 k,则AF 与 AM,BF 与 BM均交于一点.故有：以 AB 为直径的圆与准线相切，以 AB为直径的圆与 AB 相切,以 AF 为直径的圆与 x 轴相切,以 BF 为直径的圆与 x 轴相切.例:过定点 A(0,2)作与抛物线 y2=2x 只有一个公共点的直线,共几条?当 x=0 时 ,即斜率不存在时 ,符合题意,g:最值问题:利用抛物线的定义进行转化:h:过抛物线的焦点弦的两端点作抛物线的切线,其交点的轨迹是该抛物线的准线;例定长为 3 的线段 AB 端点在 y2=x 上移动,求 AB 中点到 y 轴的最小距离 ,并求出 M的坐标.(本题只需转化成 A,B 两点横坐标最小即可,即到准确性线的距离之和)建立目标函数:为 y=x2 上一动弦 ,且|AB|=a(00）上任一弦,F 为抛物线的焦点,1 为准确性线,m 为过 A 点且以 =(0,-1)为方向向量的直线.若以 A 为切点的抛物线的切线 1 与 y 轴交于 C 点,求证:|AF|=|CF|;若 * +p2=0,(A,B 异于原点)直线 OB 与 m 相交于点 P,求点 P 的轨迹方程;若 AB 为焦点弦分别过 A,B 的抛物线的两条切线相交于点 T,求证:ATBT,且点 Tl.
